Моделі задач механіки деформування композитних брусів дискретно-неоднорідної структури

Розділ 2
ітераційна модель деформування композитних брусів дискретно-НЕоднорідної
структури
з урахуванням ДЕПЛАНАЦІЇ ПЕРЕРІЗІВ
Для дослідження напружено-деформованого стану (НДС) елементів конструкцій
неоднорідної (композитної) будови здебільшого неправомірна гіпотеза плоских
перерізів для брусів або прямих нормалей для плит і оболонок, на основі яких
побудовані класичні (технічні) моделі. Відмова від згаданої гіпотези з метою
врахування депланації поперечних перерізів бруса або викривлення нормалі плит і
оболонок потребує введення інших припущень, котрі беруть до уваги ефекти
депланації, збурення напружень у характерних зонах, ураховують різні комбінації
зовнішнього навантаження та крайових умов і таким чином уточнюють класичні
моделі. На основі цього створюються точніші, більш досконалі теоретичні моделі
розрахунку, які враховують деформації поперечного зсуву та обтиснення і як
наслідок – депланацію перерізів, вплив якої виявляється в порівняно коротких
брусах й особливо для суттєво неоднорідних структур.
Такі моделі дістали розвиток, починаючи з розв’язку задачі коливання балок,
запропонованого С.П.Тимошенком, який уперше ввів кут повороту поперечного
перерізу, зумовлений деформацією зсуву. Моделі такого роду, маючи на увазі
уточнення класичної моделі, отримали назву уточнених некласичних або моделей
типу Тимошенка [336, 337]. Однак найпростіші з цих моделей зберігають
передумову недепланованого перерізу, й тому точність визначення параметрів НДС,
особливо в суттєво неоднорідних композитних системах, може бути недостатньою і
не задовольняти потреби сучасних машинобудівних та будівельних технологій. Це
зумовило створення більш ефективних некласичних (депланаційних) моделей і
відповідних теорій згину більшою мірою пластин та оболонок, яким присвячена
численна література, в тому числі монографії й літературні огляди. Меншою мірою
висвітлено теорію для композитних брусів, порівняння результатів розрахунку
яких за відомими некласичними моделями з точними розв’язками теорії пружності
та експериментальними даними вказують на їх невідповідність у достатньо широких
межах фізико-механічних і геометричних характеристик композитних систем. Окрім
цього, у крайових зонах та зонах дії локальних навантажень виникають явища
нетрадиційних збурень напружень, що потребує більш точних апроксимацій
компонентів НДС – побудови моделей наступних, більш високих ступенів наближення
(ітерацій), зокрема для коротких брусів і брусів із суттєвою неоднорідністю,
які порівняно мало досліджені.
Слід також відмітити, що оскільки мова йде про поперечні (тангенціальні) зсуви,
то видається важливим урахування не тільки нормальних, але й дотичних
(тангенціальних) до зовнішніх поверхонь бруса навантажень, котрі можуть суттєво
впливати на напружено-деформований стан.
Загалом моделювання НДС композитних брусів характеризується значною складністю,
що викликана врахуванням їх фізико-механічної неоднорідності. Ця неоднорідність
виявляється як у формах поперечних перерізів, так і в структурі, тобто у
напрямку обох осей координат поперечного перерізу, на відміну від моделей для
плит й оболонок, де неоднорідність виявляється тільки у напрямку однієї з осей
– вздовж нормалі до поверхні. Отже побудова моделей деформування бруса потребує
використання функцій депланації двох координат і на їх основі визначення
інтегральних жорсткісних характеристик при довільній формі та структурі
поперечних перерізів.
У даному розділі для реалізації мети дисертації побудовано її теоретичну основу
– ітераційну модель НДС композитних циліндричних тіл (брусів)
дискретно-неоднорідної структури з урахуванням впливу депланації перерізів, що
виникає внаслідок поперечних деформації зсуву та обтиснення при згині. Побудову
моделі виконано згідно з ітераційним процесом, принцип якого запропоновано
С.О.Амбарцумяном [8] і розвинено В.Г.Піскуновим та О.О.Рассказовим [202].
2.1  Структура бруса та навантаження
Розглянемо призматичний брус композитної будови, довільної, але сталої за
довжиною структури поперечного перерізу – некругове структурно-неоднорідне
циліндричне тіло. Неоднорідну структуру бруса складають n дискретних фаз
матеріалу. Отже, маємо дискретно-неоднорідний брус. Фази матеріалу пов’язані
нерозривністю переміщень на границях. У свою чергу, в загальному випадку фази є
композиційними матеріалами різної будови, властивості яких подано узагальненими
фізико-механічними характеристиками, отриманими експериментально або
обчисленими методами мікромеханіки композитів. Зокрема, вважається справедливим
установлене з експериментів положення, що поширені у використанні
однонаправлені волокнисті композити з достатньою точністю відповідають моделі
лінійно-пружного тіла [29].
Рис.2.1. Схема композитного бруса
Брус віднесено до системи ортогональних координат XYZ (рис.2.1), вибраної таким
чином, що СХ – поздовжня вісь, нормаль­на до поперечного перерізу і про­хо­дить
через його центр жорсткості – С, який збігається з центром згину. Осі та є
головними центральними осями жорсткості перерізу. Відповідно площини XСY і XСZ
– головні площини жорсткості бруса. Розта­шування початку коорди­нат  залежно
від постановки задачі може бути довільним і не збігатися з центром жорсткості
.
Форма перерізу у загальній постановці задачі така, що площини, дотичні до
контурної поверхні бруса і нормальні до головних осей, не перетинають тіло
бруса, тобто контур бруса вписується в прямокутник, сторони якого
перпендикулярні до головних осей, і точки перетину контуру з головними осями
належать цьому прямокутнику (рис.2.2). При розв’язанні часткових задач
виконання таких обмежень не