Оглавление
0.1 Введение.....................................................
0.1.1 Структура диссертации.................................
0.1.2 На защиту выносятся следующие пункты..................
1 Рассеяние нейтрона в немагнитных слоистых средах
1.1 Отражение и пропускание совокупности двух полупрозрачных зеркал ..........................................................
1.1.1 Сближение зеркал......................................
1.2 Свойства амплитуд отражения и пропускания одномерными потенциалами ......................................................
1.2.1 Несимметричные потенциалы.............................
1.2.2 Соотношение между фазами г и £........................
1.3 Периодические системы........................................
1.3.1 Конечное число периодов...............................
1.3.2 Несимметричный период ................................
1.3.3 Примеры периодических потенциалов.....................
1.3.4 Суперзеркала..........................................
1.4 Примеры применения метода расслоения к физическим задачам
1.4.1 Резонансное рассеяние.................................
1.4.2 Резонанс в системе двух неодинаковых барьеров.........
1.4.3 Формула Б рейта-Вигнера...............................
1.4.4 Распад квазисвязанной системы.........................
1.4.5 Резонансы при полном отражении [24]...................
1.5 Каналирование................................................
1.5.1 Волновая функция внутри канала........................
1.5.2 Волновая функция над неосвещенной поверхностью . . .
1.6 Потенциалы общего вида.......................................
1.6.1 Аналитическое описание отражения от комбинации прямоугольного потенциала и потенциалов Эккарта.................
1.6.2 Метод непрерывных дробей..............................
1.6.3 Отражение от зеркал при наличии внешнего поля ....
1.7 Заключение к главе 1 ........................................
6
7
9
10
13
13
14
14
15
17
20
20
21
29
37
37
39
39
40
42
42
43
46
48
49
52
53
55
2
2 Одномерное рассеяние нейтрона со спином 56
2.1 Отражение нейтронов от магнитного зеркала......................58
2.1.1 Плоская волна в однородном магнитном поле................58
2.1.2 Решение уравнения (2.9)..................................60
2.1.3 Свойства матриц Паули....................................61
2.1.4 Матричные элементы матрицы отражения.....................62
2.1.5 Тройное расщепление пучка при отражении .................63
2.2 Алгебра для магнитных зеркал...................................65
2.2.1 Магнитное зеркало конечной толщины ......................65
2.2.2 Система двух магнитных зеркал............................66
2.2.3 Стоячие волны............................................67
2.2.4 Периодическая система зеркал.............................68
2.2.5 Отражение от геликоидальной системы......................68
2.3 Матричный метод расчета многослойных магнитных систем . . 76
2.4 Резонансный поворот спина......................................78
2.4.1 Неупругое взаимодействие нейтрона с радиочастотным полем .........................................................80
2.4.2 Решение задачи Крюгера...................................84
2.4.3 Приближенные выражения для матрицы пропускания (2.130)....................................................87
2.5 Игры с поляризованными нейтронами..............................89
2.5.1 Волна спиновой прецессии и модуляция интенсивности после 7г/2-ротатора............................................89
2.5.2 7Г- Ротатор..............................................93
2.5.3 Метод разделенных полей Рамсея...........................93
2.5.4 Спектрометр на частотном биении интенсивности .... 99
2.5.5 Длинноволновая нейтронная голография без опорных пучков (40) 101
3 Динамическая дифракция в трехмерных периодических средах 112
3.1 Дифракция на кристаллической плоскости........................114
3.1.1 Теория многократного рассеяния волн.....................114
3.1.2 Рассеяние на бесконечной кристаллической плоскости . .115
3.1.3 Рассеянное поле кристаллической плоскости...............116
3.2 Дифракция на полубесконечном монокристалле....................118
3.2.1 Свойства диадных матриц.................................120
3.2.2 Собственные векторы и собственные значения оператора X..........................................................121
3.2.3 Решение уравнения (3.19)................................125
3
3.3 Дифракция Брэгга..............................................127
3.3.1 Зеркальное брэгговское отражение........................127
3.3.2 Незеркальное брэгговское отражение......................132
3.3.3 Дифракция на кристалле конечной толщины.................134
3.3.4 Полное отражение мозаичного кристалла...................135
3.4 Дифракция Лауэ................................................138
3.4.1 Сравнение со стандартной теорией дифракции [45-50] . .142
3.5 Унитарность и оптическая теорема..............................142
