ГЛАВА 2
Основные уравнения теории тонкостенных стержней
2.1 Основные уравнения теории тонкостенных стержней открытого профиля
Как отмечалось, многие элементы несущей системы металлорежущих станков по своей
расчетной схеме следует относить к тонкостенным стержням, работающим в условиях
изгиба и кручения.
Теория изгибно-крутильных деформаций тонкостенных стержней была создана в
основном трудами отечественных ученых, причем, крупнейший вклад в эту область
принадлежит проф. В.З. Власову [19], [20], [21].
В.З. Власов, введя ряд принципиально новых понятий, построил завершенную теорию
изгибно-крутильных деформаций тонкостенных стержней открытого профиля,
позволяющую получать решения для всего круга задач по определению напряжений и
перемещений и по расчету при произвольных нагрузках и любых граничных
условиях.
В основе теории В.З. Власова лежат две гипотезы:
1. Деформация сдвига (рис.2.1) в срединной поверхности стержня равна нулю.
(2.1)
где – относительный сдвиг элемента;
– перемещение точки элемента вдоль направляющей;
– перемещение точки по касательной к контуру;
– направляющая стержня;
– образующая стержня.
Рис.2.1. Деформация сдвига
2. Контур поперечного сечения стержня не деформируется.
Отсутствие деформации контура, составляющее содержание второй гипотезы,
заключается в том, что сечение может поворачиваться, может депланировать, но
так, что после деформации проекция деформированного сечения на его
первоначальную плоскость остается неизменной (рис. 2.2).
Рис.2.2. Депланация двутаврового сечения
Рассмотрим произвольное сечение открытого тонкостенного профиля. На (рис.2.3)
изображена средняя линия сечения — контур профиля.
Рис.2.3 Контур тонкостенного профиля
Проекция полного перемещения на касательную к контуру будет равна
, (2.2)
где — перпендикуляр из центра кручения на касательную к контуру;
— угол поворота сечения вокруг центра кручения.
Проекция полного перемещения на образующую характеризует искажение контура
сечения .
Для установления связи между и воспользуемся уравнением (2.1), откуда
. (2.3)
Тогда перемещение, возникающее при кручении вследствие депланации сечения,
изменяется по закону секториальных площадей
, (2.4)
где — удвоенная секториальная площадь.
Если незамкнутый тонкостенный стержень находится в условиях стесненного
кручения, то в поперечных сечениях возникают нормальные и сопутствующие им
дополнительные касательные напряжения.
Если считать, что по толщине сечения нормальные напряжения распределяются
равномерно, то закон распределения их по контуру сечения нетрудно установить,
воспользовавшись формулой (2.4) для продольных деформаций и законом Гука.
. (2.5)
(2.6)
Формула (2.6) показывает, что нормальные напряжения при стесненном кручении
распределяются по сечению по закону секториальных площадей. Эти напряжения
называются секториальными нормальными напряжениями.
Напряжения , сопровождающие секториальные нормальные напряжения вследствие
изгиба отдельных элементов сечения, называются секториальными касательными
напряжениями:
. (2.7)
где , , (2.8)
и – толщина и ширина сечения прямоугольной полосы;
— модуль упругости материала при сдвиге;
— относительный угол закручивания.
Выражение для секториальных касательных напряжений запишется следующим образом:
, (2.9)
где — секториальный статический момент отсеченной части сечения.
Каждая точка контура сечения характеризуется тремя координатами: линейными , и
секториальной .
Для отсчета линейных координат необходимо знать центр тяжести сечения О и
главные центральные оси х и у, а для отсчета секториальных координат — центр
изгиба А и начальную точку отсчета секториальных площадей — главную
секториальную точку сечения (рис.2.4).
Рис.2.4. Центр изгиба и главная секториальная точка
В теории расчета тонкостенных стержней вводятся геометрические характеристики,
связанные с секториальной координатой :
секториальный статический момент
, (2.10)
секториально-линейные статические моменты
; , (2.11)
секториальный момент инерции
. (2.12)
секториальный момент сопротивления
. (2.13)
Значение секториального статического момента приравняем нулю, для чего подберем
соответствующее положение на контуре сечения секториальной нулевой точки , при
этом все три величины (2.10)-(2.11) равны нулю.
При полюсе, совпадающем с началом координат, дифференциал секториальной площади
. (2.14)
Аналогично для полюсов А и В:
; (2.15)
где и — относительные координаты центра кручения полюса А, отсчитанные от
произвольного полюса В в направлении положительных осей координат (рис.2.5).
Рис.2.5. Преобразование секториальных площадей при изменении полюса
После интегрирования (2.14) получим формулу преобразования секториальных
площадей при изменении полюса:
, (2.16)
где — постоянная интегрирования.
Подставляя (2.16) в (2.10)-(2.11) и приравнивая нулю, после интегрирования
получим
. (2.17)
Определив неизвестные , по формуле (2.16) можно определить ординаты эпюры
главных секториальных площадей.
Главная секториальная площадь будет удовлетворять основным условиям
(2.10)-(2.11), т.е. будет построена при надлежаще выбранных полюсе (в центре
кручения) и начале секториальных площадей. Место секториальной нулевой точки
находится автоматически, как пересечение эпюры с контуром поперечного сечения.
Это преобразование аналогично теории построения в произвольных осях х и у
формулы нормальных напряжений, удовлетворяющих закону плоскости для общего
случая действия сил на брус:
; .
Известно, что если брус находится в условиях сложного сопротив
- Київ+380960830922