РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ КАРДІОІНТЕРВАЛОГРАМИ ПРИ ФІЗИЧНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ
Ґрунтуючись на особливостях формування, факті нестаціонарного (перехідного)
характеру КІГ при фізичних навантаженнях, а також властивій стохастичності
кардіоінтервалів, побудовано нову математичну модель КІГ при фізичних
навантаженнях у вигляді суми дискретної детермінованої функції та стаціонарної
лінійної випадкової послідовності. Розглянуто характеристики запропонованої
математичної моделі. Запропоновано діагностичні ознаки для прийняття рішень
щодо адаптивно-регулятивних можливостей організму людини будувати на основі
ймовірнісних характеристик КІГ: математичного сподівання, кореляційної функції
та щільності розподілу.
Основні результати цього розділу опубліковано в роботах [17, 49, 52, 54-57].
2.1. Обгрунтування математичної моделі кардіоінтервалограми при фізичних
навантаженнях
Для побудови математичної моделі КІГ розглянемо механізми формування
КІГ-сигналу при фізичних навантаженнях.
На основі медичних досліджень [25, 34, 69, 70, 90] відомо, що значення
тривалостей RR-інтервалів КІГ залежать від ритмічної активності пейсмекерcьких
клітин синусного вузла. У свою чергу ритмічна активність знаходиться під
нервовим та ендокринним контролем, а також під впливом ряду гуморальних
факторів, що змінюють поріг спонтанної деполяризації пейсмекерів синусного
вузла. Останнє приводить, відповідно, до збільшення чи зменшення тривалостей
RR-інтервалів. Крім названих факторів на зміну тривалостей кардіоінтервалів
впливають також фактори, що пов’язані з випадковими подіями. Такими подіями
можуть бути ковтання, подразнення зі сторони зовнішнього (звуковий чи світловий
вплив) чи внутрішнього (раптове посилення перистальтики кишечнику) середовища,
зміна положення тіла. Таким чином, вплив названих вище факторів один на другий
та на результуючу КІГ носить стохастичний характер. Отже, можна стверджувати,
що процес виникнення та формування КІГ має стохастичний характер і тому він є
випадковим процесом.
Як показують результати досліджень [11, 12, 82, 90], при дії на організм людини
фізичного навантаження тривалості RR-інтервалів починають зменшуватися до
певного рівня, а потім, в процесі зняття фізичного навантаження, зростають
протягом деякого часу до попереднього рівня (стан відновлення). Це явище
вимагає врахування нестаціонарності, перехідного характеру тривалостей
кардіоінтервалів в математичній моделі КІГ при фізичних навантаженнях.
Враховуючи наведені вище міркування, математичну модель КІГ при фізичних
навантаженнях запишемо у вигляді адитивної моделі:
(2.1)
де – деяка дискретна функція, яка відображає динаміку зміни (тренд) тривалостей
RR-інтервалів КІГ;
– стаціонарний випадковий процес з нульовим математичним сподіванням.
Стаціонарний випадковий процес враховує стохастичний характер змін (флуктуацій)
тривалостей RR-інтервалів КІГ;
– множина елементарних подій.
Зауважимо, що у випадку реєстрації КІГ в стані спокою (без фізичних
навантажень), її моделлю також буде лінійний випадковий процес (2.1) причому .
2.2. Лінійна випадкова послідовність як модель стохастичної складової
кардіоінтервалограми
Оскільки записана математична модель (2.1) КІГ при фізичному навантаженні
передбачає в подальшому імітаційне моделювання, то стаціонарний випадковий
процес виберемо з класу лінійних випадкових процесів [61, 62, 64]. Найбільш
корисною, стосовно імітаційного моделювання, властивістю лінійних випадкових
процесів є те, що вони за означенням, зображені в конструктивній формі, яка
передбачає можливість отримання імітованого процесу шляхом перетворення
найпростішої випадкової послідовності (наприклад, білого шуму) [7, 64].
Зокрема, якщо задано ядро та функцію розподілу породжуючого білого шуму
лінійної випадкової послідовності, то її імітаційне моделювання зводиться до
здійснення лінійного перетворення білого шуму.
Означення 2.1. Лінійним сепарабельним випадковим процесом називається процес
[64], який допускає таке зображення:
, (2.2)
де невипадкова функція при кожному фіксованому
- випадковий процес з незалежними приростами і безмежно подільним законом
розподілу.
Сепарабельний процес що допускає зображення (2.2), називається лінійним у
вузькому розумінні випадковим процесом. Якщо ж в цьому інтегралі вважати
випадковим процесом з некорельованими або ортогональними приростами, то
отримаємо лінійний в широкому розумінні випадковий процес.
Зупинимось на основних властивостях лінійних випадкових процесів [7, 64].
Теорема 1.1. Одновимірна характеристична функція лінійного випадкового процесу
визначається наступним чином:
(2.3)
де - дійсна чи комплекснозначна невипадкова числова функція, що задовольняє
умові
при кожному фіксованому ;
- дійсний однорідний процес з незалежними приростами, характеристична функція
якого визначається згідно виразу
, (2.4)
де
Функції і задовольняють таким умовам:
а) - неспадна в , - неспадна в (в нулеві ці функції не означені);
б) ;
в) ;для для будь-якого скінченного .
Величини та є деякими числовими дійсними постійними.
Доведення даної теореми приведено в роботі [64].
Логарифм характеристичної функції лінійного процесу , поданий у вигляді виразу
(2.3) носить назву представлення у формі Леві за аналогією зображення
характеристичної функції однорідного випадкового процесу з незалежними
приростами (2.4). Логарифм характеристичної функції у формі А.М. Колмогорова
подається наступним чином:
(2.5)
де - спектральна функція Колмогорова.
Для функції має місце таке с