РАЗДЕЛ 2
АНАЛИЗ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТЫХ ТРУБАХ
При отводе с помощью пористой трубы вода движется неравномерно с изменением расхода по пути. Закономерности движения жидкости с переменным по пути расходом изучались многими авторами. Основоположником теории движения тела с переменной массой является И.В. Мещерский, опубликовавший в 1897 г. работу [86], посвященную этому вопросу. Позже в 1904 г. он развил исследования в этом направлении. В 1928 г. В.М. Маккавеевым на основе уравнений, полученных И.В. Мещерским, было выведено общее уравнение движение жидкости переменной массы [86]. Многочисленные исследования проведены по изучению движения жидкости с переменным по пути расходом в перфорированных трубопроводах [93-100] и открытых лотках [101,102]. И.М. Коноваловым [90], а затем Г.А. Петровым [92] были получены уравнения для жидкости, движущейся с изменением расхода по пути для открытых лотков.
Рассмотрим пористую трубу (рис.2.1) постоянным радиусом R, проложенную с уклоном i0 по ходу движения потока внутри трубы.
Глубина этого потока (h) изменяется по длине, уровень воды снаружи трубы - Н. Вода проникает через пористые стенки трубы как в области ниже уровня воды в трубе (z ? h), где удельный приток q1 , так и в области над уровнем воды в трубе - приток q2.
С инженерной точки зрения, то есть для расчета конструкций, интерес представляет только глубина снаружи трубы Н. Глубина потока внутри трубы (h) интересна с научной точки зрения, однако, не зная эту глубину, нельзя рассчитать Н. Поэтому необходимо изучить соотношения для обеих глубин.
Математическая модель работы пористой трубы определяется двумя основными уравнениями:
1) движения жидкости внутри трубы,
2) движения жидкости через стенки трубы.
Сложность описания работы пористой трубы обусловлена тем, что расход жидкости через стенки трубы зависит от глубины слоя воды в трубе (h), определяемой уравнением движения внутри трубы. Аналогично, закон изменения глубины h(x) определяется, в частности, закономерностями притока.
Рассмотрим вначале уравнения, описывающие поток внутри трубы.
2.1. Уравнение движения жидкости внутри трубы
Жидкость внутри трубы движется с изменением расхода по длине: в начале потока х=0, расход Q=0, а в конце при x=L - Q=Qк. Таким образом, рассматривается установившееся движение с переменным расходом в призматическом русле. Из имеющихся описаний такого движения выбрано уравнение, полученное Г.А. Петровым [92], поскольку при его выводе использован минимум допущений, а результаты проверены экспериментально.
В полном виде уравнение движения по Г.А.Петрову -
(2.1)
где ? - коэффициент Буссинеска;
Q - расход;
V - скорость потока;
Р - пьезометрическое давление в трубе;
Z - отметка оси трубы;
iF - гидравлический уклон (уклон трения);
? -проекция скорости присоединяемого потока на направление основного потока.
Для случая притока через пористую трубу с достаточно большой толщиной стенки, как показано в [84], величина ? может быть принята равной нулю. В этом случае уравнение Петрова упрощается -
(2.2)
где h = Z+P/? - пьезометрическое давление в трубе.
Ниже приведены способы приближенного интегрирования уравнения (2.2)[103]. При этом для расчета безнапорных труб пренебрегаем потерями напора на трение по длине, поскольку, как показали оценки, при возможных для промывных трубопроводов расходах и размерах эти потери мало влияют на окончательные результаты. Однако при этом существенно упрощается методика расчетов. Для случая напорных труб, как это будет показано ниже, в таком предположении нет надобности.
2.1.1. Безнапорные трубы.
Уравнение движения (2.2) в полных дифференциалах записывается в виде:
, (2.3)
где Q, ? - расход и площадь поперечного сечения потока на расстоянии X от его начала;
i0 - уклон трубы,
g - ускорение свободного падения.
Краевыми условиями для уравнения (2.3) являются:
(2.4)
В интегральной форме уравнение (2.3) имеет вид
, (2.5)
где - постоянная интегрирования.
Чтобы проинтегрировать уравнение (2.5), необходимо иметь зависимость площади сечения потока ? от его глубины h . Интеграл в правой части (2.5) - это объем жидкости в трубе от начального сечения до сечения X. Этот объем может быть приближенно вычислен по среднему сечению потока ?ср, т.е.
(2.6)
Для вычисления ?ср также необходима зависимость ?(h).
Как показал анализ и проведённые расчеты, зависимость ?(h) может быть с достаточной точностью описана степенной функцией
, (2.7)
где ? и к - эмпирические коэффициенты, вычисляемые методом наименьших квадратов;
- безразмерные площадь потока и его глубина.
Удовлетворительная аппроксимация формулы (2.7) достигается при использовании двух кривых вида (2.7):
* при h?R - ?1=1,68, к1 = 1,47 (максимальное отклонение расчетных данных от формулы (2.7) не превышает ? = 3,9%, а относительное среднеквадратичное отклонение - ? =0,037);
* при h>R - ?1=1.64, к1 = 0,95 (? = 4.2%, ? =0,026).
Подставляя (2.7) в (2.5), имеем после интегрирования
.
Для определения воспользуемся первым краевым условием из (2.4):
x=0, Q=0, h=h1.
Тогда
,
откуда
Введем коэффициент Кh=h1/hк, определяющий соотношение глубин потока в начале и конце. Тогда воспользовавшись вторым краевым условием из (2.4) - ,
имеем
(2.8)
В уравнении (2.8) коэффициент Кh является функцией двух безразмерных параметров. Первый из них - это отношение удвоенного скорос