РОЗДІЛ 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ПРО КОЛИВАННЯ ПІДКРІПЛЕНИХ ОБОЛОНОК ОБЕРТАННЯ З ВРАХУВАННЯМ ДІЇ ЗОВНІШНЬОГО СЕРЕДОВИЩА
При побудові рівнянь коливань підкріплених оболонок обертання з врахуванням дискретності розміщення ребер та впливу зовнішнього середовища в даній роботі використовується геометрично нелінійний варіант теорії оболонок і стержнів типу Тимошенка в квадратичному наближенні [69, 70]. Використовуючи варіаційний принцип стаціонарності Гамільтона - Остроградського, з врахуванням умов контакту оболонка - ребро, отримані рівняння осесиметричних та неосесиметричних коливань неоднорідних оболонкових структур з врахуванням зовнішнього середовища в варіаційній та диференціальній формах з відповідними природними граничними та початковими умовами. Розглянуто постановку задач про взаємодію циліндричних та сферичних оболонок з ґрунтовим середовищем.
2.1 ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНО НЕЛІНІЙНОЇ ТЕОРІЇ
ОБОЛОНОК ТА СТЕРЖНІВ ТИПУ ТИМОШЕНКА
2.1.1 ВИХІДНІ ПОЛОЖЕННЯ ТА РІВНЯННЯ ДЕФОРМАЦІЇ ПРУЖНИХ ТІЛ
Нехай пружне тіло, що віднесено до ортогональної криволінійної системи координат , під дією деяких сил деформується. Тоді деяка точка тіла М, що має координати (), отримає переміщення, яке може бути представлене трьома проекціями вектора повного переміщення в напрямках дотичних до координатних ліній
(2.1)
Деформаційний стан оболонки тіла в околі точки М() в рамках геометрично нелінійної теорії пружності характеризується наступними співвідношеннями [113,114]
(2.2)
де
(2.3)
(2.4)
В співвідношеннях (2.3), (2.4) величини - коефіцієнти Ляме [113,114], які при побудові теорії оболонок мають вигляд
(2.5)
де - головні кривизни серединної поверхні оболонки; причому - радіуси головних кривизн; - коефіцієнти першої квадратичної форми.
Коефіцієнти першої квадратичної форми пов'язані з величинами відомими співвідношеннями Гауса-Кодаці
(2.6)
При розгляді розподілу деформацій і напружень, будемо покладати, що тіло є анізотропним і в процесі деформацій залишається пружним і підпорядковується узагальненому закону Гука для даного анізотропного тіла [115,116]. Зокрема, як частковий випадок загального анізотропного тіла, будемо розглядати ортотропне тіло, у якого через кожну точку тіла проходить три взаємно ортогональні площини пружної симетрії. Зв'язок між компонентами тензорів напружень і деформацій у такому тілі мають вигляд [115,116]
(2.7)
В формулах (2.7) пружні сталі мають наступний зміст - модулі Юнга у відповідних напрямах ; - модулі зсуву для поверхонь ; - коефіцієнти Пуассона, що характеризують поперечний стиск при розтягу в напрямі осей координат (перший індекс показує напрям поперечного стиску, другий - напрям дії сили). Причому, згідно умов симетрії маємо
2.1.2 Основні положення теорії оболонок типу Тимошенка
Розглядається оболонка постійної товщини з гладкою серединною поверхнею в ортогональній криволінійній системі координат . Координатні лінії на серединній поверхні оболонки при співпадають з лініями головних кривизн; координатна лінія є прямою, яка ортогональна до серединної поверхні. Будемо рахувати величину додатною, якщо точка знаходиться зі сторони опуклості серединної поверхні.
В основу побудови математичної теорії оболонок типу Тимошенка покладені наступні кінематичні і статичні гіпотези.
1. Покладається, що нормаль до вихідної поверхні до деформації залишається прямолінійною після деформації; не змінює своєї довжини, але повертається відносно цієї поверхні на деякий кут. Згідно цих припущень закон розподілення переміщень приймається у вигляді
(2.8)
де - кути повороту нормалі.
2. Компоненти тензора деформацій визначаються згідно найпростішого нелінійного варіанту теорії ортотропних оболонок в квадратичному наближенні [114]. З врахуванням формул (2.5), (2.6), співвідношення (2.2) в цьому випадку мають наступний вигляд
(2.9)
де
(2.10)
3. Розв'язуючи перші три рівняння співвідношень (2.7) відносно при врахуванні, що і нехтуванні величиною в порівнянні з і , отримаємо наступні формули, що зв'язують напруження з відповідними деформаціями
(2.11)
де величини мають наступний вигляд
4. Зсувні поперечні напруження і мають вигляд
(2.12)
2.1.3 Основні положення теорії криволінійних стержнів
з врахуванням деформацій зсуву
Нехай маємо тонкий криволінійний стержень довільного поперечного зрізу. В центрі ваги площини зрізу розташуємо початок координат , причому вісь направлена вздовж осі стержня, а вісі і паралельні головним осям цього поперечного зрізу. Припускається, що вздовж осі поперечний зріз стержня сталий. Координатна лінія при співпадає з лінією головної кривизни; лінії і являються ортогональними до координатної лінії . Величина рахується додатною, якщо розглянута точка лежить зі сторони опуклості координатної лінії. Система координат - ортогональна по побудові і її коефіцієнти Ляме мають вигляд
(2.13)
де - параметр Ляме серединної лінії; - головна кривизна, причому - радіус головної кривизни.
Прийняття гіпотези недеформованості поперечного зрізу криволінійного стержня, при врахуванні мализни розмірів поперечного зрізу сте