РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И МЕТОДОВ ОПЕРАТИВНОГО ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ РАЗГРУЗОЧНЫХ АГРЕГАТОВ
2.1. Математическая модель деформационных процессов опорных элементов и конструкций вращающихся разгрузочных агрегатов.
В практике производства инженерно-геодезических работ очень часто возникает необходимость в определении [116] деформаций сечений сооружений цилиндрической и конической формы (дымовые трубы, емкости для хранения жидкости, бандажи вагоноопрокидывателей, вращающихся печей и других объектов).
Иногда требуется определить геометрические параметры сечений сооружений криволинейной формы, проектные данные которых неизвестны или требуют уточнения [114].
Решим эту задачу на примере вращающегося вагоноопрокидывателя. Так, в большинстве случаев поперечные сечения ротора и бандажей вагоноопрокидывателя в результате длительных ударно-вибрационных воздействий в процессе работы приобретают эллиптическую форму, малая ось такого эллипса совпадает с направлением удара вагона при разгрузке. Возникает задача определения параметров оптимальной окружности или эллипса бандажа и ротора, подбора оптимальных величин прокладок для быстрой замены части бандажа или полной замены всего бандажа при проведении ремонтных работ. При этом центр окружности и бандажа должен совпадать с осью вращения ротора.
В результате происходящих деформаций поперечное сечение сооружения имеет криволинейный вид, в общем виде напоминающий эллипс (рис.2.1). Прямоугольные координаты Xi, Yi точек Мi, определенные через равные угловые интервалы, получены геодезическими методами. Требуется методом наименьших квадратов подобрать параметры оптимального эллипса (X0, Y0 координаты центра эллипса, a и в полуоси эллипса, угол наклона полуоси в эллипса) так, чтобы сумма квадратов отклонений Vi=МiNi точек реальной кривой от эллипса вдоль его нормали была бы наименьшей, т.е., найти минимум функции:
. (2.1)
Следует отметить, что в геодезической литературе аппроксимация кривых с помощью эллипса при решении прикладных задач до настоящего времени не выполнялась.
Рис. 2.1. Принцип определения оптимальных параметров эллиптического сечения вращающегося агрегата.
Очевидно, что координаты заданных точек Мiв системе прямоугольных координат, оси которой совмещены с большой и малой полуосями будут иметь вид:
(2.2)
Уравнение искомого эллипса в системе координат ОX"Y" примет вид:
(2.3)
Кратчайшим расстоянием от точки до эллипса будет отрезок по нормали . Определим это расстояние.
Запишем уравнение касательной к эллипсу в точке :
(2.4)
Угловой коэффициент этой прямой равен:
, (2.5)
а уравнение нормали к эллипсу в точке будет иметь вид:
(2.6)
Координаты точки лежащей на искомом эллипсе, найдем решив систему уравнений:
(2.7)
Данная система состоит из двух алгебраических уравнений второго порядка относительно . Ее решение сводится к одному алгебраическому уравнению четвертого порядка. Так как количество параметров велико, то решить систему аналитически достаточно сложно.
Предположим, что эллипс близок к окружности, т.е.:
, (2.8)
где - безразмерная малая величина.
Отметим, что это ограничение вытекает из постановки задачи.
С учетом малого параметра система уравнений (2.7) примет вид:
(2.9)
Решение этой системы уравнений будем искать в виде ряда по малому параметру , т.е.
(2.10)
Подставляя выражения (2.10) в первое уравнение системы (2.9), получим:
(2.11)
где многоточие означает слагаемые более малого порядка относительно .
Аналогично, подставив выражение (2.10) во второе уравнение системы (2.9), получим:
(2.12)
При эллипс принимает форму окружности. Из нулевого приближения получим систему уравнений:
(2.13)
Откуда находим:
, , (2.14)
где .
Для первого приближения, получим систему уравнений:
(2.15)
Это система линейна относительно величин . Ее решение имеет вид:
(2.16)
Подставляя в это решение нулевое приближение (2.14), получим:
(2.17)
Аналогично получим:
(2.18)
Следовательно, решение системы (2.9) с учетом нулевого и первого приближений окончательно примет вид:
(2.19)
или:
, (2.20)
а квадрат расстояний:
(2.21)
Запишем окончательное выражение функции (2.1):
, (2.22)
где а и определяются соотношением (2.2).
Приняв можно выполнить аппроксимацию окружностью:
(2.23)
Рассмотрим пример выполнения аппроксимации сечения ротора вагоноопрокидывателя ВРС-93 Макеевского коксохимического завода. Сечение вагоноопрокидывателя с полученными геодезическим методом деформациями представлено на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Конхоида поперечного сечения корпуса вагоноопрокидывателя.
Анализ полученных деформаций поперечного сечения вагоноопрокидывателя показывает, что в некоторых контрольных точках они превышают допустимые значения, а сама форма близка к эллипсу и это практически не оказывает существенного влияния на работу агрегата, как если бы сечение было аппроксимировано окружностью, но объем ремонтных работ по рихтовке узлов вращающе