глава 2,
рис.2.2) после выражения силового и кинематического начальных параметров через
, подстановки функции прогибов в (Г.2), выполнения интегрирования и
необходимого условия следует:
.
Энергия, затраченная на управление вычисляется с помощью выражения (Г.1),
интересно, что только при прогиб равен нулю.
По приведенному выше алгоритму аналитических преобразований, найдено управление
из условия минимума квадратичного критерия
Необходимое условие . В этом случае управление упрощается и записывается так
Как и прежде энергия вычисляется по рассмотренному ранее алгоритму.
Рассмотрев управления, оказалось, что наиболее простую функцию силового
управления можно получить из условий: при , ; при , ; при , . Такое управление
имеет вид при движении в пределах :
Следует отметить, что если найти управление из самого простого условия, то
прогиб заготовки в процессе резания будет равен нулю только в среднем сечении
заготовки, когда станет равным , то получим управление
.
Составляющие силы резания (радиальная) и (осевая) вычисляется по известным
эмпирическим зависимостям [102]
, ,
где постоянная и показатели степени находятся исходя из конкретных условий
обработки для каждой из составляющих силы резания; – глубина снимаемого слоя,
мм; – подача, мм/об; – поправочный коэффициент () учитывает фактические
условия резания, численные значения которых взяты из [101].
Энергия от составляющей при движении резца вдоль заготовки вычисляется так:
где – длина прохода резца (длина обрабатываемого участка).
Численный пример. Исходные данные. м; м; Н; Н; Па; .
Энергетические затраты от осевой составляющей силы резания равны 85,2 Дж.
Результаты вычислений энергии для каждого из рассмотренных управлений сведены в
таблицу Г.1.
Таблица Г. 1.
, H
, Дж
Характерно, что для всех случаев при управление по модулю . В случае управлений
, , и перемещение по направлению силы резания не равно нулю, но оно на порядок
меньше перемещения, которое наблюдается при отсутствии управления, в этом
случае . Наиболее простой вид имеет управление , которое обеспечивает минимум
энергетических затрат и практически достижение точности обработки, которая
возможна при управлении . В случае управления расход энергии наименьший, а
максимальное перемещение по направлению силы резания почти в два раза (по
абсолютной величине) превышает перемещение при управлении .
Вычисление работы управляющих воздействий М1 и М2
> restart;
Управляющие опорные моменты как функции координаты а.
> m1:=2*Pr*a*(L-a)/(3*L):m2:=m1:
Координата приложения силы резания
> a:=V*t:
Вычисление начальных параметров: реакци и угла поворота
> Ra:=(m1-m2+Pr*(L-a))/L;
> TT0:=-(-m1*L^2/2+Ra*L^3/6-Pr*(L-a)^3/6)/(E*J*L):
> phi0:=diff(TT0,t);
> TTL:=TT0+(-m1*L+RA*L^2/2-Pr*(L-a)^2/2)/(E*J):
> phiL:=diff(TTL,t);
Работы управляющих воздействий М1 и М2
> A:=int(m1*phi0,t)+int(m2*phiL,t);
> simplify(%);
> A:=int(m1*phi0,t)+int(m2*phiL,t);
Мощность при управлении деформированием
> N:=diff(A,t);
> simplify(%);
Исходные данные для численного примера:
> L:=0.2:V:=0.03:Pr:=100:E:=2*10^11:J:=3.1416*(0.01)^4/64: T:=L/V:
Графические зависимости А=А(t) и N=N(t)
> plot(A,t=0..T, color=[black], thickness=2);
> plot(N,t=0..T, color=[black], thickness=2);
Задача минимизации энергетических затрат на управляемое деформирование
1. Управления в виде опорных моментов (заготовка в центрах)
>restart;
>readlib(extrema):
>m1:=b1*(a-a^2/L):m2:=c1*(a-a^2/L):
>a:=V*t:
Определение начальных параметров
>Ra:=(m1-m2+Pr*(L-a))/L;
> TT0:=-(-m1*L^2/2+Ra*L^3/6-Pr*(L-a)^3/6)/(E*J*L);
>ep0:=diff(TT0,t$2);
>TTL:=TT0+(-m1*L+Ra*L^2/2-Pr*(L-a)^2/2)/(E*J);
>epL:=diff(TTL,t$2);
Критерий минимума энергетических затрат на управляемое деформирование
>N:=int(m1*ep0,t=0..T)+int(m2*epL,t=0..T);
Вычисление экстремума
> extrema(N,{},{b1,c1},'r');
> r;
константы b1 и c1
> b1:=3/8*Pr*(3*V^2*T^2-8*V*L*T+6*L^2)/(L*(-2*V*T+3*L));
c1:=3/8*V*Pr*T*(-3*V*T+4*L)/(L*(-2*V*T+3*L));
Исходные данные для численного анализа
> L:=0.2: V:=0.002:T:=L/V:Pr:=100:
> m1:=b1*(a-a^2/L);m2:=c1*(a-a^2/L);
> u1:=m1; c1;b1;
>
> u2:=m2;
> m:=2*Pr*a*(L-a)/(3*L);mm:=2*Pr*a*(L-a)/(L+a);
Зависимость управлений от времени
> plot({u1,u2},t=0..T,color=[black],style=[line], thickness=2);
> plot({m,mm},t=0..T,color=[black],thickness=2);
2. Управления в виде сосредточенной силы (рис. Г.1)
> restart;readlib(extrema):
Определение начальных параметров(силы и угла поворота)
> mom_2:=-Q0*L+Pr*(L-a)-U_*L/2=0:
> solve({mom_2},{Q0}):
> Q0:=subs(%,Q0):
> W_2:=T0*L+(Q0*L^3/6-Pr*(L-a)^3/6+U_*(L-L/2)^3/6)/(E*J):
> simplify(solve({W_2},{T0})):
> T0:=subs(%,T0):
Управление как функция координаты
>
Перемещение в сечении с координатой а
> Wa:=simplify(T0*a+(Q0*a^3/6-Pr*(a-a)^3/6)/(E*J)):
Угол поворота в сечении с координатой а
> DWa:=simplify(diff(Wa,a));
Критерий минимума энергетических затрат на управляемое деформирование
> int(U_*DWa,a=0..L/2):
> N:=simplify (%);
Вычисление экстремума
> extrema(N,{},b1,'r'):
константа b1
> b1:=subs(op(1,r),b1);
Управление
> U:=U_;
Исходные данные для численного анализа
> Pr:=400:L:=0.3:
Зависимость управления от координаты силы резания а
> plot(U_,a=0..L,color=black,thickness=2);
>
Приложение Д
Управление деформированием заготовки фасонного профиля
> restart;delta:=d1/10:
Внутренний и наружный диаметры заготовки как функции координаты
> dn_x:=((d1-d2)*(L^2-x^2))/L^2+d2:
> dv_x:=((d1-d2)*(L^2-x^2))/L^2+d2-2*delta:
Осевой момент инерции сечения с координатой х:
> J_x:=Pi*(dn_x^4-dv_x^4)/64;
Полином (по методу Ритца):
> W_x:=a1*x+a2*x^2+a3*x^3+a4*x^4:
> W_a:=subs(x=