РОЗДІЛ 2
КВАЗІПРИМАРНІ РОЗКЛАДИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ПІДМОДУЛІВ
В останні десятиліття спостерігається значний інтерес дослідників до теорії
первинних та примарних модулів. Розглядаються також різноманітні їх модифікації
як узагальнення відповідних понять, відомих для ідеалів.
Першим первинні модулі розглядав В. А. Андрунакієвич. У його роботі [71]
поняття первинного модуля виникає як допоміжне – для побудови нового радикалу в
категорії кілець, – проте, як виявив сам автор, цей радикал співпадає з
радикалом Брауна-Маккоя. Так поняття первинного модуля за Aндрунакієвичем дало
змогу побудувати радикал Брауна-Маккоя простішим шляхом. Пізніше поняття
первинного модуля розглядали Е. Феллер і Е. Своковський [72]. У них ідея
первинних модулів походить з первинних в сенсі Голді кілець, а не з напрямку
узагальнення первинних ідеалів, як це спостерігається у наш час. В наступний
період виникло декілька понять, які узагальнюють добре відоме поняття
первинного (двостороннього) ідеалу асоціативного кільця з одиницею [73], [74].
В кожному випадку ідеал кільця є первинним тоді і тільки тоді, коли
фактор-кільце є первинним як лівий -модуль. Зокрема, розглядаються (1) первинні
та (2) строго первинні підмодулі за Дж. Бічі [75], (3) -первинні підмодулі за
Л. Біканом [76], та (4) строго первинні (або -модулі) за Гендельменом-Лоуренсом
[77]. К. Ломп та А. Пенья [78] порівнюють деякі поняття первинності для
модулів, що існують у сучасній літературі, а саме – первинні, строго первинні,
-первинні та -первинні модулі. Потім вийшло дуже багато робіт і всіх їх тут
неможливо згадати. Разом з тим, невідома жодна робота, присвячена
диференціально первинним модулям, хоч це поняття природне, принаймні у зв’язку
із змістом робіт [79], [80], [81] про диференціально первинні ідеали. Більш
детальну інформацію про первинні ідеали і модулі можна знайти у книгах [82],
[83],[84], [85], [86], [87], [88], [89].
З іншого боку, у 1997 р. Лу [90] узагальнила поняття мультиплікативно замкненої
підмножини кільця, ввівши поняття -замкненої підмножини модуля. Виявилося, що
такі підмножини тісно зв’язані з первинними підмодулями, зокрема доповнення до
первинного підмодуля є -замкненою підмножиною.
У зв’язку з вище згаданим, виникають підстави для дослідження природних
диференціальних аналогів первинних підмодулів.
2.1. -підмножини диференціальних модулів
Нехай – асоціативне кільце з ненульовою одиницею і множиною попарно комутуючих
диференціювань кільця . Позначимо через множину всіх можливих операторів
диференціювання на кільці :
– вільна комутативна напівгрупа, породжена множиною диференціювань . Для
кожного елемента позначатимемо
Нагадаємо що підмножина -кільця називається диференціально замкненою, якщо для
кожного . Для будь-якої під–множини -кільця задамо диференціал множини як
множину
Крім того, нехай лівий унітарний модуль над диференціальним кільцем разом з
множиною модульних диференціювань , узгоджених з диференціюваннями -кільця . Як
і для елементів кілець, позначатимемо
для кожного елемента .
За аналогією до оператора , визначеного для підмножин комута–тивного
диференціального кільця у роботах В. Кайгера [91], [92], [93], та А. Вершореном
[94] в некомутативному випадку, визначимо аналогічний оператор для модулів.
Означення. Диференціалом підмножини -модуля назвемо множину тих елементів
диференціального модуля , всі частинні похідні яких (в т. ч. нульова) належать
до множини , тобто,
Диференціальні підмодулі, очевидно, є його диференціально-замкненими
підмножинами, а диференціальні ідеали кільця – диференціально-замкненими
підмножинами кільця. Сформулюємо і доведемо твердження, яке є аналогом
відповідних результатів, відомих для підмножин диференціального кільця.
Покажемо, що оператор зберігає деякі алгебраїчні структури на підмножинах
-модуля.
Твердження 2.1. Нехай та – -модулі над -кільцем , – -гомоморфізм -модулів.
Оператор на підмножинах -модуля має наступні властивості.
Якщо – підмножина -модуля , то і .
Якщо – підмножина -модуля , то тоді і тільки тоді, коли множина
диференціально-замкнена в .
Якщо , – підмножини -модуля і , то .
Якщо – сім’я підмножин , то
і .
Якщо , – підмножини -модуля над -кільцем , – підмножина в , то
і .
Якщо – довільна підмножина -модуля і – диференціальний епіморфізм модулів, то
Якщо – довільна підмножина -модуля і – диференціальний гомоморфізм модулів, то
. Якщо ін’єктивний, то має місце рівність
Якщо , і
то .
Доведення. 1. Якщо , то для всіх , зокрема . Отже, .
Якщо , то для всіх . Тоді для всіх , тобто , тому . Отже, . Навпаки, якщо , то
для всіх , а тоді існують такі , що , …, . Таким чином, , а отже . Тоді і .
2. Якщо , то для всіх і , , тобто диференціально-замкнена.
Зважаючи на п. 1 цього твердження, досить довести, що . Якщо
диференціально-замкнена і , то , а отже для кожного , … , , … , тобто для всіх
. Це означає, що . Отже, .
3. Якщо , то для всіх . Але тоді і , що і треба було довести.
4. Якщо , то для всіх . Тоді для всіх , тому . Отже , тобто . І навпаки, .
Якщо , то існує такий і , що . Тоді , а отже , тобто . Отже .
5. Нехай . Тоді , де , , тобто , для всіх . Тоді , а тому . Отже .
6. Нехай . Тоді , а це означає, що для всіх . Але , а тому для всіх . Отже, . І
навпаки, .
7. Якщо , то існує такий , що . Тоді для всіх . Тоді для довільного , а тому .
Отже, .
Якщо ін’єктивний диференціальний гомоморфізм і , то для всіх ,а тому існує
такий , що . Таким чином, , і цим доведення завершується.
8. Нехай . Тоді , , , …, , … Це означає, що , для будь-яких , зокрема .
Враховуючи, що , отримуємо . Аналогічно встановлюється, що , для кожного . Ті
самі мірк
- Київ+380960830922