РОЗДІЛ 2
МЕТОДИ ТЕОРІЇ ГРУП ЗАСТОСОВНІ ДО АНАЛІЗУ ЕНЕРГЕТИЧНИХ СПЕКТРІВ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ЗБУДЖЕНЬ У КРИСТАЛАХ
2.1. Проективні представлення. Група хвильового вектора. Малі представлення
Метод проективних представлень базується лише на симетрійних властивостях кристалу і дозволяє точно та однозначно теоретично визначити поведінку кривих дисперсії в певній точці зони Бріллуена, а також наявність виродження, яке виникає завдяки інваріантності до інверсії часу за відсутності зовнішніх магнітних полів. Теорія проективних представлень розглянута в багатьох роботах, проте це є суто математичні роботи, серед яких можна виділити дуже невелику частину [72 - 78], де б ця теорія була застосована до реальних фізичних об'єктів і, зокрема, до об'єктів, що мають трансляційну симетрію. Досить поширеною є ситуація, коли застосувати отримані результати до розгляду фізичних властивостей кристалів, в тому числі й оптичних, дуже важко. На сьогоднішній день практично не існує робіт, де була б наведена чітка і зрозуміла методика розрахунків представлень у різних точках зони Бріллуена, що базується на застосуванні методу проективних предствалень. Тут потрібно навести основні положення, які знадобляться для подальших розрахунків та інтерпретації експериментальних даних.
Для будь-яких груп симетрії можна записати їх представлення лінійними операторами, які діють на вектори в гільбертовому просторі. Кожному елементу g групи G ставлять у відповідність лінійний оператор D(g) такий, що задовольняє рівність:
D(g2) D(g1) = D(g3), якщо g2g1 = g3. (2.1)
Оператори D(g) представлення діють на вектори ? у гільбертовому просторі. Але в квантовій механіці чистий стан фізичної системи описується не нормованим вектором ?, а променем ??, де ? - довільний фазовий множник (|?|=1). Тому кожному елементу g грипи симетрії G потрібно поставити у відповідність оператор D(g), який діє на промені в гільбертовому просторі та здійснює відображення одних променів у інші. Таким чином, з кожним елементом g зв'язують деякий процес "зсуву", в результаті якого кожен фізичний стан системи переходить в інший можливий фізичний стан цієї ж системи. В силу відміченого не слід a priori вважати, що оператори представлення задовольняють умовам (1.1).
Замість цього потрібно, щоб
D(g2) D(g1) =? D(g3), якщо g2g1 = g3, (2.2)
де ? - фазовий множник, що залежить від g2 та g1. Такі представлення називаються проективними; представлення, визначені умовою (2.1), називаються векторними представленнями.
Визначним є те, що задача знаходження проективних представлень кінцевих груп симетрії була сформульована й повністю розв'язана задовго до створення квантової механіки. У серії своїх статей Шур виклав загальний метод знаходження незвідних представлень кінцевих груп за допомогою дробово-лінійних перетворень (проективних перетворень).
Термін проективне представлення слід розуміти наступним чином.
Кожному елементу А, В, ... кінцевої групи ставлять у відповідність дробово-лінійне перетворення
, (2.3)
де матриця D(А) коефіцієнтів неособлива. дробово-лінійне перетворення задають представлення групи G, якщо
. (2.4)
Розмірність такого представлення дорівнює порядку h матриць D(А).
Перетворення (2.3) можна розглядати як лінійні перетворення
(2.5)
де
(2.5а)
є однорідними координатами.
З (2.5) або (2.5а) видно, що множення елементів на один і той же загальний множник не змінює перетворення . Якщо виписати матриці, які відповідають співвідношенню (2.4), то виявиться, що
, (2.6) де - деякий набір множників, які залежать від вибору матриць D(А) і D(В). Навпаки, якщо нам дана деяка система неособливих матриць, що задовольняють умові (2.6), то ми можемо знайти відповідне цій системі представлення (2.4) за допомогою дробово-лінійних перетворень. Таким чином, задача знаходження представлень деякої групи використовуючи дробово-лінійні перетворення еквівалентна знаходженню представлень цієї групи за допомогою лінійних перетворень D(А), що задовольняють умові (2.6).
Перепишемо рівність (2.6) у позначеннях, які будуть використані надалі:
, (2.7)
де r1, r2 - поворотні елементи точкової групи G, а сукупність h2 чисел називається фактор-системою, де h - порядок точкової групи G. Числа повинні зодовільняти умові та рівностям
?(r3, r2 r1) ?(r2, r1)= ?(r3 r2 ,r1) ?(r3, r2) (2.8)
для будь-яких r1, r2, r3.
Можна показати, що умови (2.8) є не тільки необхідними, а й достатніми, тобто що будь-яка сукупність чисел , що задовольняє співвідношенням (2.8), може бути фактор-системою даної групи.
Проте співвідношення (2.8) не визначають фактор-систему однозначно. Дійсно, якщо D(r) є деяке проективне представлення, що належить фактор-системі , то будь-яке інше представлення
, (2.9) де u(r) - довільна однозначна функція на групі G, |u(r)| = 1, також здійснює проективне представлення групи G, але з іншою фактор-системою :
, (2.10)
де .
Легко переконатися, що нова фактор-система також задовольняє співвідношенням (2.8).
Таким чином, з будь-якої фактор-системи за допомогою співвідношень (2.10) можна отримати нескінченну кількість нових фактор-систем, що відповідають різним виборам функцій u(r). Всі фактор-системи та представлення, які зв'язані співвідношеннями (2.8), називаються проективно-еквівалентними або р-еквівалентними. Сукупність всіх р-еквівалентних фактор-систем називається класом фактор-систем.
Важливим є те, що співвідношення (2.10) не вичерпують всі можливі для даної групи G фактор-системи, оскільки можуть існувати фактор-системи, які не можуть бути зведеними одна до іншої за допомогою перетворень (2.10), тобто група може мати декілька класів фактор-систем.
Отже, якщо для двох фактор-систем та для будь-якої пари комутуючих елементів r2 і r1
то ці фактор-системи відносяться до різних класів, оскільки перетворення (2.10) не змінює співвідношення для комутуючих елементів r2 і r1. Для всіх точкових груп справедливе обернене твердження: якщо для всіх пар комутуючих елементів r2 і r1
то фа
- Київ+380960830922