РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НИЗКОВОЛЬТНОГО КОМПЛЕКТНОГО УСТРОЙСТВА
2.1. Границы мультипольной модели магнитного поля
2.1.1. Постановка задачи исследования.
Как показывает опыт компенсации ВМП протяженных объектов, к которым относится и НКУ, в отдельных случаях возникают ситуации, когда не удается обеспечить компенсацию поля в точках, удаленных от контрольной поверхности. Даже при точной настройке компенсации по данным измерения поля на контрольной поверхности, уровень поля возрастает как при приближении, так и при удалении от поверхности объекта. Объяснить этот эффект, используя мультипольную модель поля, не удается.
В соответствии с положениями теории магнитного поля [111, 127, 128,
132 - 134, 150, 162, 163] считается, что функция скалярного магнитного потенциала Ф вне области, занятой источниками, не имеет разрывов, является монотонно спадающей и стремится к нулю на бесконечности. Производная от потенциала функция напряженности H также является спадающей функцией, равной нулю при устремлении точки наблюдения в бесконечность. Однако, при наличии в функции Ф точки перегиба (седловой точки) напряженность в ней также будет нулевой, хотя координаты этой точки имеют конечные значения. Эта точка в работе названа точкой нулевого поля (ТНП). При установке датчика в ТНП для контроля эффективности компенсации возникает неоднозначная ситуация: неясно, достигнут ли эффект компенсации поля до нуля (в пределах погрешности измерений) за счет средств компенсации либо это свойство точки наблюдения, проявляющееся в ее особом расположении относительно источников. В этой связи для корректной математической постановки задачи компенсации необходимо, чтобы в исследуемой области пространства функция Ф не содержала точек перегиба. Соответствующая этому условию задача формулируется следующим образом: на контрольной поверхности, охватывающей источники и расположенной вблизи них, найти ТНП, в которой вектор напряженности равен нулю,
. (2.1)
Для решения уравнения (2.1) нельзя применить пространственный гармонический анализ в силу следующих причин. При разложении функции напряженности в ряд пространственных гармоник на этой поверхности и выделении для исследования одной гармоники любой степени (за исключением нулевой), появляется множество точек с нулевой напряженностью. Их положение на контрольной поверхности определяется степенью пространственной гармоники и не связано с положением ТНП. Кроме того, даже если отдельные гармоники компонент напряженности равны нулю, требуется проверка равенства нулю всех трех компонент одновременно в каждой такой точке, что еще более усложняет анализ поля. Даже факт существования таких точек невозможно установить, если ограничиваться пространственным гармоническим анализом.
В этой связи необходимо решить три основные задачи: определить наличие точек нулевого поля вблизи поверхности НКУ, определить границы применимости мультипольной модели как наиболее разработанной и полезной для решения комплекса задач компенсации и разработать модель, которая позволяла бы решать эти задачи при наличии ТНП.
Поскольку математическое описание отдельных компонент поля даже простейших сосредоточенных источников либо токовых витков достаточно сложно, поиск минимума модуля напряженности поля представляет собой сложную математическую задачу. Кроме того, используемые описания поля источника ориентированы на применение мультипольной модели, а в данном случае требуется проверка правомерности ее применения. Поэтому вначале рассмотрена более простая задача поиска ТНП для системы двух диполей. Полученные результаты проверяются для токовых контуров и постоянных магнитов.
2.1.2. Поле эксцентричного диполя.
Поле смещенного диполя (рис. 2.1) рассматривается в произвольной точке наблюдения при следующих допущениях: в исследуемой части пространства отсутствуют токи проводимости, среда - воздух, в низкочастотном диапазоне магнитное поле является квазистационарным. В сферической системе координат источник характеризуется векторами ММ и смещения , а точка наблюдения p - радиус-вектором . Напряженность H и скалярный магнитный потенциал Ф смещенного диполя равны [132]:
. (2.2)
. (2.3)
Для выполнения операций дифференцирования в (2.2) и последующего разложения в степенные ряды функций H и Ф относительно r выражение (2.3) целесообразно преобразовать. Представляя в виде
, (2.4)
где k = cos (a?r), можно получить следующее соотношение
. (2.5)
С учетом (2.5) из (2.3) получается выражение для потенциала Ф
. (2.6)
Для краткости записи введены обозначения для единичных векторов:
; ; . (2.7)
Рис. 2.1. Расположение векторов, характеризующих поле смещенного диполя.
После подстановки (2.7) в (2.6) функция Ф принимает вид
; (2.8)
Составляющие напряженности определяются дифференцированием Ф в соответствии с (2.2) с учетом (2.8):
; (2.9)
;
.
После раскрытия дифференциалов соотношения (2.9) принимают вид:
; (2.10)
;
.
Выражения в круглых скобках в (2.10) представляют собой скалярные произведения соответствующих векторов и могут быть определены как косинусы углов между единичными векторами. Представляя m0, a0, r0 в виде:
; (2.11)
;
,
и воспользовавшись выражением для косинуса угла между векторами [122], получаются формулы для расчета скалярных произведений, входящих в соотношения (2.10). С учетом обозначений (2.11) эти формулы сведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Аналитические соотношения для скалярных произведений
Скалярные произведения, производныеЗначение
После подстановки скалярных произведений табл. 2.1 в (2.10) могут быть получены аналитические соотношения для компонент напряженности, которые из-за громоздкости не приводятся. При числе