3.5.1 Унитарность при рассеянии на центре.....................144
3.5.2 Унитарность в случае рассеяния на кристаллической
плоскости...............................................144
3.5.3 Принцип детального равновесия...........................146
3.6 Оптический потенциал щ........................................149
3.6.1 Рассеяние на кристаллической плоскости при низких
энергиях................................................150
3.6.2 Рассеяние при низких энергиях на полубесконечном кристалле ........................................................151
3.6.3 Поправки к оптическому потенциалу.......................151
3.6.4 Оптический потенциал и амплитуда рассеяния b(q) . . . 155
4 Неупорядоченные среды, волновое и корпускулярное рассеяние в них 157
4.1 Волновые процессы в трехмерных неупорядоченных средах . . . 157
4.1.1 Уравнения теории многократного рассеяния волн . . . .158
4.1.2 Решения для когерентных величин.........................160
4.1.3 Перенормировка амплитуды рассеяния .....................162
4.2 Рассеяние.....................................................165
4.2.1 Связь рассеяния с корреляционной функцией...............166
4.2.2 Распространение рассеянных волн внутри среды............169
4.2.3 Рассеяние на одном ядре, фиксированном внутри среды . 171
4.3 Альбедо для нейтронов.........................................174
4.3.1 Основные понятия........................................175
4.3.2 Альбедо бесконечно толстой стенки.......................176
4.3.3 Альбедо стенки конечной толщины L.......................179
4.3.4 Альбедо ультрадисперсного вещества......................182
4.3.5 Угловое распределение отраженных нейтронов при изотропном рассеянии..............................................185
4.4 Заключительные замечания к главе 4.........................188
4
Аннотация
Представлен метод расслоения для аналитического расчета рассеяния нейтронов в слоистых магнитных и немагнитных средах. Получены аналитические результаты для отражения от произвольных одномерных периодических немагнитных сред. Предложен алгоритм для приготовления суперзеркал. Рассмотрено каналирование в резонансных системах. Предсказано (в дальнейшем экспериментально подтвержденное) тройное расщепление нейтронного пучка при отражении неполяризованных нейтронов от магнитных зеркал с намагниченностью неколлинеарной внешнему полю. Найдено полное решение для отражения нейтронов от магнитных зеркал с геликоидальной намагниченностью. Предложен обобщенный матричный метод для расчета рассеяния нейтронов на произвольной одномерной магнитной системе. Найдено полное аналитическое решение для отражения и пропускания нейтронов системами с переменным радиочастотным магнитным полем и на его основе разработан метод длинноволновой нейтронной голографии. Предложен алгебраический мегод теоретического расчета динамической дифракции нейтронов в идеальных кристаллах и оптического потенциала взаимодействия нейтрона с конденсированными средами с произвольной заданной точностью. Метод расслоения применен к волновому и корпускулярному рассеянию нейтронов в случайных средах и к вычислению альбедо нейтронов от однородных и мелкодисперсных сред. Полученные результаты имеют преимущество по сравнению известными результатами диффузионной теории, поскольку применимы без ограничений во всей области изменения параметров отражающей среды.
5
0.1 Введение
В данной работе теоретически исследуются отражение, пропускание и распространение нейтронов в слоистых средах. Эти вопросы относятся к нейтронной оптике и связаны с задачами, решаемыми в нейтронной рефлекто-метрии, дифрактометрии и упругом рассеянии в неупорядоченных средах.
Нейтронная рефлектометрия и дифрактометрия являются общепризнанными средствами исследования магнитной и немагнитной структуры вещества и приготовления поляризованных и неполяризованных нейтронных пучков. Почти на всех нейтронных источниках имеются экспериментальные установки с нейтронными рефлектометрами и дифрактометрами. Потому теоретическое решение проблем, исследуемых на этих установках, является актуальным.
В рефлектометрических экспериментах измеряются коэффициенты отражения в зависимости от угла падения и длины волны падающих нейтронов. Из кривых отражения извлекается распределение вещества и магнитного ноля вглубь от границы раздела отражающей среды. Большей частью это делается с помощью численных методов, поскольку аналитические были развиты только для простейших распределений типа тех, которые описываются прямоугольными потенциалами, или тех, для которых возможно применение теории возмущений.
Численные методы стали доминирующим средством анализа экспериментальных данных. Они оказались очень удобными с точки зрения алгоритмов составления программ особенно после открытия в 1954 г. изящного матричного метода Паррэ [67]. Однако аналитические методы всегда оставались желательны, ибо они совместно с численными дают более глубокое понимание физических процессов.
