Раздел 2.
Синтез гибридных информационных систем поддержки принятия решений диагностики
горно-металлургического оборудования
2.1. Описание основных понятий теории нечетких множеств
и нечеткой логики для задач диагностики горно-металлургического оборудования
Эффективным средством формализации и представления нечётких понятий, категорий
и знаний, в том числе лингвистических высказываний, является теория нечётких
множеств и основанная на ней нечёткая логика [17]. Полученные в результате
интерпретации этих описаний в терминах нечётких множеств логико-лингвистические
модели являются конструктивной основой для разработки методов и алгоритмов
моделирования процессов в сложных системах в условиях неопределённости и
неполной информации. Достоинством нечёткой логики является возможность
использовать экспертные знания о решаемых проблемах или структуре объекта в
виде лингвистических высказываний, представляемых нечёткой базой правил: «если
<входы>, то <выход>». Нечеткая логика ближе по духу к человеческому мышлению и
естественным языкам, чем формальная двузначная логика. Нечеткая логика
обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей
реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной
информации позволяет построить модель, адекватную реальности.
В качестве базового теоретического материала для синтеза нечётких понятий и
отношений естественного языка введём основные понятия теории нечётких множеств
и нечёткой логики [19, 89-91].
Определение 1. Нечеткое множество определяется математически как совокупность
упорядоченных пар
, (2.1)
где х О Х, а Х – универсальное множество нечёткого множества А, представляющего
собой всю предметную область определения соответствующих функций принадлежности
m (Х). При этом функция принадлежности отображает элементы их множества X на
множество чисел в интервале [0, 1], т. е. mА (Х) ® [0, 1] – представляет собой
некоторую субъективную меру принадлежности элемента х О Х к нечёткому
множеству А.
Если универсальное множество X охватывает конечное число элементов x1, x2,…,
xn, то нечёткое множество А можно представить символически в виде объединения:
. (2.2)
Причём, в выражении знак «+» не является операцией сложения, а интерпретируется
как сумма множества элементов , которые иначе означают присвоения определённым
элементам xі степени принадлежности mА (хi) Понятие функции принадлежности
является основным формализмом теории нечётких множеств, при помощи которого
экспертные знания («Если-То») превращаются в строгие математические модели.
Функции принадлежности характеризуют субъективную меру уверенности эксперта в
том, что некоторая величина принадлежит определённому нечёткому понятию –
терму, которым характеризуется та или иная входная (выходная) переменная. При
этом можно выделить три случая:
1) mА (X) = 1, что означает полную принадлежность элемента х к нечёткому
множеству А, т. е. х О А;
2) mА (Х) = 0 означает отсутствие какой-либо принадлежности х нечёткому
множеству А;
3) 0 < mА (X) < 1 означает частичную принадлежность элемента х к нечёткому
множеству А.
На рис. 2.1 представлена графическая иллюстрация функции принадлежности
переменной Y, которая означает величину сигнала, для трёх нечётких значений
(«низкая», «средняя» и «высокая»).
Рис. 2.1. Функции принадлежности нечётких множеств:
«низкая» (mВ1), «средняя» (mВ2), «высокая» (mВ3) величина сигнала.
Над нечёткими множествами могут выполняться следующие операции: дополнения,
объединения и пересечения [19, 47, 73]. Формализацию нечётких понятий и
рассуждений на естественном языке можно выполнить, воспользовавшись понятиями
нечёткой и лингвистической переменных.
Определение 2. Нечёткой переменной называется набор:
< а, Х, С >, (2.3)
где а – наименование нечёткой переменной;
X = {х} – область её определения;
– нечёткое множество на X, описывающее ограничение на возможные значения
нечёткой переменной а.
Определение 3. Лингвистическая переменная – это набор пяти элементов:
< X, Т (Х), U, G, М >, (2.4)
где X – имя переменной;
Т (Х) – множество термов, то есть множество имен (обозначений) лингвистических
значений X;
U – область рассуждений (the universe of discourse);
G – правило (the grammer) генерирования имен;
M – множество семантических правил связывания каждого X с тем, что оно
обозначает.
Для понимания основных логических операций над нечёткими множествами,
выполняемых в процессе нечёткого логического вывода, введем следующее
определение нечёткого отношения, играющее фундаментальную роль в теории
нечетких множеств и логики при моделировании сложных систем. Подобно нечёткому
множеству, нечёткое отношение можно задать при помощи его функции
принадлежности: mR = X1 ґ X2 ґ…ґ Xn ® L, где L – может быть множеством
вещественных чисел, отрезком [0, 1] вещественной прямой, множеством
лингвистических переменных или полной дистрибутивной решёткой. Тогда под
нечётким отношением R понимается функция R = X1 ґ X2 ґ…ґ Xn ® L, отображающая
декартово произведение множеств X1, X2,…, Хп в L [82].
Определение 4. Нечётким отношением R между множествами X и Y называется функция
R = X ґ Y ® L, где в общем случае предполагается, что L – это полная
дистрибутивная решётка.
Если нечёткие множества X М U и Y М V, заданные на некоторых универсальных
множествах U = {x1, x2,…, xk}, являются составляющими нечёткого правила «ЕСЛИ
X, ТО Y», то, согласно [143], нечёткое отношение между множествами X и Y
представляет собой матрицу вида:
, (2.5)
в которой элементы, расположенные на пересечении i-той строки и j-того столбца,
определяются следующим образом:
. (2.6)
- Київ+380960830922