РАЗДЕЛ 2
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
2.1. Уравнение Шредингера для спиновых гамильтонианов
Важную роль в построении энергетического спектра спиновых гамильтонианов играет
стационарное уравнение Шредингера (УШ). В случае гамильтониана Гейзенберга с
одноосной анизотропией обменного взаимодействия в магнитном поле, направленном
вдоль оси анизотропии z, стационарные состояния системы можно классифицировать
по значениям z-проекции полного спина , поскольку такой гамильтониан
коммутирует с оператором . Отсчет энергий ведется от упорядоченного
ферромагнитного состояния, в котором все узельные спины имеют максимальное
значение проекции на ось z
а проекция полного спина на это направление максимальна и равна
Данное состояние называется «вакуумом». «Возбужденными» будут состояния с
проекциями , равными , , …, ,…. УШ для стационарного состояния с возбуждениями
имеет вид (см., например, [32])
, , (2.1)
здесь – энергия «ферромагнитного» состояния; , - вектор соответствующего
стационарного состояния, - его волновая функция в узельном представлении, для
всех узлов решетки, . Такая классификация состояний возможна для решетки любой
размерности при любом значении узельного спина .
Спектр одночастичных состояний находится тривиально для решетки любой
размерности и для любого узельного спина. Для цепочки Гейзенберга с XXZ
анизотропией со спином Ѕ, помещенной в продольное магнитное поле, как уже
говорилось в пункте 1.3, задача в общем виде решается методом Бете.
К сожалению, метод Бете не применим к спиновым лестницам. Лишь в частном случае
спиновой цепочки с XY-взаимодействием вдоль цепочек и z-z-взаимодействием в
звеньях гамильтониан такой системы с помощью преобразования Иордана-Вигнера
можно свести к гамильтониану одномерной модели Хаббарда [16], для которой
получено решение методом Бете [3, 25]. Анзац Бете «работает» также для ряда
спиновых лестниц, в гамильтонианы которых искусственным образом добавлены
дополнительные взаимодействия специального вида (см. например, [12,118]).
Тем не менее, методом, аналогичным методу Бете, можно получить решение
двухчастичной задачи для конечной замкнутой в кольцо системы, которая обладает
трансляционной симметрией. Этот метод использован в пункте 5.2.
Одночастичное уравнение Шредингера удобно также использовать для диагонализации
гамильтонианов XY-цепочек с неоднородностями в пунктах 3.3 и 3.4.
Соответствующие гамильтонианы с помощью преобразования Иордана-Вигнера [41 -
43] приводятся к виду, квадратичному по ферми-операторам рождения и
уничтожения, поэтому задачи об их энергетическом спектре решаются точно.
В работе использовалась также теория возмущений для вырожденных уровней в
операторном формализме [119,120] для построения эффективных спиновых
гамильтонианов в пункте 5.3. Приведем без вывода расчетную формулу.
Рассмотрим гамильтониан многочастичной системы, который может быть представлен
в виде суммы двух операторов
, (2.2)
где представляет собой оператор с известным точным спектром, а - оператор
возмущения. Пусть собственная функция оператора , отвечающая собственному
значению (). Пусть основное состояние гамильтониана невозмущенной задачи
-кратно вырождено, то есть первые функций отвечают одной и той же энергии ().
Если ограничиться членами не выше второго порядка малости по матричным
элементам возмущения , то эффективный гамильтониан имеет вид
, (2.3)
где - проектор на подпространство волновых функций вырожденного основного
состояния, а .
2.2. Вычисление термодинамических средних, статических и динамических
корреляторов
Гамильтониан XY-цепочки, помещенной в постоянное магнитное поле, направленное
вдоль оси z, как было сказано в пункте 1.2.2, приводится к виду, квадратичному
по ферми-операторам рождения и уничтожения, как для однородной цепочки, так и в
случае цепочки с примесями. Таким образом, для вычисления статических
термодинамических характеристик модельных систем с XY-взаимодействием нужны
только термодинамические средние вида . Например, z-проекция среднего
локального магнитного момента в произвольном узле цепочки определяется через
среднее значение z-проекции спина в узле в терминах ферми-операторов формулой
, (2.4)
а продольный парный спиновый коррелятор (спиновая парная корреляционная
функция) формулой
. (2.5)
При вычислении (2.5) использована теорема Вика.
В случае парного поперечного коррелятора представляется удобным вычисление
коррелятора такого вида [44]: . Воспользовавшись преобразованием
Иордана-Вигнера [43], получим
(2.6)
Поскольку корреляторы с неравным числом операторов рождения и уничтожения равны
нулю, все средние, содержащие в первой скобке (2.6), можно опустить. С помощью
тождества , перепишем выражение в виде
(2.7)
С помощью теоремы Вика можно представить (2.7) в виде суммы произведений
всевозможных попарных средних, рассматривая каждую скобку как один оператор,
поскольку все скобки, входящие в (2.7) антикоммутируют между собой и с
операторами , . В нулевом поле корреляторы обращаются в нуль, так как
а средний спин в узле равен нулю в нулевом поле. Поэтому члены, содержащие
спаривания операторов с одинаковыми индексами, должны отсутствовать в (2.7).
Каждый из оставшихся членов разложения будет представлять собой произведение m
сомножителей, являющихся парными средними операторов с разными индексами.
Таким образом,
(2.8)
Здесь штрих означает, что нужно учитывать спарива
- Київ+380960830922