РАЗДЕЛ 2
МЕТОДИКА РАЗРАБОТКИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ "КОРПУС ПЛУГА НА УПРУГОЙ ПОДВЕСКЕ - ПОЧВА"
2.1. Формализация динамической системы "корпус плуга - почва".
Для решения задач оптимизации необходимо построить математическую модель изучаемого объекта на основании анализа колебательных процессов в системе.
Моделирование процесса возможно лишь в том случае, если для него построено четкое формальное описание, учитывающее основные закономерности процесса и действующие факторы. Н.П.Бусленко выделяет следующие этапы формализации реальных систем ?48?:
1. Содержательное описание процесса. В нем качественные и количественные характеристики процесса выражаются в словесной форме, также полностью воссоздаются логика событий и явлений, потоки управляющей информации и все исходные данные. В содержательном описании конкретизируется цель моделирования, определяется, какие характеристики процесса требуется фиксировать для получения интересующих данных.
2. Формализованная схема. Этот этап является промежуточным между содержательным описанием и математической моделью и необходим, если нецелесообразно или затруднительно составить математическую модель непосредственно по результатам содержательного описания. Соотношение, выраженные в содержательном описании словесно, облекаются в математическую форму, характерные закономерности записываются в виде формул и управлений.
3. Математическая модель. На этом этапе все сведения о процессе, включая и числовые данные, характеризующие процесс, записываются в аналитической форме. При этом данные, представленные таблицей или графиком, аппроксимируются соответствующими функциями или полиномами, удобными для вычисления. Для облегчения перехода от математической модели к программе моделирования процесса на ЭВМ желателен промежуточный этап - построение операторной схемы моделирующего алгоритма, т.е. запись моделирующего алгоритма в общем виде, без детализации типовых вычислительных процедур и без привязки алгоритма к конкретной ЭВМ.
По мнению А.П.Терехова ?61? в общем виде состояние моделируемой системы можно выразить характеристиками системы :
Z1(t), Z2(t), ..., Zl(t)
Характеристики процесса зависят от следующих величин:
1- параметров х1, х2, ..., хr, характеризующих свойства элементов системы;
2- входных величин, представляющих собой воздействия, приложенные на входах y1(t), y2(t), ..., ym(t);
3- начальных условий Z1(0), Z2(0), ..., Zl(0).
Систему соотношений, выражающих зависимость характеристик от параметров системы, входных величин и начальных условий запишем следующим образом:
, (2.1)
где х - r - мерный вектор параметров системы;
Z(0) - l - мерный вектор начальных условий;
y(t) - m - мерный вектор - функция входных величин;
z(t) - l - мерный вектор-функция характеристик системы.
Систему уравнений характеристик запишем в неявном виде так:
. (2.2)
Целевую функцию, выражающую некоторый критерий, по которому производится оптимизация, представим в виде уравнения, выражающего зависимость критерия оптимизация от характеристик параметров системы:
. (2.3)
Из параметров системы оптимизация производится по п параметрам, которые называются независимыми переносными системы или аргументами, причем n ? r.
Также необходимо задать ограничения, накладываемые на переменные системы:
, (2.4)
Система уравнений (2.1) и (2.2) представляют собой математическую модель исследуемого процесса. Решение модели состоит в определении параметров системы, соответствующих экстремуму целевой функции (2.3) с учетом ограничений (2.4).
Для моделирования процесса на ЭВМ преобразуем его математическую модель в моделирующий алгоритм. Имитируя поведение частей объекта исследования и их взаимодействие, с учетом влияющих факторов и в условиях, близким к реальным, ЭВМ вычислит характеристики, предусмотренные программой исследования. Однако все это возможно лишь при наличии математической модели, адекватно описывающей исследуемый процесс.
Для разработки математической модели необходимо выполнить формальное описание исследуемого процесса, идентификацию вида колебательной системы, исследование входного воздействия в динамическую систему, исследование выходного параметра - тягового сопротивления корпуса плуга [62]. Представим математическую модель колебательной системы как динамическую систему характеристик с входной функцией - сопротивлением почвы и выходной функцией - тяговым сопротивлением корпуса плуга. Рассмотрим в общем виде механическую систему "корпус плуга на упругой подвеске - почва" [63], ограниченную идеальными голономными связями (рисунок 2.1.)
Рис. 2.1. Схема взаимодействия корпуса плуга на упругой подвеске с
почвой
Система выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания под действием силы сопротивления почвы , силы тяжести , силы упругости и момента сил сопротивления М [63].
Уравнение движения этой системы составим на основании уравнений Лагранжа 2-го рода ?64?
, (2.5)
где Т - кинетическая энергия системы;
qi - обобщенные координаты;
- обобщенная скорость;
Qi - обобщенная сила.
Обобщенную силу представим состоящей из трех сил
, (2.6)
где - консервативные силы;
- силы сопротивления;
- силы, явно зависящие от времени. Кинетическую энергию определим из выражения
, (2.7)
где - функция обобщенных координат и времени или постоянная величина.
Обобщенную с