раздел 2).
В результате получим выражение для тока электронов пучка в каждой из сред следующего вида:
(3.63)
Здесь
Учитывая - образный характер зависимости функции распределения электронов пучка от волнового вектора и полюса
легко найти токи в средах 1 и 2.
где
(3.66)
Первый член в квадратных скобках описывает процесс излучения поверхностных плазмонов при переходе электронов из состояния в состояние , второй - поглощения при переходе в состояние .
Нас интересует случай . Тогда и при пролучим :
(3.66-3.67)
компоненты при этом пренебрежимо малы.
Видно, что в среде "1" возникает отраженная волна Ван-Кампена, амплитуда которой осциллирует с периодом . Подставляя (3.66) и (3.67) в уравнение (3.62) , найдем дополнительные поля, cоздаваемые электронными потоками. Воспользовавшись граничными условиями для нормальных составляющих индукции и тангенциальных составляющих полей получим дисперсионное уравнение, где:
(3.68)
Таким образом , амплитуда поверхностных плазмонов нарастает с инкрементом:
(3.69)
Неустойчивость обусловлена более высокой вероятностью переходов электронов в состояние с меньшей энергией при возбуждении волн Ван-Кампена в среде "2".
Формула (3.68) получена в условиях малости по сравнению с фазовой скоростью
поверхностной волны . Если удержать в формуле (3.66) то получим следующее выражение для инкремента:
(3.70)
Видно, что инкремент имеет максимум
(3.71)
Он возникает при условии , когда совпадают время пролета электроном области локализации поля и период колебания.
Инкремент неустойчивости поверхностных плазмонов можно получить, воспользовавшись выражением для энергии их взаимодействия с электронным потоком в виде:
(3.72)
Подставляя в эту формулу выражение для волновых функций и вектор-потенциала, можно получить матричный элемент :
(3.73)
и составить кинетическое уравнение для поверхностных плазмонов (см. п. 2.5.) В случае - образного распределения импульсов электронов в потоке запишем кинетическое уравнение в следующем виде:
(3.74)
Здесь значение матричного элемента берется в точках . Суммирование проводится по Видно, что вероятность перехода в состояние с меньшей энергией пропорциональна а с большей - . Переходя в формуле ( 3.74) от суммирования к интегрированию при условии:
(3.75)
получим инкремент неустойчивости, который описывается формулой (3.70).
Здесь принимаются во внимание только процессы рассеяния электронов на потенциале поверхностных плазмонов по ходу движения частицы "вперед". Это вполне оправдано при выполнении неравенства (3.75). Можно показать, что вероятность процессов рассеяния "назад" в этом случае значительно меньше.
Таким образом, мы описали взаимодействие потока частиц и поверхностных плазмонов как процесс столкновений. Рассмотрим теперь это взаимодействие более детально, используя уравнение Шредингера с учетом граничных условий для волновой функции электронов и нелинейных эффектов, ограничивающих экспоненциальный рост амплитуды колебаний вследствие развития неустойчивостей.
3.4. Нелинейные эффекты взаимодействия поверхностных плазмонов и
электронов, пересекающих границу раздела сред
В настоящем параграфе сформулированы и численно исследованы нелинейные уравнения, описывающие эволюцию плотности электронов потока, пересекающего границу раздела сред, и амплитуды поверхностных плазмонов, получены зависимости этих величин от времени и выяснено влияние граничных условий для волновой функции электронов на величину инкремента [61,62].
Будем исходить из следующей системы уравнений для каждой из сред, границу раздела которых () пересекает поток частиц с постоянной скоростью из области "1" () в область "2" () с постоянной концентрацией .
- соответственно диэлектрическая постоянная кристаллической решетки, неравновесная и равновесная концентрация электронов проводимости, эффективная масса, скорость и частота столкновений электронов в каждой из сред , - неравновесные концентрация и ток электронов в пучке. Концентрацию и ток в пучке определим через возмущенную и невозмущенную волновые функции электронов:
- вектор - потенциал, связанный с электрическим полем соотношением: .
Предполагаем, что высота потенциального барьера, разделяющего среды, мала по сравнению с энергией частицы. Возмущенная волновая функция в первом и последующем приближении по величине вектор - потенциала определяется из уравнения Шредингера:
В результате возникают нелинейные члены в выражении для электронной концентрации и тока (3.80-3.81).
На границе раздела сред У = 0 выполняются электродинамические условия:
а также условия для возмущенных волновых функций :
Поскольку взаимодействие волн и частиц предполагается слабым, то решение приведенных уравнений находится методом последовательных приближений. В первом приближении полагаем концентрацию электронов пучка и частоту столкновений равной нулю. Тогда граничные условия (3.84-3.85) можно представить через потенциал :
Принимая во внимание : решение системы уравнений Максвелла и материальн