РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА РОЗРАХУНКОВОЇ МОДЕЛІ, ЩО ДОЗВОЛЯЄ
ВРАХОВУВАТИ НАЯВНІСТЬ ПОВЕРХНЕВОГО ПОШКОДЖЕННЯ
2.1. Описання і розрахунок коливань нестаціонарної двомасової моделі поверхневого пошкодження
Розглянемо деяку механічну конструкцію або її елемент. Нехай він має довільну форму, виготовлений із пружного матеріалу з лінійною залежністю між напругами й деформаціями. Припустимо також, що в розглянутому елементі є локалізоване пошкодження у вигляді макротріщини. Завдання полягає в тому, щоб по комплексу діагностичних ознак виявити це пошкодження.
Серед неруйнівних методів контролю найбільш ефективним вважається вібраційна діагностика пошкоджень, яка основана на взаємозв'язку між параметрами тріщини і зміненнями динамічних характеристик системи. Удосконалення відомих і створення нових вібраційних методів виявлення дефектів на стадії їхнього зародження й початкового розвитку вимагають більш глибоких теоретичних досліджень динаміки об'єкта діагностики. При цьому можливість і ефективність теоретичних досліджень у значній мірі визначаються видом використовуваної діагностичної моделі, яка повинна відбивати стан об'єкта, що відповідає наявності дефекту, і в той же час бути достатньо простою для аналітичного аналізу.
Побудуємо модель, що дозволяє приблизно вивчити залежність динамічних характеристик коливань від розмірів пошкодження незалежно від конкретного виду виробу.
Найпростішою моделлю, що дозволяє вивчати гармонічні коливання системи, є, як відомо, лінійна одномасова система: вантаж маси m, прикріплений невагомою пружиною жорсткості C до нерухомої основи (рис. 2.1 (а)). Незважаючи на свою простоту, використання подібної моделі дозволяє, як правило, досить точно оцінювати параметри одночастотних (гармонічних) коливань систем з будь-яким числом ступенів вільності, якщо відома форма коливань.
а) б) в)
Рис. 2.1. Моделі тіла з тріщиною: а) базова модель,
б) одномасова модель з кусочно-сталою жорсткістю,
в) двомасова модель.
Припустимо тепер, що у виробі є тріщина. Для забезпечення ефективності процедури діагностичного контролю необхідно, щоб виріб вібрував за такою формою, при якій тріщина розкривається максимальним образом. У випадку утомних пошкоджень це буде та форма коливань, що, властиво, і викликала появу тріщини. При коливаннях виробу за цією формою берега тріщини будуть то змикатися (стиск), то розмикатися (розтягання), тобто при стиску матеріал виробу поводиться як суцільний, а при розтяганні загальна жорсткість виробу зменшується, тому що тріщина на розтягання не працює. Таким чином, виріб із тріщиною має різні жорсткості на розтягання й стиск. Моделюючи тріщину за допомогою додаткової пружини жорсткості С2, що працює тільки на стиск, приходимо до одномасової коливальної системи з кусочно-сталою жорсткістю [81], зображеної на рис. 2.1 (б).
Описаний підхід у ряді випадків дозволяє цілком адекватно характеризувати поведінку реальних конструкцій із тріщинами, однак він має ряд істотних недоліків. Добре відомо, зокрема [15, 64, 65, 85], що навіть відносно невеликі зміни структури матеріалу слугують джерелом пружно-пластичних хвиль, що виникають у момент утворення або розвитку зазначеного дефекту. Дане явище одержало назву акустичної емісії. У рамках нелінійної одномасової моделі зазначений ефект практично не проявляється. Так, при зменшенні жорсткості системи на одному напівциклі коливань на 20 % амплітуда другої гармоніки, відповідно до цієї моделі, становить 1,4 % амплітуди першої гармоніки коливань, що розходиться з експериментальними даними [1, 75]. Основною причиною такої невідповідності є те, що переміни в системі, викликані її пошкодженням, моделюються зміною пружних властивостей моделі (невагомої пружини), а інерційні властивості залишаються без змін.
Джерелом вищезгаданих пружно-пластичних хвиль є, насамперед, ударна взаємодія берегів тріщини при їхньому циклічному змиканні й розмиканні. Враховуючи можливість контакту вільних поверхонь тріщини при коливаннях об'єкта, введемо додаткову масу m2. У підсумку одержуємо нелінійну двомасову модель пошкодження, зображену на рис. 2.1 (в). Основна пружина жорсткості С1 моделює пружні зв'язки неушкодженої частини виробу; жорсткість додаткової пружини відповідає величині змінення жорсткості, обумовленого наявністю тріщини. Вантаж масою моделює ділянку виробу з порушеною суцільністю, яку умовно називають зоною впливу тріщини (у роботах [11, 12] характеризується шириною d ). Передбачається, що в стані рівноваги зазор між масами дорівнює нулю. Сумарні величини і характеризують відповідно пружні й інерційні властивості виробу, що діагностується, при відсутності в ньому пошкодження.
Розглянемо вільні коливання моделі, зображеної на рис. 2.1 (в). Рух першого і другого вантажів у проміжках між ударами описується відповідно рівняннями
де через , позначено зміщення вантажів з положення рівноваги, крапками позначена друга похідна за часом t.
У випадку прямого центрального удару застосування до мас, що зіткнулися, теореми про зміну кількості руху [90] дає
, (2.1)
де , - швидкості відповідно першої і другої мас до удару,
, - швидкості мас після удару.
Введемо також позначення і для власних частот коливань кожного з вантажів і - для власної частоти вихідної системи (без пошкодження).
Використання коефіцієнта відновлення при ударі
, (2.2)
який враховує пружні властивості мас, що зіткнулися, дає можливість варіювати характер удару від абсолютно пружного ( ) до абсолютно непружного ( ).
З виразів (2.1), (2.2) знаходимо швидкості вантажів після удару:
, (2.3)
. (2.4)
Рівняння коливань системи з урахуванням ударної взаємодії можна записати у вигляді системи
(2.5)