РАЗДЕЛ 2
ГАШЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНОГО
ГАСИТЕЛЯ
В настоящем разделе рассмотрена возможность гашения механических колебаний с
использованием существенно нелинейного гасителя. осциллятора, Используются
методы теории нелинейных нормальных форм колебаний. Рассмотрены как свободные
колебания системы (получены возможные нормальные формы колебаний и исследована
устойчивость этих форм колебаний), так и вынужденные колебания.
2.1. Свободные колебания.
2.1.1. Нелинейные нормальные формы колебаний в системе с нелинейным
виброгасителем.
Рассмотрим возможность гашения линейных механических колебаний. В качестве
виброгасителя (абсорбера) используется одномерный инерционный элемент (масса на
пружине), соединенный с точкой закрепления нелинейной пружиной.
Для упрощения задачи заменим механическую систему линейной системой с одной
степенью свободы. Таким образом, рассматривается следующая система с двумя
степенями свободы (рис.2.1). Эта система представляет собой обобщение
классической линейной модели, которая часто рассматривается в задачах
виброгашения:
(2.1)
Все переменные и параметры предполагаются здесь безразмерными: и соответственно
обобщенные координаты нелинейного динамического гасителя и линейной подсистемы,
колебания которой необходимо погасить; и – массы элементов системы, причем
далее предполагается, что после замены переменных ; поэтому имеет смысл частоты
колебаний линейной парциальной подсистемы; - коэффициент жесткости нелинейного
элемента; – коэффициент связи между линейной и нелинейной подсистемами.
Предполагается, что масса гасителя существенно меньше, чем масса основной
линейной подсистемы, колебания которой необходимо загасить, поэтому вводится
формальный малый параметр при старшей производной в первом уравнении. Здесь и
далее все параметры системы принимаются безразмерными.
Рис.2.1.
В подобной системе можно выделить как нелокальные, так и локализованные формы
колебаний. В первом случае амплитуды колебаний линейной подсистемы и гасителя
имеют один порядок, поэтому эта ситуация неблагоприятна для виброгашения. Во
втором случае амплитуды колебаний гасителя существенно больше, чем амплитуды
колебаний линейной подсистемы, поэтому эта ситуация благоприятна для
виброгашения. Для определения этих форм колебаний используются методы теории
нормальных колебаний нелинейных конечномерных систем. Следует заметить, что
эффект локализации энергии возможен только в нелинейных системах.
Нелинейные нормальные формы колебаний – это такие периодические режимы
движения, когда все переменные конфигурационного пространства однозначно
определяются одной из этих переменных. В режиме нормальных колебаний
конечномерная система ведет себя как консервативная с одной степенью свободы.
Предполагается определить наиболее приемлемые для виброгашения колебаний
линейной подсистемы области значений параметров системы и амплитуд колебаний,
когда нелокальная форма неустойчива, а локализованная устойчива.
Система уравнений (2.1) имеет интеграл энергии
, (2.2)
где и соответственно кинетическая и потенциальная энергии, ? постоянная,
которая равна полной энергии системы.
Запишем теперь уравнение для определения траекторий нормальных колебаний в
конфигурационном пространстве системы, которое можно получить исключением
времени из уравнений движения (2.1) с использованием интеграла энергии (2.2),
как это было описано в п.1.3.1:
(2.3)
Здесь штрих означает дифференцирование по .
Уравнение (2.3) имеет особые точки на максимальной изоэнергетической
поверхности
или
где ? значение переменной на этой поверхности), где все скорости обращаются в
нуль.
Это уравнение должно быть дополнено граничными условиями, которые обеспечивают
аналитическое продолжение траектории на максимальную изоэнергетическую
поверхность [41]:
при (2.4)
В нулевом приближении при получаем (нелокальная форма колебаний), причем
соответствующая предельная система, которая получается из уравнений (2.1),
имеет вид:
Применяя классическую процедуру метода малого параметра, разложим решение в ряд
по степеням :
(2.5)
Уравнения первого приближения метода малого параметра и соответствующие им
граничные условия (здесь не приводятся) нетрудно получить из уравнений (2.3) и
(2.4), удерживая члены порядка . Решение в первом приближении по малому
параметру получается в замкнутом виде:
, (2.6)
где .
Здесь ; – значение переменной на максимальной изоэнергетической поверхности
(амплитудное значение).
Локализованная форма колебаний может быть получена после введения замены
времени: . Теперь вместо системы (2.1) имеем:
(2.7)
Предельная система (при ) в этом случае имеет вид:
отсюда . Уравнение для определения траектории нормальных колебаний в этом
случае записывается таким образом:
(2.8)
Из уравнений первого приближения по можно получить (с учетом граничных условий
на максимальной изоэнергетической поверхности) решение в виде ряда по степеням
:
, (2.9)
где , …
2.1.2. Устойчивость локализованных и нелокальных форм колебаний с
использованием уравнения Матье.
Рассмотрим вначале устойчивость нелокальной формы колебаний, которая с
точностью до членов порядка имеет вид:
. (2.10)
Подставляя приближенное выражение для функции из (2.10), а также производные
этой функции по времени,
во второе уравнение системы (2.1), получаем уравнение для определения решения :
. (2.11)
Вычислим приближенное значение частоты собственных колебаний . Для этого
используем гармоническое приближение:
где – ампли
- Київ+380960830922