Именно аналитический метод, названный здесь методом расслоения, и представлен в данной работе. Он позволил в компактном виде представить отражение от произвольных периодических систем, в применении к магнитным системам предсказать расщепление нейтронного пучка при отражении от магнитных зеркал, рассчитать и объяснить резонансное отражение с переворотом спина от геликоидальных систем, полностью разобраться с задачей о резонансном перевороте спина в радиочастотных полях и сформулировать принципы длинноволновой нейтронной голографии без опорных пучков.
Метод расслоения, разработанный для одномерных систем, обобщается на трехмерные периодические среды. С его помощью удается по новому взглянуть на процессы динамической дифракции нейтронов в идеальных кристаллах, развить алгоритмы для расчета дифракционных пиков сколь угодно сложной решетки, не прибегая к теории возмущений, и предсказать эффек-
6
ты, которые можно наблюдать экспериментально. Все это важно как для прикладной кристаллографии, так и для фундаментальных исследований.
Развитый здесь метод применим не только к волновым, но и к корпускулярным процессам, о чем свидетельствует проведенное в данной работе исследование альбедо нейтронов от мелкодисперсных сред. Он не только применим, но еще и обладает преимуществом по сравнению с уже известным диффузионным подходом и потому имеет важное значение для проектирования реакторов и радиационных биологических защит.
Результаты, представленные в данной работе, были получены при исследовании удержания ультрахолодных нейтронов (УХН) [1] в закрытых сосудах и их взаимодействия со стенками. Однако они имеют более широкое применение, поскольку относятся не столько к УХН, сколько к нейтронам тепловых и более высоких энергий, а также к другим видам излучения и частиц.
0.1.1 Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, 4-х глав и заключения. Каждая глава заканчивается перечислением тех пунктов, в которых содержится новизна. В заключении суммируются тс основные результаты, которые выносятся на защиту.
В первой главе вводится принцип расслоения и демонстрируется его применение. Одним из полученных в этой главе результатов является аналитическое выражение для амплитуды отражения Я от произвольного немагнитного нолубесконечного потенциала:
о у/(1 + г)2 ~ *2 ~ хА1 ~ г? ~ *2 у/(1 + гу--Р +
в которое входят только амплитуды отражения г и пропускания £ одного отдельно взятого периода. С помощью этой формулы удается исследовать все особенности отражения конечных систем при сколь угодно сложном потенциале отдельного периода. Она позволяет также развить алгоритм для построения суперзеркал с высокой граничной энергией отражения, минимизируя при этом количество напыляемых слоев в соответствии с требованиями качества зеркала.
Метод расслоения далее применяется для исследования резонансных систем и расчета каналирования нейтронов вдоль резонансного слоя.
Выше была приведена формула для отражения от произвольного периодического потенциала. Эта формула содержит амплитуды г к I отдельного периода. Для расчета этих величин часто требуется решать уравнение Шре-дингера с потенциалами, не позволяющими найти аналитическое решение. В
7
таком случае приходится искать приближенное решение, и метод расслоения позволяет представить такое решение в виде, например, непрерывной дроби.
В первой главе рассматриваются немагнитные системы, и спинорные свойства нейтрона не играют никакой роли. Во второй главе метод расслоения обобщается на спинорные частицы, что позволяет описать взаимодействие нейтрона с магнитными системам. При этом уже в применении к простейшей задаче отражения от магнитного зеркала с намагниченностью неколлинеар-ной внешнему полю удается обнаружить тройное луче отражение и четверное лучепреломление неполяризованных нейтронов. Замечательно здесь то, что предсказанный эффект был экспериментально подтвержден и в дальнейшем стал использоваться для исследования в рефлектометрии поляризованных нейтронов.
Далее метод расслоения используется для разработки обобщенного матричного метода расчета рассеяния нейтрона на произвольных одномерных магнитных системах, и для аналитического решения задачи об отражении нейтрона от геликоидальной системы. С его помощью находится резонансное отражение нейтрона с переворотом спина и дается физическое объяснение этому эффекту.
Множество замечательных явлений возникает при пропускании поляризованными нейтронов через резонансные спин-ротаторы. В данной работе задача о рассеянии на резонансном спин-ротаторе, или, как иногда его называют — спин-флиппере, решается полностью в замкнутом виде. Показывается, что после поворота спина в спин-ротаторе нейтрон переходит в суперпозицию состояний с различными энергиями. С таким нейтроном можно проводить множество интересных экспериментов. Во второй главе дается интерпретация этих экспериментов и показывается, как суперпозицию состояний с двумя энергиями можно использовать для голографической записи информации о магнитной и немагнитной внутренней структуре непрозрачных объектов.
