РОЗДІЛ 2
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ, ЩО ВІДБУВАЮТЬСЯ В ФУНКЦІОНАЛЬНИХ ЗОНАХ ОДНОЧЕРВ'ЯЧНОГО ЕКСТРУДЕРА
2.1. Основні положення моделювання процесу екструзії
У літературі процес екструзії розглядається як сукупність зон подачі, плавлення, гомогенізації, які описуються кожна окремо різними математичними моделями. Відповідно і вплив різних факторів аналізується окремо для кожної зони. У той же час з точки зору інженерних розрахунків необхідне створення моделі екструдера, де ці зони розглядаються послідовно, але із врахуванням їх взаємного впливу і взаємного зв'язку. Тільки такий підхід дає змогу створити необхідні для проектувальників методики інженерних розрахунків екструдерів. Дійсно, якщо розгорнути в площину канал черв'яка, як це показано на рис. 2.1, а, то стає очевидним зв'язок всіх зон і їх взаємний вплив, оскільки, наприклад, зміна опору формувальної головки впливає на процес по всій довжині черв'яка, що підтверджують проведені результати експериментальних досліджень. Такий підхід реалізований в роботах [30, 31] і побудований на основі модифікованих класичних моделей процесів подачі, плавлення і гомогенізації, об'єднаних у алгоритми розрахунку екструдерів. Результати розрахунків показали ефективність такого підходу, проте розроблені моделі дозволили обчислювати тільки інтегральні показники, як, наприклад, середньомасова температура, і не дають можливості обчислення її локальних значень.
У переважній більшості праць для досліджень процесу екструзії використовується плоскопаралельна модель, у якій гвинтовий канал, утворений нарізкою черв'яка і циліндром, умовно розгортається в площину, рис. 2.1, а [26, 38, 40]. При цьому вводяться наступні припущення: не враховується кривизна каналу, який вважається розгорнутим у площину і нерухомим, а розгорнута поверхня циліндра рухається зі швидкістю V, рівною коловій швидкості черв'яка. Процес розглядається в декартовій системі координат, вісь х якої спрямована перпендикулярно гребеню витка, вісь у - по висоті нарізки, а вісь z, вздовж розгорнутого каналу нарізки, рис. 2.1, а. Проекція швидкості Vх враховує циркуляцію розплаву в напрямку осі х (поперек нарізки), а Vz, відповідно, переміщення розплаву вздовж каналу, яке забезпечує продуктивність. Профілі швидкостей Wx і Wz зображені на рис. 2.1, б. У цій моделі найбільше значення швидкості має місце біля поверхні циліндра, рис. 2.1, в, в той час як у реальному процесі навпаки, найбільше значення швидкості буде біля поверхні черв'яка, рис. 2.1, г.
Рис. 2.1. Схеми процесу екструзії
Отже, у плоскопаралельній моделі профіль швидкості обернений на 180о у порівнянні з реальним процесом. Таке припущення не має суттєвого значення для розрахунку гідродинаміки і визначення продуктивності, а також при обчисленні інтенсивності дисипації без врахування умов теплообміну з поверхнею циліндра, але для розрахунку температурних полів із врахуванням такого теплообміну це може привести до суттєвих похибок. У зв'язку з цим виникає необхідність розробки математичної моделі, яка більше наближена до реальних умов.
Для побудови моделі процесу на відміну від плоскопаралельної будемо розглядати процес екструзії в циліндричній системі координат із нерухомим циліндром і обертовим черв'яком, що більше відповідає реальному процесу, рис. 2.2, а. Виділимо об'єм, рівний об'єму одного кроку гвинтової нарізки, і умовно здеформуємо його, розгорнувши на величину кута гвинтової нарізки таким чином, щоб він набув кільцеподібної форми (рис. 2.2, б).
Рис. 2.2. Системи координат для формулювання математичної моделі
Приймемо далі, що система координат нерухома, а виділений об'єм рухається відносно цієї системи (координати Лагранжа) вздовж циліндра з середньою швидкістю VL, яку можна визначити з рівняння масової витрати G:
.(2.1) де ? - густина полімеру; Fч - площа діаметрального перерізу каналу черв'яка; D, H, E, ? - діаметр, глибина, ширина гребеня і кут нахилу гвинтової нарізки.
З рівняння (2.1) матимемо:
.(2.2) У межах виділеного об'єму виберемо ще одну рухому систему координат r, ? і z, зв'язану з цим об'ємом як показано на рис. 2.2, б. Тоді процес теплообміну в рухомій системі координат можна розглядати як нестаціонарний, який описується рівнянням збереження енергії у вигляді:
(2.3) У рухомій системі координат у межах виділеного об'єму значення координати z змінюється від нуля до (S-E), де S - крок нарізки, а Е - ширина гребеня (рис. 2.2, а).
Порівняємо швидкісні поля плоскопаралельної і розглядуваної моделей. Розглянемо спочатку компоненти швидкості на поверхні циліндра, розгорнувши в площину крок нарізки плоскопаралельної моделі (рис. 2.2, в) і кільцевий об'єм розглядуваної моделі (рис. 2.2, г) В обох випадках будемо вважати черв'як нерухомим, а циліндр рухається зі швидкістю:
(2.4) проекції якої для плоскопаралельної моделі дорівнюють:
і .(2.5) Порівнюючи рисунки 2.2, в і 2.2, г, неважко бачити, що для кільцевого об'єму проекції швидкості визначаються так:
і .(2.6) Профілі швидкості по висоті нарізки для кільцевого об'єму з обертовим циліндром зображені на рис. 2.2, д, а з обертовим черв'яком, відповідно, на рис. 2.2, е. Таким чином, у кільцевому об'ємі має місце обертання розплаву полімеру під дією складової V? і циркуляція розплаву в поперечному напрямі під дією Vz. Неважко бачити, що введені припущення дозволяють вважати процес вісесиметричним і знехтувати похідними по ? в рівнянні (2.3).
Кільцевий об'єм переміщується вздовж циліндра в напрямі осі L з середньою швидкістю VL, а час переміщення t при цьому дорівнює:
, або .(2.7) У процесі переміщення в об'ємі відбувається обертання розплаву і його циркуляція. Порівнюючи профілі швидкості у кільцевому об'ємі з обертовим черв'яком (рис. 2.2, е) із профілями швидкості плоскопаралельної моделі (рис. 2.1, б), можна бачити, що для опису швидкісних полів кільцевої моделі доц