РАЗДЕЛ 2
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
В данном разделе предлагается обобщение метода малого параметра, предложенного
Маневичем Л.И. и Павленко А.В. для плоских задач теории упругости [117-121] на
случай пространственных задач линейной теории вязкоупругости.
2.1 Анализ дифференциальных уравнений пространственной
теории вязкоупругости
Рассмотрим вязкоупругое тело, материал которого ортотропен в отношении как
упругих, так и вязкоупругих свойств. Главные направления анизотропии совпадают
с декартовыми осями координат . Соотношения между деформациями и напряжениями в
этом случае могут быть записаны следующим образом:
(2.1)
При этом
Здесь - мгновенные модули упругости (сдвига), - коэффициенты Пуассона,
-нормальные напряжения, - касательные напряжения, - ядра ползучести ,-время.
Для аппроксимации ядер ползучести используются следующие аналитические
выражения [30]
(2.2)
Компоненты тензора деформаций выражаются через проекции вектора перемещений по
формулам
(2.3)
Применяя преобразование Лапласа по времени с параметром р к соотношениям (2.1)
и разрешая их относительно трансформант напряжений, получим
(2.4)
где
- гамма-функция. С учетом соотношений (2.3) уравнения (2.4) принимают вид:
(2.5)
Здесь и далее индексы x, y, z обозначают дифференцирование по соответствующим
координатам, а тильда над буквами определяет трансформанты Лапласа.
Предполагается, что коэффициенты Пуассона достаточно малы и пренебрегается их
произведениями.
Теперь вопрос о напряженно-деформированном состоянии трехмерного вязкоупругого
ортотропного тела может быть сведен к интегрированию уравнений
(2.6)
при соответствующих граничных условиях.
Уравнения (2.6) аналогичны уравнениям равновесия в перемещениях упругого
ортотропного тела и при асимптотическом анализе этих уравнений следует выбрать
малый параметр. Таким параметром может служить величина , так как для реальных
ортотропных материалов это отношение действительно является малым. Но если
параметр преобразования Лапласа не совпадает с нулями или полюсами функции , то
в качестве малого параметра может быть выбрана величина , так как при этом
отношение не превосходит единицы.
Если же и , то параметр обращается в нуль, а система (2.6) принимает вид
что соответствует простейшей расчетной схеме - системе взаимно-перекрестных
стержней, работающих на растяжение-сжатие.
Значения соответствуют полюсам функции . В этом случае при асимптотическом
анализе уравнений (2.6) следует использовать параметр , так как становится
порядка единицы.
Ниже изложен асимптотический анализ с использованием параметра , если не
является особой точкой. При этом отношение модулей упругости , в реальных
конструкциях могут быть самыми разнообразными . Остановимся подробно на анализе
случая, когда (анализ других случаев проводится аналогично).
Чтобы учесть возможные соотношения между компонентами вектора смещений и
скоростями их изменения по координатам, введем аффинные преобразования
координат и искомых функций, зависящие от и представляющие собой частный случай
преобразований Лайтхилла [137, 138]
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Если малый параметр равен , то преобразования имеют вид
Коэффициенты (2.7) - (2.9) можно записать в таком же виде как и для параметра ,
а показатели степеней получаются из условий непротиворечивости (подробно выбор
коэффициентов приведен в разделе 5).
Из вида прeoбразований (2.7)-(2.9) вытекает, что решение системы, полученное из
(2.6) после введения (2.7) ((2.8) или (2.9)) относительно медленнее изменяется
вдоль координаты x (y или z) по сравнению с аналогичными решениями системы,
полученными после применения двух других преобразований. Компоненты вектора
перемещений будем представлять в виде суперпозиции решений всех типов.
Разыскивая функции в виде рядов по дробным степеням параметра ,
необходимо выбрать соответствующие асимптотические последовательности. Вид
такой последовательности определяется структурой уравнений равновесия и
порядком по невязки в краевых условиях, возникающей после решения задачи в
нулевом приближении ().
Чтобы учесть все возможные случаи, функции будем определять в виде рядов по
параметру (из преобразований (2.7)-(2.9) видно, что рядов по меньшим степеням
параметра возникнуть не может)
(2.10)
Коэффициенты также представим в виде рядов по параметру
(2.11)
Коэффициенты вычисляются в процессе решения и используются в дальнейшем для
упрощения уравнений высших приближений [154]. Подставим (2.7) в (2.6) с учетом
соответствующих разложений из (2