Раздел 2
СИНТЕЗ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ
Известный метод модального управления позволяет произвольным образом назначить корни линейной системы, оставляя в стороне вопрос ее устойчивости. С другой стороны, регулятор, оптимальный в смысле квадратического критерия, гарантирует асимптотическую устойчивость, не располагая средствами распределения корней характеристического уравнения. В этом разделе предлагается метод, основанный на теории возмущений и, в определенном смысле, объединяющий преимущества выше названных.
Пусть линейная управляемая система описывается уравнениями
где матрицы зависят от малого параметра , и стоит задача оценить параметры регулятора, при которых выход ведет себя надлежащим образом. При высоких порядках вектора такая задача идентификации параметров замкнутой системы становится весьма трудной даже в случае скалярных управления и возмущения типа "белого шума" . Значительно проще оказывается аналогичная задача для соответствующей вырожденной системы для вектора , получающейся из первоначальной возмущенной при (точный смысл предела в п.1). Указанные упрощения особенно существенны при сингулярной зависимости матриц от [88] - в этом случае вырожденная задача оценки распадается на независимые подзадачи, дающие в совокупности оценку желаемых параметров регулятора. Теперь оказывается возможным сформулировать задачу (композиционного) синтеза в исходной возмущенной системе: выбрать матрицу , в определенном смысле близкую к , при которой замкнутая система асимптотически устойчива. В работе показано, что минимизация некоторого сформированного по матрице квадратического критерия дает решение поставленной задачи. Рассматривается также и более общая ситуация, когда параметр является вектором, компоненты которого упорядочены по степени малости и по ним осуществляется последовательное вырождение в системе.
2.1. Канонические схемы возмущений
Следуя подразделу 1.4, будем рассматривать каноническую задачу детерминированного синтеза для скалярного управления:
минимизировать критерий
, (2.1)
на движениях системы
, (2.2)
где .
Как уже отмечалось выше, представление (2) может быть использовано для синтеза, если известен заданный характеристический полином системы, чего трудно ожидать для объектов высокого порядка.
Облегчает дело то обстоятельство, что многомерные системы обычно оказываются сингулярно возмущенными, то есть содержат малые параметры при старшей производной [1,40,58,59,88]. В случае одного такого параметра все корней характеристического полинома с коэффициентами разбиваются на больших и малых по абсолютной величине, . Последнее можно представить так, что
где регулярным образом зависят от . Это следует из канонического разложения полинома на множители. В более общем случае в таком разложении можно выделить групп корней одного порядка:
,
что позволяет представить матрицу замкнутой системы в следующем виде
, (2.3)
где , ,
, ,
, , ,
причем , а - строка коэффициентов полинома, входящих в группу - го порядка (то есть входящих в одночлены, содержащие множитель ), которую будем называть -ым блоком полинома . Нулями в (3), как и везде далее в блочных матрицах, обозначены нулевые матрицы подходящих размеров; обозначено также .
Лемма 2.1. Матрица в (3) подобна матрице
(2.4)
следующей структуры:
,
,
,
то есть существует невырожденное преобразование такое, что .
Доказательство. Устанавливается применением в качестве преобразования с блочной матрицей , для которой .
Вариант (4) будем называть в дальнейшем многочастотной (канонической) схемой сингулярных возмущений. В таком представлении вектор состояния системы разбивается на подвекторы, имеющие компоненты со скоростями изменения одного порядка. Подвектор с нулевым номером, объединяющий самые "медленные" переменные, называют внешним.
Для частного случая двухчастотной схемы (), учитывая его особую роль в дальнейшем, приведем конкретную форму ():
, , . (2.5)
Как легко видеть, другой частный случай соответствует варианту регулярных возмущений и ниже он также будет рассмотрен. Здесь же для общего сингулярного случая введем процедуру последовательного вырождения. Для этого обозначим: ,
, ,
и запишем уравнение (2) в замкнутой форме с матрицей (4):
. (2.6)
В алгоритме существенно используется следующий результат.
Лемма 2.2. Пусть -матрица является блоком невырожденной -матрицы , так что . Тогда .
Доказательство. Имеем , откуда после умножения слева на следует требуемое равенство.
Теперь в последнем уравнении системы (6), то есть в уравнении для , умножаем левую и правую части на и устремляем в полученной системе параметр к нулю, тогда в соответствии с [1] имеем (-вую) присоединенную систему для -вектора :
, (2.7)
где - функция начальных условий по переменным , и, в предположении гурвицевости - матрицы , ( -вую) вырожденную систему для m-вектора :
, (2.8)
где , а .
Не выписывая все последующие вырожденные и присоединенные системы, представим только соответствующие им матрицы. Матрица ()-рой) присоединенной системы является ()-ым диагональным блоком (или первым, если считать справа и снизу) матрицы вырожденной системы (8). Следовательно, с учетом обозначений в (4) и того, что - скаляр,
, .
Если эта матрица гурвицева, как этого требует алгоритм Тихонова А.Н. [59], то может быть записана следующая ((k-2)-ая) вырожденная система с матрицей
, .
Пусть на - том шаге алгоритма уже получены системы с матрицами
(присоединенная) и (2.9)
(вырожденная), (2.10)
где первая из них - гурвицева, ,
, , . (2.11)
Тог