РАЗДЕЛ 2
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ
ПОЛУПРОВОДНИКОВО–ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР
В данном разделе показано, что на границе раздела двух различных
слоисто-периодических структур возможно распространение поверхностных
электромагнитных волн. Поля этих волн убывают по экспоненте в обе стороны от
плоскости раздела. Анализируется характер распределения полей, потоков энергии
и зависимость глубины проникновения полей поверхностных электромагнитных волн
от частоты. В случае контакта двух полупроводниковых структур учитывается
частотная дисперсия диэлектрической проницаемости. Исследуется зависимость
минимальной фазовой скорости поверхностной волны от частоты столкновений в
полупроводнике. Показано, что затухание поверхностной волны зависит от
распределения потоков энергии в слоях, при этом чем меньшая часть энергии
сосредоточена в диссипативном слое, тем меньше затухание волны.
2.1. Постановка задачи и основные уравнения
Рассмотрим контакт двух полубесконечных слоисто-периодических структур.
Предположим, что каждая из структур образована периодическим повторением двух
слоёв диэлектриков. Необходимо отметить, что смещение такой среды на целое
число периодов не меняет вида структуры, то есть структура обладает
трансляционной симметрией. Пусть диэлектрические проницаемости одной из решёток
(будем называть ее „левой”) и , а для другой решётки („правой”) – и .
Геометрические размеры и выбор системы координат представлены на рис. 2.1. На
этом рисунке граница раздела двух полубесконечных слоисто-периодических
структур заштрихована. Ось Oz направлена перпендикулярно границам слоев, а оси
Ox и Oy – параллельны слоям. Распространение волн исследуется в плоскости xOz.
Нас будут интересовать собственные электромагнитные волны, распространяющиеся в
указанной структуре.
Рис. 2.1. Схематическое представление структуры, состоящей из двух различных
диэлектрических слоисто-периодических структур
Для этого рассмотрим вначале диэлектрическую безграничную слоисто-периодическую
структуру. Распространение электромагнитных волн в такой структуре описывается
уравнениями Максвелла для каждого слоя структуры:
, (2.1)
, (2.2)
где , – векторы напряжённостей электрического и магнитного полей,
, – векторы электрической и магнитной индукции.
Связь между напряжённостями полей и индукцией устанавливается с помощью
материальных уравнений, описывающих среду:
. (2.3)
В дальнейшем предполагается, что слои не обладают магнитными свойствами,
поэтому .
Подставляем (2.3) в (2.1):
. (2.4)
Для и имеем:
(2.5)
. (2.6)
Вдоль направлений осей Ox и Oy слои предполагаются однородными, и поэтому
зависимость от одной из координат x или y можно исключить из уравнений; в
дальнейшем положим . Тогда соотношения (2.5) – (2.6) разделятся на две группы
уравнений:
(2.7)
(2.8)
Соотношения (2.7) содержат компоненты (TM – волны), а соотношения (2.8) –
компоненты (TE-волны). Далее будут рассматриваться TM-волны. Для TE-волн вывод
аналогичен.
Рассмотрим распространение плоских волн, предполагая, что все поля
пропорциональны . Подставляя эту формулу в уравнения Максвелла, получим
значения поперечных волновых чисел для каждого слоя:
, (2.9)
где – скорость света,
– продольное волновое число.
2.2. Методика получения дисперсионного уравнения для контакта двух
диэлектрических слоисто-периодических структур
Методика анализа, используемая нами, состоит в получении матрицы
преобразования, которая связывает поля в начале слоя с полями в произвольной
точке слоя [37]. С этой целью запишем в следующем виде:
. (2.10)
Из первого уравнения системы (2.7), найдем связь между и :
. (2.11)
Тогда:
(2.12)
В начале слоя при , получим:
(2.13)
Отсюда и равны:
(2.14)
Подставляя и в выражения (2.12), получим:
(2.15)
На плоскостях раздела слоёв должны выполняться граничные условия, состоящие в
непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей:
, (2.16)
где – z - ые координаты плоскостей раздела слоев
В дальнейшем нам понадобятся соотношения между компонентами полей в
периодических структурах. Воспользуемся теоремой Флоке: поля на границах
периода при и ( – период решетки) должны отличаться на фазовый множитель,
модуль которого равен единице [1]:
(2.17)
Волновое число называется блоховским волновым числом. По смыслу оно является
усреднённым поперечным волновым числом структуры.
Запишем выражения для магнитного и электрического полей для первого слоя левой
решётки в матричном виде:
, (2.18)
здесь
. (2.19)
Отметим, что матрица является унимодулярной, то есть её определитель равен
единице. Представим поля в начале координат через их значения в точке . Для
этого необходимо найти матрицу обратную матрице :
. (2.20)
Матрица называется матрицей преобразования и имеет вид:
. (2.21)
Матрица преобразования для второго слоя выглядит аналогичным образом:
. (2.22)
Перемножим матрицы (2.21) и (2.22):
(2.23)
Получили компоненты матрицы преобразования . Данная матрица связывает поля в
начале и в конце периода. Аналогичным образом записывается матрица
преобразования для правой решётки ():
(2.24)
Теперь найдем дисперсионное уравнение для безграничной структуры. Для
- Київ+380960830922