Ви є тут

Методи лінеаризації для нелінійних матричних рівнянь

Автор: 
Недашковська Анастасія Миколаївна
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2008
Артикул:
0408U000794
129 грн
Додати в кошик

Вміст

РОЗДІЛ 2
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПОЛІНОМІАЛЬНО-НЕЛІНІЙНИХ МАТРИЧНИХ РІВНЯНЬ
Найпростіші матричні рівняння розв’язувались ще у другій половині
дев’ятнадцятого століття [13]. Не маючи загального підходу і методів
розв’язування матричних рівнянь, кожне рівняння розв’язували у конкретному
випадку. Лиш у 1972 році авторами Bartels R. H. та Stewart G. W [66] описано
метод, який дав можливість алгоритмізувати розв’язування неперервних та
дискретних рівнянь Сильвестра, Ляпунова та Ріккаті. Цей метод було включено до
пакету програм на фортрані для лінійних задач управління [65], він започаткував
розробку так званих ортогональних методів розв’язування матричних рівнянь.
Попри значний розвиток і широке застосування ортогональних методів, питання
розв’язування матричних рівнянь не є вичерпаним: і на сьогоднішній день
знаходження хоча б одного із існуючих розв’язків матричного рівняння є великим
успіхом, не кажучи вже про обчислення кортежу розв’язків.
Предметом розгляду у даному розділі будуть системи поліноміально-нелінійних
матричних рівнянь, що задані над множинами комутуючих та некомутуючих матриць.
Буде розглянуто модифікацію методу матричної лінеаризації та її застосування до
систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь над множинами комутуючих та
некомутуючих матриць.
Обчислювальна схема методу лінеаризації для систем поліноміально-нелінійних
матричних рівнянь над множиною некомутуючих матриць
Розглянемо систему матричних рівнянь степеня із невідомими:
(2.1)
У системі рівнянь (2.1) невідомі і коефіцієнти задані над деякою множиною
некомутуючих матриць, ? розміщення з повторенням із елементів по (кожен із
елементів послідовності , ).
Застосовуючи до системи (2.1) метод матричної лінеаризації, будемо шукати її
представлення у вигляді
(2.2)
тут – Кронекерів блочний добуток матриць.
Вектор
(2.3)
Розмірність вектора (2.3) де [9].
Нехай невідомі матриці мають вигляд
(2.4)
Коефіцієнти матриць, належать множині некомутуючих матриць розмірності ,
звідси
Невідомі матриці (2.4) будемо шукати за допомогою методу невизначених
коефіцієнтів. Для цього, матриці , а також вектор підставимо у систему (2.2):
(2.5)
Після виконання елементарних обчислень, із (2.5) отримаємо наступну систему
(2.6)
У системі (2.6) здійснюємо перестановку доданків, групуючи коефіцієнти при
одночленах однакових степенів:
Для обчислення невідомих коефіцієнтів матриць отримаємо систем із лінійних
матричних рівнянь, кожна з яких матиме невідомих:

(2.7)
твердження 2.1. Для натуральних та справедлива наступна нерівність
(2.8)
Тут ? кількість розміщень із повторенням із елементів по [9].
доведення. Оскільки то нерівність (2.8) еквівалентна нерівності:
(2.9)
Звідси
або, із врахуванням
(2.10)
Розглянемо тепер більш строгу, ніж (2.10) нерівність:
або
(2.11)
Нерівність (2.11) виконуєтся для будь-яких натуральних та , а отже,
справедливою також буде нерівність (2.9). Що й потрібно було показати.
Із твердження (2.1) випливає, що системи лінійних матричних рівнянь (2.7) є
недовизначеними, а отже матимуть безліч ненульових розв’язків.
Легко бачити, що розширені матриці систем (2.7) матимуть вигляд:
(2.12)
Вздовж головної діагоналі матриці (2.12) росташовано однакових -блоків:
(2.13)
Розмірність кожного блоку матриці причому розмірність одиничних матриць
Згідно із твердженням (2.1), системи (2.7) є недовизначеними, а отже матимуть
безліч розв’язків. Для того, щоб знайти один із них, достатньо частині
невідомих коефіцієнтів матриць , а саме з них, присвоїти певні значення і
розв’язати отриману систему лінійних алгебраїчних рівнянь із квадратною
матрицею.
Нехай
тоді замість матриці (2.12) отримаємо елементарну матрицю вигляду:
(2.14)
де
(2.15)
– квадратна матриця розмірності
І вектори –
Тобто, після застосування елементарних перетворень, матриці (2.13) систем (2.7)
зводяться до елементарних. А отже, розв’язування систем (2.7) не вимагає
операцій множення та додавання.
Таким чином, алгоритм представлення системи (2.1) у вигляді (2.2) відображають
наступні кроки:
Крок 1. Із коефіцієнтів системи (2.1) сформувати вектори
Крок 2. Для знаходження розв’язків систем (2.7), записати розширені матриці
(2.12) із -блоками (2.13), що росташовані вздовж головної діагоналі даних
матриць.
Крок 3. Частині невідомих коефіцієнтів матриць присвоюєм довільні значення
Тобто замість векторів формуємо вектори
В результаті замість матриць (2.12) отримаємо розширені матриці (2.14) із
-блоками (2.15).
Крок 4. За допомогою елементарних перетворень -блоки (2.15) зводимо до
одиничних матриць розмірності а отже, й отримуємо розв’язки систем (2.7).
Покажемо тепер еквівалентність представлень (2.1) та (2.2). Для цього доведемо
наступне твердження.
Твердження 2.2. Системи (2.1) та (2.2) –еквівалентні.
доведення. Нехай є частковим розв’язком системи (2.2), тобто
Звідси
(2.16)
Після виконання елементарних обчислень із (2.16) отримаємо
Із врахуванням умов (2.7), дана система матиме вигляд
або
Тобто також буде й частковим розв’язком системи (2.1).
В силу довільності можемо стверджувати, що кожен розв’язок системи (2.2) буде
розв’язком системи (2.1). Той факт, що довільний розв’язок системи (2.1) буде
також розв’язком системи (2.2) випливає, безпосередньо, із запропонованого вище
алгоритму. А отже, якщо система матричних рівнянь рівнянь (2.1) є сумісною, то
системи (2.1) та (2.2) –еквівалентні.
Що й потрібно було довести.
Припустимо, що матриця
системи лінійних матричних рівнянь (2.2) невироджена і покажемо, що дану
матрицю можна звести до блочно-діагона