Розділ 2
Узагальнена математична модель побудови цифрових моделей рельєфу
2.1. Постановка задачі
Цифрова модель рельєфу (ЦМР) представляє у цифровій формі множину точок земної
поверхні з координатами x, y, z, які відтворюють реальну поверхню та її
структуру з заданою точністю. Подаючи визначення ЦМР, Бойко А.В. в [156]
підкреслює, що ЦМР включає множину координат точок земної поверхні та правила
оперування з нею. В [157] означення ЦМР подано як засіб цифрового представлення
тривимірних просторових об’єктів (поверхонь) у векторному і растровому форматах
у вигляді сукупності висотних позначень у вузлах регулярної мережі,
нерегулярної трикутної мережі, чи як сукупність записів горизонталей, що
служать для обробки й одержання похідних даних. В [112] однак вказано, що
оскільки за подання рельєфу у вигляді горизонталей не визначені процедури
відновлення неперервної поверхні, таке подання не можна віднести до цифрових
моделей рельєфу, хоча у спеціальній літературі, наприклад, [158] таке
визначення зустрічаємо.
Точність створюваних моделей оцінюється за критеріями розходжень між модельними
і реальними значеннями висот рельєфу та відповідності між реальними та
модельними структурними елементами. Отже, цифрова модель рельєфу повинна
адекватно відображати просторове положення земної поверхні та її структуру.
Будемо дотримуватися такого означення ЦМР.
Визначальною у побудові моделі цифрового представлення рельєфу є точність.
Виходячи з точності побудови ЦМР, вибирають відповідний метод отримання
вихідної інформації та методи математичного моделювання.
Завданням побудови ЦМР є отримання просторової змінної zk в точці з
координатами xk, yk на основі просторової вихідної інформації, заданої
координатами xi, yi, zi, , із збереженням структури рельєфу. Координати xi, yi
характеризують положення точки, а третя координата zi визначає значення змінної
в цій точці.
У найпростішому випадку побудова ЦМР зводиться до гомогенного перетворення
вихідної інформації, заданої множиною:
у множину
Враховуючи неперервність рельєфу при його відтворенні, за виміряними значеннями
функції f(x) отримують значення функції у будь-якій точці заданого поля.
Суттєвий вплив на точність можуть мати помилки відтворення моделі. Оскільки
значення функції f(x) задаються дискретно, на спотворення результату впливають
як помилки вимірювань, залежні від інструментарію та методики вимірювань, так і
значення корельованої змінної, залежної від змін форм рельєфу. Врахування цієї
змінної здійснюється ущільненням вихідної інформації відповідно до вимог
точності апроксимації, але до певної межі. Якщо корельована змінна стає
співмірною помилкам вимірювань, то розділити їх практично неможливо. У цьому
випадку залишкову змінну і помилки вимірювань вважають випадковими помилками і
їх вплив можна зменшити шляхом математичної обробки результатів вимірювань, що
складає сутність фільтрації випадкових помилок.
Завданням відтворення функції є виконання умови мінімальності відхилень між
заданими і відтвореними значеннями функції .
Якщо ж корельована компонента є значною порівняно з помилками вимірювань, то,
вибравши певний крок задання вихідної інформації, її можна виділити. Поділ
складових рельєфу на систематичну компоненту і випадкову є умовним залежно від
точності моделювання рельєфу.
Точність визначення значення zk залежить від того, яким чином вихідне поле
точок представляє рельєф, тобто від способів задання вихідної інформації, від
кількості та розташування вихідних точок, від методів математичного опису
рельєфу, тобто вибору математичної моделі, за якою здійснюється апроксимація
визначуваної відмітки на основі вихідних точок, а також від інтервалу
дискретизації побудови ЦМР.
Таким чином, точність створення цифрової моделі рельєфу базується на
використанні чотирьох основних чинників: способах задання вихідної інформації,
кількості та розташуванні вихідних точок, методах математичного моделювання
рельєфу та виборі кроку дискретизації моделі.
Власне ці основні чинники вважатимемо основними при побудові цифрових моделей
рельєфу. Аналіз їх впливу на точність цифрового моделювання і на зміну
структури рельєфу належить до задачі досліджень.
Методи отримання та способи задання вихідної інформації розглянемо в 3.1, вибір
кроку дискретизації в 3.3.
Що ж стосується методів математичного моделювання рельєфу, то питання зводиться
до визначення відповідності вихідних умов, закладених в основу теоретичного
обґрунтування моделі, умовам реальної моделі.
Застосування певних математичних моделей для опису рельєфу залежить від
точності визначення відміток та щільності розташування вихідної інформації.
Для рельєфу, який є складною поверхнею, дослідження вибору математичної моделі
до типу модельованої поверхні визначає один із ключових чинників побудови ЦМР,
і є предметом даного дослідження.
2.2. Класифікація методів математичного моделювання
Однією із проблем створення ЦМР є математичний опис рельєфу, тобто створення
математичної моделі рельєфу.
Розрізняють інтерполяцію та апроксимацію рельєфу. Інтерполяція передбачає
використання певної, наперед заданої функції, значення якої відоме в деяких
точках поверхні, і отримання значення функції у будь-яких проміжних точках.
Апроксимація – заміна реальної поверхні математичною, описаною певними
функціями під заданими умовами. Невідому функцію апроксимування підбирають,
виходячи із цих умов. Апроксимація, як наближення поверхні функцією – поняття
ширше, і інтерполяцію можна розглядати як частковий випадок апроксимації. Від
методів апроксимування поверхні залежить точність побудови цифрових моделей
р
- Київ+380960830922