РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МЕТАЛЛА
ПРИ ПРОКАТКЕ ПРОФИЛЕЙ
Как видно из обзора литературы, в настоящее время известно несколько методов
теоретического исследования напряженно-деформированного состояния металлов при
различных способах обработки давлением. Наиболее общими методами являются
вариационные методы, позволяющие «дать постановку задачи в самом общем виде»
[302].
К вариационным методам решения задач формоизменения, получившим наибольшее
распространение, относятся: метод, в основе которого лежит построение поля
скоростей с использованием метода Ритца, метод конечных элементов (МКЭ), метод
граничных элементов (МГЭ). Каждый из этих методов имеет свои преимущества и
недостатки, в соответствии с которыми определяется и область их применения.
Решение вариационных задач при помощи метода Ритца нашло широкое применение в
области исследования деформированного состояния при прокатке простых и сложных
профилей. Основной недостаток этого метода решения задачи заключается в том,
что правильное решение можно найти, как правило, только в том случае, если во
время прокатки действительна гипотеза плоских сечений. Однако такое допущение
может быть применено не для всех известных случаев прокатки. Поэтому применение
метода Ритца для исследований деформированного состояния некоторых процессов
прокатки ограничено.
В отличие от метода Ритца метод конечных элементов не требует использования при
выводе математической модели допущения о гипотезе плоских сечений. Это делает
метод более универсальным и пригодным для решения особо сложных задач [303,
304, 235]. Однако реализация МКЭ достаточно сложна и не лишена проблем,
свойственных именно этому методу. Так, например, одной такой сложностью
является учет несжимаемости обрабатываемого материала.
В настоящее время предложено несколько способов решения этих проблем [235].
Однако все эти методы реализованы для ограниченного класса задач, некоторые из
них должны быть дополнительно уточнены.
2.1. Разработка метода построения трехмерных полей скоростей с помощью метода
конечных элементов и выполнением условия несжимаемости на гранях и в узловых
точках конечного элемента
Как известно, решение задач ОМД с использованием как метода конечных элементов
[305], так и метода, изложенного в [232] выполняется путем минимизации
вариационного функционала, выражающего суммарную мощность, затрачиваемую на
деформацию. Отличие обеих методик заключается в различном способе интерполяции
кинематически возможного поля скоростей в объеме тела.
Так в методе [232] и в методах, описанных в работах [306, 307], это поле
строится путем его описания с использованием метода Ритца в отдельных
достаточно крупных блоках, на которые разделено поперечное сечение профиля. При
использовании метода конечных элементов строится то же поле скоростей, только в
пределах отдельного конечного элемента достаточно малых размеров, а общее поле
скоростей получается путем соединения элементов, из которых состоит изделие.
Хорошо известно, что точность решения задачи напрямую зависит от «правильности»
построения интерполяции внутри отдельного блока или внутри конечного элемента.
Под правильностью в данной интерпретации следует понимать не термин
правильности в его чисто математическом понимании, а несколько более широкое
понятие, которое объединяет и математическую правильность, и правильность
построения функции с учетом ограничений на эту функцию, накладываемых
конкретным технологическим процессом. Так, например, при моделировании
процессов прокатки сложных профилей [301] было установлено, что наилучшая
степень полинома для компоненты скорости перемещения частиц в продольном
направлении равняется двум, а при моделировании прокатки широких полосовых
профилей (типа рельсовых подкладок) наилучшая степень этого же полинома равна
единице.
Таким образом, для каждого из применяемых методов моделирования существуют
вполне определенные правила построения «правильных» интерполяционных полиномов.
В методе конечных элементов «правильность» определяется способом получения
функций формы элемента.
Кроме этого, при решении задачи имеет значение, каким образом в математическую
модель закладываются различного рода допущения и ограничения. В данном случае
речь идет об условии несжимаемости. В настоящее время приближенное выполнение
условия несжимаемости достигается двумя способами. Первый способ заключается в
использовании метода штрафных функций, а второй – в использовании интегрального
уравнения специального вида, получившего название функционала Маркова-Германа
[297].
При этом исследования, выполненные в работе [297], показывают, что решения,
полученные методом штрафных функций, зависят от выбранной величины штрафного
множителя . При малых величинах плохо выполняется условие несжимаемости, а при
значительных выполняется условие несжимаемости, но эпюры скоростей начинают
резко отличаться от реальных эпюр. Кроме этого, даже если невыполнение условия
несжимаемости в целом для всей обрабатываемой среды незначительно, то
существуют точки внутри сплошной среды, в окрестности которых условие
несжимаемости не выполняется вообще. Это говорит о том, что невыполнение
физических ограничений приводит к нарушению основных концепций, заложенных в
вариационное уравнение. А именно: среда предполагается несжимаемая,
вязко-пластическая. Все это может приводить, в некоторых случаях, к снижению
точности решения задачи.
В связи с этим привлекательным становится вопрос построения алгоритма, который
позволял бы ввести условие несжимаемости в интерполяционные выражения конечного
элемента.
Одним из методов явля
- Київ+380960830922