РОЗДІЛ 2
ПОБУДОВА РОЗВ'ЯЗКІВ ФЛОКЕ-БЛОХА ТА ОЦІНКА ДОВЖИН РЕЗОНАНСНИХ ЗОН ОДНОВИМІРНОГО СТАЦІОНАРНОГО РІВНЯННЯ ШРЕДІНГЕРА З ГЛАДКИМ КВАЗІПЕРІОДИЧНИМ ПОТЕНЦІАЛОМ
2.1. Постановка задачі. Формулювання основних теорем
Розглянемо стаціонарне рівняння Шредінгера з квазіперіодичним потенціалом
, (2.1)
в якому є дійсною гладкою функцією на -вимірному торі , Ї вектор частот, Ї дійсний параметр (енергія). Питання щодо існування фундаментальної системи розв'язків блохівських функцій , , , засобами КАМ-теорії вивчалось у роботах [7, 8, 24, 46, 68, 75] та ін., зокрема у [7, 8, 24] розглядалось рівняння (2.1) з аналітичним квазіперіодичним потенціалом. Як уже зазначалось у попередньому розділі, у роботах [67, 85] також з використанням методів КАМ-теорії був одержаний результат спочатку про нескінченну диференційовність ([67]), а згодом і про аналітичність ([85]) по малому параметру меж зон нестійкості рівняння вигляду
, (2.2)
з аналітичним потенціалом (теорема 1.2.7 розділу 1).
Основна задача даного розділу полягає в тому, щоб з використанням методів КАМ-теорії розвинути техніку побудови розв'язків Флоке-Блоха для рівнянь (2.1), (2.2) з гладким потенціалом, який характеризується певною швидкістю росту при функції
(? ціла, а ? дробова частина числа ), і на цій основі одержати оцінки розмірів зон нестійкості. Для рівняння (2.2) буде встановлено аналітичність за малим параметром меж зон нестійкості. Таким чином буде узагальнено результати роботи [85] на гладкий випадок. На відміну від результатів [67, 85], на вектор частот буде накладатись послаблена діофантова умова вигляду (1.8).
Означення 2.1.1. Будемо казати, що функція задовольняє умову тригонометричної апроксимації з характеристикою , якщо існує стала і для кожного знайдеться тригонометричний поліном , де , , , такий що
для всіх .
Зафіксуємо додатні числа ,, і наступним чином
; ; ; . (2.3)
Нехай в рівнянні (2.1) потенціал і задовольняє умову тригонометричної апроксимації з характеристикою , яка має властивості
A) і ;
B) для всіх досить великих функція є монотонно спадною;
C) існує монотонно зростаюча функція , яка задовольняє такі умови:
для всіх досить великих .
Зауваження 2.1.1. З умов A) та B) випливає, що для всіх досить великих .
Зауваження 2.1.2. Оскільки функція строго монотонно зростає, то вона має обернену .
Зауваження 2.1.3. З умов A) та C) випливає, що монотонно зростаюча функція задовольняє нерівність
при досить великих , тому для досить великих , та , .
Зауваження 2.1.4. З умови C) випливає, що , .
Теорема 2.1.1. Нехай в рівнянні (2.1) потенціал і задовольняє умову тригонометричної апроксимації з характеристикою , яка має властивості A) ?C). Для визначимо функцію
де сталі ,,, задовольняють нерівності (2.3). Також покладемо . Нехай вектор частот задовольняє діофантову умову з деякою сталою :
для всіх . (2.4)
Тоді існує така стала та функція ,
,
що кожному ненульовому вектору можна поставити у відповідність єдиний інтервал такий, що на множині рівняння (2.1) має два лінійно незалежні розв'язки , , і для кожного .
Величину називають узагальненим хвильовим числом або квазіімпульсом. Зауважимо, що число буде числом обертання для рівняння (2.1) (див. означення 1.2.2). Таким чином, теорема 2.1.1 встановлює звідність рівняння (2.1) для діофантового числа обертання.
Доведення теореми 2.1.1 буде наведено у підрозділі 2.2.
Зауважимо, що на практиці можуть виникати певні труднощі при визначенні функції , оскільки часто досить важко побудувати функцію, що є оберненою до функції . В цьому випадку умови А) - С) можемо замінити умовами
A') , ;
B') якщо , , а у випадку виконується нерівність для всіх досить великих значень .
Випадок не розглядаємо, оскільки гладкі функції наближаються тригонометричними поліномами не краще, ніж аналітичні, а для аналітичного випадку
Тоді, якщо , то можемо покласти, де - як завгодно мале число, а отже . Якщо ж , то погіршуючи характеристику і замінивши її характеристикою , де функція (тут - природним чином вибране досить велике додатне число) вибирається таким чином, щоб вона була двічі неперервно диференційовною, мала додатну першу похідну, якомога повільніше монотонно зростала до деякого , коли , а уже задовольняла умови А) - С). Наприклад можемо покласти
,
де - фіксоване, . Тоді
а отже
звідки
Таким чином функцію у теоремі 2.1 можемо замінити функцією , визначену наступним чином:
, якщо ,
, якщо .
Покладемо , . Зазначимо, що з умови C) та зауваження 2.1.4 випливає збіжність інтеграла, що міститься у визначенні функції .
Як вже відмічалося раніше у розділі 1, у випадку періодичного потенціалу максимальний відкритий інтервал, який цілком складається з резонансних точок, співпадає з лакуною у неперервному спект