РОЗДІЛ 2
НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНИЙ СТАН ДВОХ ТА
ТРЬОХШАРОВИХ СКЛАДЕНИХ СТЕРЖНІВ З ПРУЖНИМИ
ПОДОВЖНІМИ І ПОПЕРЕЧНИМИ ЗВ'ЯЗКАМИ
2.1. Постановка задачі. Прийняті гіпотези
При побудові розв'язків про напружено-деформований стан (НДС) двох та трьохшарових складених стержнів з пружними подовжніми і поперечними зв'язками будемо виходити із наступних положень та гіпотез:
1. Окремі шари виконані із ізотропних матеріалів і мають в площині складеного стержня постійну висоту поперечних перерізів. При цьому, самі перерізи можуть мати довільну форму.
2. Кожен шар являє собою ізотропне тіло, у якого один розмір (довжина) значно перевищує розміри його поперечного перерізу (не менш, ніж в 4-5разів).
3. Кожен шар задовольняє гіпотезі плоских перерізів.
4. Для кожного волокна окремого шару приймаємо одноосний закон Гука, тобто вважаємо, що окремі волокна не натискають одне на одне в поперечному напрямку.
5. Задача про НДС розглядається в геометрично та фізично лінійній постановці.
6. Об'ємною власною вагою шарів у порівнянні із зовнішнім навантаженням нехтуємо.
7. Розмірами поперечних перерізів зв'язків, що об'єднують окремі шари складеного стержня по висоті його поперечного перерізу, нехтуємо. Їх наявність у конструкціях моделюємо відповідними силами їх реакцій, що діють на окремі шари складених стержнів.
8. Властивості матеріалу швів та розміри їх поперечних перерізів ураховуються в значеннях коефіцієнтів жорсткостей швів в поздовжньому та поперечному напрямках.
9. Шви працюють лінійно-пружно.
10. Розглядаючи сили реакцій швів, що діють на окремі шари складених стержнів, як зовнішнє навантаження по відношенню до окремих шарів, можемо вважати шви як неперервно-розподіленими вздовж складених стержнів, так і перервними.
2.2. Напружено-деформований стан двохшарових
складених стержнів
Оскільки складені стержні внутрішнє є завжди статично невизначеними, для розв'язання задачі про їх НДС складемо три групи рівнянь: рівноваги; геометричні та фізичні рівняння.
2.2.1. Рівняння рівноваги
Виділивши нескінченно малий елемент 2-х шарового складеного стержня довжиною dx (рис. 2.1), запишемо рівняння рівноваги для кожного його шару. При цьому, правила знаків для внутрішніх зусиль та зовнішніх навантажень подано на рис. 2.2, рис. 2.3.
Рис. 2.1. 2-х шаровий складений стержень з неперервними зв'язками
За розрахункову вісь окремого і-го шару (рис. 2.1) нами прийнята його центральна вісь із прив'язками dі,в і dі,н.
Рис. 2.2. Розрахункова схема 1-го шару
Рис. 2.3. Розрахункова схема 2-го шару
Рівняння рівноваги для 1-го шару:
(2.1)
для 2-го шару:
(2.2)
В (2.1), (2.2) прийняті позначення (індекси "1" і "2" відповідно відносяться до 1-го та 2-го шарів складеного стержня):
N1, N2 - поздовжні сили; M1, M2 - згинаючі моменти; Q1, Q2 - поперечні сили;
T12 - погонне зсуваюче зусилля у шві; S12 - погонне поперечне зусилля у шві;
q1 (x), q2(x), g1(x), g2(x)- погонні зовнішні навантаження.
2.2.2. Геометричні рівняння. Урахування зсуву між шарами
Як випливає із рис. 2.2, рис. 2.3, окремі шари одночасно працюють на розтяг-стиск та згин. При цьому, виходячи з гіпотези плоских перерізів, на рис. 2.4, рис. 2.5 маємо епюри подовжніх переміщень, відповідних відносних деформацій та нормальних напружень, що виникають окремо при розтязі-стиску та згині.
Рис. 2.4. Епюри u, ?, ? при розтязі окремого шару,
що випливають із гіпотези плоских перерізів
Рис. 2.5. Епюри u, ?, ? при згині окремого шару,
що випливають із гіпотези плоских перерізів
Якщо позначити подовжні переміщення окремих шарів та відповідні їм відносні деформації, що виникають при розтязі-стиску, як u1, u2 та ?1,?2, то для кожного шару маємо загально відомі диференційні залежності:
. (2.3)
Із рис. 2.5 маємо зв'язок між подовжніми переміщеннями розрахункового волокна uм та кутом повороту поперечного перерізу при згині ?:
або в геометрично-лінійній постановці задачі за умови
(2.4)
остаточно запишемо
(2.5)
На рис. 2.5 наведено правило знаків для деформацій та напружень при згині.
Підставивши (2.5) в (2.3), отримуємо відносні деформації волокон ?м при згині в залежності від куту повороту ?:
(2.6)
В свою чергу, кут повороту ? пов'язаний з прогином шару W диференційним співвідношенням
(2.7)
що випливає безпосередньо з рис. 2.6.
Рис. 2.6 - Зв'язок між прогином та кутом повороту
Залежності (2.3), (2.5), (2.6) та (2.7) очевидно є справедливими для кожного шару складеної балки.
Завдяки тому, що подовжні переміщення в окремих волокнах кожного шару в загальному випадку можуть бути різними (рис. 2.7), на межі шарів у шві виникає зсув ?12.
Подовжні переміщення окремих волокон шару включають в себе переміщення як від розтягу-стиску, так і від його згину (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Епюри подовжніх переміщень волокон шарів
складеного стержня при їх розтязі та згині
Вирази для сумарних подовжніх переміщень крайніх волокон у шарах безпосередньо випливають з розгляду рис. 2.7:
;
. (2.8)
В (2.8) і далі прийняті наступні позначення: