РОЗДІЛ 2
МЕТОДИКА ЧИСЕЛЬНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
НЕЛІНІЙНОГО ПРОЦЕСУ ДЕФОРМУВАННЯ
ҐРУНТОВОГО СЕРЕДОВИЩА
2.1. Основні співвідношення теорії пружно-пластичного деформування ґрунтів
Реалізація методики чисельного моделювання в даній роботі базується на використанні методу скінчених елементів (МСЕ). До його переваг можна віднести простоту математичного формулювання, легкість поширення на нелінійні та неординарні задачі. Даний метод універсальний, алгоритмічний, а головне - дозволяє описувати будь-які локальні неоднорідності, в тому числі складні граничні умови, неоднорідність механічних властивостей досліджуваної області ґрунту, обумовлену природним нашаруванням основи, еволюцію напружено-деформованого стану зсувонебезпечної території в процесі навантаження. Використовується моментна схема МСЕ [21], ефективність якої визначається підвищеною точністю чисельних розрахунків при високих градієнтах напружень та переміщень, що отримано на прикладі вирішення широкого класу нелінійних задач.
У даній роботі при виборі рівнянь стану, закладених в основу при побудові математичної моделі нелінійного деформування ґрунтів основи зсувонебезпечної території, враховані наступні вимоги:
- фізичне обґрунтування та внутрішня узгодженість рівнянь стану;
- відповідне кількісне узгодження результатів розрахунку з даними спостережень;
- мінімальна кількість параметрів та простота стандартних випробувань для їх визначення.
Розглянемо основні співвідношення теорії пружності та теорії пластичності, що використовуються при описанні пружно-пластичного деформування ґрунтів.
В загальному випадку тривісного напружено-деформованого стану переміщення точок (j = 1, 2, 3) досліджуваної області характеризуються векторним полем . Компоненти тензора деформацій визначаються за переміщеннями за допомогою співвідношень Коші:
, або , (2.1)
де - диференційний оператор: , при цьому компоненти задовольняють диференційним залежностям Сен-Венана (умови сумісності деформацій):
, (2.2)
де .
У випадку великих переміщень та поворотів деформації визначаються з урахуванням нелінійного закону їх залежності від переміщень:
,
або , (2.3)
де - так званий тензор кінцевих деформацій. Рівняння (2.1) - (2.3) називаються геометричними.
Напружений стан середовища визначається тензорним полем , яке в кожній точці задовольняє диференційним рівнянням рівноваги:
, (2.4)
де - щільність середовища; - об'ємні (масові) сили.
Для визначення напружено-деформованого стану розглядуваної області статичні та геометричні рівняння необхідно доповнити граничними умовами: заданими переміщеннями точок частини S1 поверхні, яка обмежує область, що досліджується, або поверхневими силами на частині S2 поверхні. В ряді задач граничні умови можуть бути змішаними:
(2.5)
У загальному випадку описуючи пружно-пластичне деформування в граничному стані ґрунтового середовища в складі повних деформацій (або ) можна виділити пружну частину та пластичну :
. (2.6)
Зв'язок між приростами напружень та пружніх деформацій задається співвідношенням:
, (2.7)
де - тензор констант деформування, компоненти якого обчислюють за формулою:
, (2.8)
де Е0 - початковий модуль пружної деформації; ? - коефіцієнт Пуассона; - метричний тензор.
У випадку роботи матеріалу в лінійно-пружній області пластичні деформації відсутні, й справедливим є вираз:
. (2.9)
При наявності пластичних деформацій аналогічне співвідношення буде справедливим лише для миттєвого тензора констант деформування :
, (2.10)
причому
. (2.11)
Рівняння (2.7) - (2.11) називаються фізичними. Для конкретизації виразу при простому навантаженні використовується деформаційна теорія пластичності, в межах якої приймається припущення про співвісність та пропорційність девіаторів тензорів напружень і деформацій , в зв'язку з чим деформаційна теорія встановлює зв'язок між повними величинами тензорів напружень та деформацій :
. (2.12)
У загальному випадку складного навантаження більш ґрунтовним є застосування теорії пластичної течії, співвідношення якої формулюються відносно приростів напружень та деформацій . Для визначення приростів пластичних деформацій використовується поняття пластичного потенціалу - гіперповерхні в просторі напружень , по нормалі до якої орієнтується вектор приростів пластичної деформації:
, (2.13)
де - малий скалярний множник.
Як умова, що обмежує область лінійно-пружної роботи матеріалу основ, використовуються різні критерії . Припускається, що якщо , то матеріал працює пружно, а при досягненні граничного стану, обумовленого тим, що в матеріалі розвиваються пластичні деформації, виконується рівність . Активним навантаженням називають такий режим роботи, коли приріст напружень забезпечує додатній приріст функції ; у випадку розвантаження , а випадок називають нейтральним навантаженням.
Для визначення параметра й отримання розрахункових співвідношень вводяться додаткові гіпотези. Наприклад, при використанні асоційованого закону пластичної течії припускається ідентичність умови пластичності та рівняння пластичного потенціалу . У випадку неасоційованого закону для конкретизації використовуються спеціальні замикаючі співвідношення.
Для описання геотехнічних властивостей ґрунтів широко застосовуються математичні моделі, що базуються на теорії пластичної течії. Початок цього напрямку пов'язаний з роботами Д. Друккера, В. Прагера, в яких закон пластичної течії асоційований з граничною умовою Кулона-Мора. Асоційований закон пластичної течії широко застосовується багатьма дослідниками, оскільки він має ту перевагу, що при побудові матриці жорсткості (МЖ) пружно-пластичного деформування з врахуванням зон граничного стану ґрунтів вона (МЖ) залишається симетричною, а це забезпечує значне скорочення витрат машинного часу при використанні чисельної реалізації такої моделі.
Разом з тим, у цьому підході закладені також серйозні недоліки. Так, у моделі Друккера-Прагера припускається тільки