РАЗДЕЛ 2
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРАМИ ШЕРОХОВАТОСТИ
Построение системы критериев управления качеством поверхностного слоя оптических изделий включает в себя разработку математического аппарата и методику статистического оценивания полученных параметров шероховатости поверхности.
2.1 Применение нормального закона распределения вероятностей в задаче оценивания параметров шероховатости
В процессе выполнения данной диссертационной работы были сняты профилограммы с обработанных фрезерованием ОП (рис. 2.1).
Рисунок 2.1 - Пример профилограммы исследуемых обработанных оптических полимерных поверхностей
Главную роль в формировании неровностей при алмазном фрезеровании играет случайная составляющая, влияние же периодической составляющей менее значительно. Наличие случайных ошибок также влияет на результат измерения. В теории случайных ошибок принимается обычно допущение о нормальном их распределении. Поэтому в данной работе было принято, что распределение ординат случайной составляющей подчиняется нормальному закону распределения. Проверка соответствия эмпирического закона распределения ординаты профиля нормальному закону распределения проводилась с помощью критерия согласия .
Из таблицы квантилей распределения с степенями свободы можно увидеть, что величина при совпадении предполагаемого и эмпирического законов распределения с вероятностью при уровне значимости равным равняется . Следовательно, если действительно имеет место нормальный закон распределения, то значение критерия с доверительной вероятностью должно быть менее .
Итак, на основе имеющейся информации необходимо проверить предположение о том, что гипотетическая функция распределения значимо представляет данную выборку чисел, то есть, выдвигается нулевая гипотеза , при этом придерживаются следующей последовательности действий [74]:
1) вычисляется вероятность попадания в частичные интервалы на основании гипотетической функции распределения ;
2) находятся теоретические частоты частичных интервалов путем умножения полученных вероятностей на объем выборки ;
3) вычисляется выборочная статистика (критерий) :
,
где - эмпирическая частота в -й ячейке; - объем выборки; - вероятность попадания в -ю ячейку; - число частичных интервалов.
Если предположение о нормальности распределения линейных размеров верно, то при закон распределения выборочной статистики независимо от вида функции стремится к закону распределения . При этом число степеней свободы определяется по формуле
,
где - число частичных интервалов; - число параметров теоретической функции , оцениваемых по данным выборки. Объем выборки в данной работе составлял значений, число интервалов - .
4) находится критическое значение , удовлетворяющее условию ( - уровень значимости), исходя из посчитанного числа степеней свободы по таблицам . Чем ближе к нулю наблюдаемое значение , тем вероятнее, что выдвинутая гипотеза справедлива. Поэтому для проверки применяется критерий с правосторонней критической областью.
В рамках диссертационной работы для выяснения принадлежности эмпирических данных нормальному закону распределения из представленных профилограмм ОП образцов, число которых насчитывалось около , были отобраны 50 штук случайным образом. Эти профилограммы были проверены на соответствие профиля обработанных поверхностей нормальному закону распределения вероятностей.
В Таблицу 2.1 для наглядности сведены 10 результатов проверки экспериментальных данных (сечений профилограмм поверхностей) на принадлежность нормальному закону распределения.
Таблица 2.1 -
Результаты проверки соответствия эмпирических данных
нормальному закону распределения
образцаМатематическое ожидание СКО
Значение Уровень значимости Значение 11.640.2427.230.0540.1121.650.2528.6431.680.2731.8541.570.1623.4651.630.2427.2361.650.2528.6471.680.2731.8581.570.1623.4691.480.1419.85101.570.1623.46
Анализируя Таблицу 2.1, можно сделать вывод, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с нормальным. Следовательно, модель профилограмм в виде реализации нормального случайного процесса можно считать приемлемой.
2.2 Выбор положения системы координат при исследовании профилограмм оптических поверхностей
При исследовании профилограмм поверхностей, для дальнейшего их использования в качестве экспериментальных данных, возникает проблема: неизвестного положения системы координат. На основании съема данных, а также учитывая проблему выбора положения системы координат в данной диссертационной работе в качестве критерия качества был выбран дискретный квадратичный функционал (1.1).
Исследование профилограмм обработанных поверхностей оптических полимеров приводит к проблеме выбора положения системы координат и начала отсчета, так как профилограмма представляет собой последовательность точек. При этом с точки зрения физической задачи эта последовательность точек является некоторой реализацией случайного процесса (в данном случае дискретного). Следовательно, возникает задача оценивания положения системы координат.
Задача оценивания параметров дискретной нормальной случайной последовательности точек и положения системы координат (оси стационарности) рассматривалась для случая независимых наблюдений [73]. Но на практике требование независимости слишком ограничивает исследование профилограмм. Поэтому представляет интерес рассмотрение данной задачи для случая нормального марковского процесса, но с заданным средним и корреляционной функцией
, (2.1)
где - набор корреляционных факторов
, ,
- интервал между двумя наблюдениями,
- декремент затухания, мкм-1,
- дисперсия, мкм2.