РОЗДІЛ 2
ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З МАРКОВСЬКИМИ
ПАРАМЕТРАМИМИ МЕТОДОМ ФУНКЦІОНАЛІВ
ЛЯПУНОВА-КРАСОВСЬКОГО
2.1. Постановка задачі
Нехай на ймовірнісному просторі задано на потоці -алгебр випадковий процес
диференціально-функціональним рівнянням з марковськими параметрами (ДФРзМП)
(2.1)
за початковими умовами
, (2.2)
де ; - стохастично-неперервний однорідний марковський процес з неперервними
справа реалізаціями, заданий на компактному фазовому просторі ; - неперервне
відображення за аргументами.
Означення 2.1. Абсолютно неперервний за змінною n-вимірний випадковий процес
називається розв’язком задачі (2.1), (2.2) на множині , якщо з ймовірністю 1
виконується рівність
(2.3)
Якщо довільні два розв’язки (2.1), (2.2) рівні між собою з ймовірністю одиниця
на довільному відрізку , то говорять, що на цій множині розв’язок єдиний. У
цьому випадку за умови розв’язок будемо позначати через , а його частину
траєкторії на відрізку часу через .
У подальшому будемо припускати виконання однієї з умов на праву частину
рівняння (2.1)
L1) Глобальна умова Ліпшиця:
для всіх та , .
L2) Посилена глобальна умова Ліпшиця:
існує така ймовірнісна міра на -алгебрі борелівських підмножин відрізку , що
для всіх та
L3) Локальна умова Ліпшиця:
за умови , r>0 та .
L4) Посилена локальна умова Ліпшиця:
для довільних , r>0 та .
За обмеженнями типу L3, L4, як правило, використовується обмеження, так
званого, підлінійного росту
(2.4)
або
(2.5)
для всіх та .
Зрозуміло, що з глобальних умов L1) або L2) та умови
(2.6)
випливають умови (2.4), (2.5) відповідно [9].
Підставляючи у праву частину ДФРзМП (2.1) реалізації марковського процесу та,
використовуючи результати праці [57], легко переконатися у тому, що глобальна
умова Ліпшиця L1) та умова (2.6) (або локальна умова L3) та умова (2.6))
гарантують існування та єдиність розв’язку задачі (2.1), (2.2) на для
довільного .
Введемо поняття стійкості тривіального розв’язку рівняння (2.1), як це зроблено
в працях [28], [33], [40], [50], [51], [63], [64] причому природно покласти в
умові (2.6), тобто
(2.7)
а також вважати, що існує єдиний розв’язок задачі (2.1), (2.2) на будь-якому
напівінтервалі .
Означення 2.2. Тривіальний розв’язок задачі (2.1), (2.2) назвемо:
стохастично стійким, якщо >0 існує таке , що виконується нерівність
, (2.8)
як тільки ;
асимптотично стохастично стійким, якщо виконується (2.8) та існує таке , що для
та
; (2.9)
локально асиптотично стохастично стійким, якщо він стохастично стійкий та
існують такі і , що
, ,
як тільки
Означення 2.3. Тривіальний розв’язок задачі (2.1), (2.2) назвемо:
p –стійким, якщо
асимптотично p –стійким, якщо він p –стійкий та існує таке , що
для та
Означення 2.4. Тривіальний розв’язок задачі (2.1), (2.2) назвемо
експоненційно p –стійким, якщо існують такі , M>0 та , що для довільних та
; (2.10)
якщо р=2, то розв’язок задачі (2.1), (2.2) називається експоненційно стійкий у
середньому квадратичному;
глобально експоненційно p –стійким, якщо (2.10) виконано для всіх та
сильно експоненційно p –стійким, якщо існують такі , M>0 та , що для всіх та
; (2.11)
сильно глобально експоненційно p –стійким, якщо нерівність (2.11) виконується
для всіх та .
2.2. Похідна за Ляпуновим на розв’язках
диференціально-функціональних рівнянь (2.1), (2.2)
Розглянемо скалярний неперервний функціонал [39], [63] за всіма змінними
, (2.12)
для якого виконана глобальна умова Ліпшиця
(2.13)
для всіх та умова глобальної обмеженості
. (2.14)
За допомогою розв’язку (2.1), (2.2) та перехідної ймовірності марковського
процесу визначимо лінійний оператор [30]
(2.15)
Теорема 2.1. Нехай функціонал v неперервний, тоді :
результат дії оператора {T(t)} на є неперервною функцією за аргументами, тобто
, де
оператор {T(t),} утворює напівгрупу:
(2.16)
3) сім’я лінійних операторів на фазовому просторі визначає стохастичний
неперервний марковський процес з неперервними справа реалізаціями.
Доведення. 1). За умови L1) можна одержати нерівність
для довільних та , а завдяки стохастичної неперервності феллерівського
марковського процесу функція {T(t) неперервна за сукупністю аргументів .
2). Завдяки єдиності розв’язку задачі (2.1), (2.2) та властивостей перехідної
ймовірності [30] матимемо
але за визначенням
і тому можна записати
для довільних , та , що і доводить (2.16).
3). Оскільки неперервна на відрізку функція аргументу t , що задана рівністю
[63]
є рівномірно неперервною, тоді . Звідки, враховуючи стохастичну неперервність
марковського процесу та неперервність функціоналу за сукупністю змінних,
випливає співвідношення
для всіх , та .
Залишилося скористатися теоремою 2.1, C. 79 [30] та лемою 2.2, C. 83 [30], щоб
одержати твердження 3 теореми 2.1.
Означення 2.5. Слабкий інфінітезимальний оператор визначається на функціоналі ,
якщо для всіх , та знайдеться таке , що існує
рівномірно за аргументами та z деякого околу точки , а також існує границя
(2.17)
Нехай та - перша мить виходу випадкового процесу з . Якщо ця нерівність ніколи
не виконується, то накладемо .
Зрозуміло, що подія , що визначена тільки значеннями розв’язку задачі (2.1),
(2.2) моменту часу t, є марковською випадковою величиною [30].
Якщо позначити , то формулу Динкіна ((5.8), [30], C.191) можна записати для
нашого випадку у вигляді
(2.18)
для довільного і , та .
Лема 2.1. Якщо неперервний функціонал задовольняє умови (2.13), (2.14), то
слабкий інфінітезимальний оператор за означенням 2.5 можна подати у вигляді
трьох операторів, що діють відповідно по першому, другому та третьому
аргументам
(2.19)
якщо функціонал v лежить в
- Київ+380960830922