РОЗДІЛ 2
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕКОРЕКТНИХ ЗАДАЧ
ВІДНОВЛЕННЯ ІНФОРМАЦІЇ Й ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНУВАННЯ
В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ
2.1. Розв’язання задачі відновлення інформації.
Інформаційне забезпечення АСУ містить в собі розробку методів контролю
(моніторингу), оптимізації і прогнозування стану об’єктів. Тому важливою
проблемою інформаційного забезпечення є задача підвищення точності систем
спостереження.
Одним з шляхів підвищення точності систем спостереження є відновлення
інформації, яка отримується з первинних датчиків контролю за станом об’єктів
АСУ. В загальному випадку задача відновлення інформації записується операторним
рівнянням [8, 12, 25, 26, 29, 33, 35-38, 49, 54-58, 60, 62-67, 81-85, 90, 138,
142-147, 154, 158, 159,161, 164, 166, 167, 175, 176, 181, 184, 187-189, 193,
215, 245-248, 267-273, 280-283, 287-307, 311, 314, 324]
Ay = f, (2.1)
де A – компактний лінійний оператор. Оскільки обернений оператор A-1 не існує
або необмежений, задача є некоректною. Це призводить до того, що розв’язок
неєдиний або нестійкий. Це може бути у випадку, наприклад, коли СЛАР (2.1) –
вироджена або погано обумовлена. Добре відомі труднощі, що виникають при
розв’язанні вироджених і погано обумовлених систем лінійних алгебраїчних
рівнянь (СЛАР) у практичних задачах цифрової обробки сигналів. Якщо обчислення
виконуються зі скінченою точністю, то в ряді випадків не можна встановити, чи є
задана система рівнянь виродженою або погано обумовленою. Тобто, погано
обумовлені і вироджені системи можуть бути нерозрізненими в рамках заданої
точності. У практичних задачах часто права частина f і елементи матриці A,
тобто коефіцієнти системи рівнянь (2.1) задаються їхніми наближеннями, такими,
що Але систем з такими даними (A, f) нескінченно багато, і в рамках відомого
нам рівня похибки вони не помітні. Оскільки замість точної системи (2.1) ми
маємо наближену систему , то мова може йти лише про знаходження наближених
розв’язків, яких може бути множина. А.М. Тихонов у [291] ввів поняття
нормального розв’язку для розв’язання вироджених і погано обумовлених СЛАР
(2.1), який стійкий до малих змін вихідних даних (A,f). Нормальним розв’язком
СЛАР (2.1) щодо вектора у1 називається розв’язок у0, для якого , де .
Таким чином, задача розв’язання СЛАР зводиться до мінімізації функціонала на
множині векторів, що задовольняють нерівності , тобто необхідно знайти вектор
уa, який мінімізує згладжуючий функціонал [291]
a +, (2.2)
де a – параметр регуляризації. Тобто необхідно розв’язати параметричну задачу
оптимізації, що пов’язано зі значними труднощами. Крім того, ставиться під
сумнів знаходження оптимального параметра регуляризації, тому що, по
визначенню, у загальному випадку його потрібно шукати з нескінченною точністю
на проміжку 0ЈaЈ1.
Для прикладних задач важливе значення має випадок, коли A у (2.1) – лінійний
інтегральний оператор зі сталими межами інтегрування. Наприклад, задача про
знаходження сили тертя кочення гумового катка по твердій поверхні, задача
відновлення сигналу представляється “усіченим” лінійним інтегральним рівнянням
Фредгольма першого роду [8, 12, 29, 37, 45, 46, 48, 49, 58, 60, 62, 94, 158,
159, 184, 193, 248, 274, 280-283, 274, 307, 336, 346]:
. (2.3)
Розв’язати задачу відновлення сигналу для рівняння (2.3) означає знайти вид
сигналу y(s), спотвореного вимірювальною апаратурою з апаратною функцією Q(x,s)
у сигнал f(x). Існуючі методи розв’язання задачі відновлення інформації [8, 25,
36, 47, 48, 58, 324, 233, 248, 290, 291, 293, 319, 321, 329, 333, 334, 344,
348] використовують, як правило, регуляризацію, є дуже чутливі до похибок
результатів вимірювання і не є універсальними, тому показують прийнятні
результати відновлення для задач визначеного виду: при точних початкових умовах
і при добре обумовлених системах рівнянь, до яких зводиться рівняння (2.3).
При розв’язанні рівняння (2.3) використовуються методи на основі введення
регуляризуючих параметрів: Тихонова, Фрідмана, Іванова, Лаврентьєва, метод на
основі перетворення Фур'є для різницевих ядер, метод власних функцій [8, 12,
29, 44, 56, 58, 65, 71, 72, 94, 139, 159, 160, 167, 168, 174, 184, 195-197,
207, 248, 266-268, 282-285, 290-295, 308, 309, 324, 337, 346]. Однак існуючі
методи знаходження параметра регуляризації далеко не завжди забезпечують
знаходження оптимального параметру регуляризації, при якому похибка розв’язку
(2.3)
(2.4)
де відповідно отриманий і точний розв’язок рівняння (2.3).
Використаємо поняття частинних критеріїв у смислі критеріїв якості, які
характерні для багатокритеріальної оптимізації, щоб визначити умови для
одержуваного розв’язку.
Якість розв’язку рівняння (2.3) оцінимо сукупністю частинних критеріїв
Ij=Фj[x, a, b, c, d, y], (2.5)
де j = 1, 2, 3, ... , P; функції Фj мають неперервні частинні похідні по y.
Частинні критерії (2.5) є компонентами P-мірного векторного критерію
I=(I1, I2, …,IP).
Нехай векторний критерій обмежений допустимою областю IОW(I). Кожен компонент
векторного критерію I описується виразом (2.5), який визначений на розв’язках
yОY інтегрального рівняння (2.3). Багатокритеріальна задача розв’язання ІР
(2.3) полягає у визначенні екстремумів {y*(s)}, y*ОY, I*О(I), що при заданих
умовах обумовлені мірою апріорної інформації про розв’язок y(s), які
оптимізують векторний критерій I.
Нехай задана множина можливих розв’язків Y, яка складається з векторів
n-мірного евклідового простору. Якість розв’язку оцінюється по сукупності
суперечливих частинних критеріїв, що утворюють P-мірний вектор визначений на
множині Y, який належить класу F допустимих вектор
- Київ+380960830922