В третьей главе диссертации метод расслоения обобщается на трехмерные периодические среды. Здесь используется матричная методика, разработанная во второй главе для спинорной частицы, и показывается, что трехмерная дифракция может интерпретироваться как рассеяние частицы с бесконечномерным спином на одномерном потенциале. Этот подход позволяет по-новому взглянуть на процессы дифракции и обнаружить эффекты, которые в принципе могут быть обнаружены и в стандартном подходе, но до сих пор обнаружены не были. Речь идет об эффектах дифракции, когда выполняются условия Брэгга и Лауэ одновременно.
Метод расслоения позволяет также с любой заранее заданной точностью вычислять оптический потенциал взаимодействия нейтронов с веществом,
8
что б определенных обстоятельствах может оказаться весьма существенным.
В четвертой главе метод расслоения применяется ко взаимодействию нейтрона с неупорядоченными средами. Здесь рассматриваются и волновые и корпускулярные процессы рассеяния. В волновом подходе выводится оптический потенциал и прослеживается взаимосвязь между мнимой частью потенциала и рассеянием.
Самое интересное в этой главе — это применение метода расслоения к описанию корпускулярных процессов таких, как альбедное отражение от неупорядоченных и мелкозернистых сред. Здесь матричный подход к дифракции, где матричные элементы определяли амплитуды перехода между дискретными состояниями, обобщается на непрерывный случай. При этом получаются результаты для альбедного отражения, имеющие преимущество но сравнению с результатыами диффузионной теории, что может иметь важное значение для реакторостроен и я и для целей радиационной безопасности.
Содержание диссертации изложено в книгах [1, 2] и статьях [3-40].
0.1.2 На защиту выносятся следующие пункты
1. Аналитический метод для расчета отражения нейтронов от периодических зеркал.
2. Алгоритм для расчета суперзеркал.
3. Теория каналирования нейтронов в резонансных слоях.
4. Предсказание расщепления нейтронных пучков при когерентном отражении от магнитных зеркал.
5. Аналитическое решение задачи об отражении нейтронов от зеркал с геликоидальной намагниченностью.
6. Аналитическое решения задачи о взаимодействия нейтронов с радиочастотными полями в спин-флиппере.
7. Теория длинноволновой нейтронной голографии без опорного пучка.
8. Обобщение метода расслоения для описания динамической дифракции нейтронов в идеальных кристаллах.
9. Расчет эффекта дифракции нейтронов при одновременном выполнении условий Брэгга и Лауэ.
10. Обобщение метода расслоения для расчета рассеяния нейтронов в неупорядоченных средах. Решение задачи для альбедного отражения от рассеивающих и поглощающих сред.
9
Глава 1
Рассеяние нейтрона в немагнитных слоистых средах
В этой главе представлен аналитический метод расчета немагнитных слоистых сред, названный здесь методом расслоения. Суть метода состоит в том, что для описания отражения и пропускания в сложной системе, ее расщепляют па отдельные слои, отражение и пропускание которых известны в аналитическом виде, а амплитуды отражения и пропускания всей системы записывают с помощью амплитуд отдельных слоев с учетом многократного персотражения между ними.
Для объяснения этого метода рассмотрим элементарную задачу отражения частицы с волновым вектором к от одномерного прямоугольного потенциального барьера высоты щ и ширины dy показанного на рис. 1.1. Обычно, для вычисления амплитуд отражения г и пропускания t барьера, решается уравнение Шредингера [41] с потенциалом г/.о0(О < х < d), где 0 — ступенчатая функция равная единице, при выполнении неравенства в ее аргументе, и нулю в ином случае. Решение ищется в виде
■ф{х) = 0(* < 0) [eikx + re~ikx] +
+0(0 <x<d) [Ле*'х + Be-ik,x\ + 0(® > d)teik^-d\ (1.1)
Заметим, что волновую функцию справа от барьера мы представили в виде texp(ik(x - с/)), а не как обычно, t&tcxp(ikx). Это, однако, не принципиально. Фактически мы переопределили амплитуду пропускания, выделив из нее фазовый множитель: £ехр(—ikd) — tst.
Сшивка функции (1.1) в точках х = 0 и х = d даст систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными г, Д, В и t, решение которой (довольно скучная процедура) и дает искомые амплитуды. Однако найти все неизвестные можно и несколько иначе.
10
и
и° ге~ікх
X
Лкх
йе.*(х-<0
о ах
Рис. 1.1: Прямоугольный потенциальный барьер высоты и0 и ширины а
Геометрическая прогрессия многократных переотражений [42]
В работе [42] отраженная волна г ехр(—1кх)> которая в точке х — 0 равна г, представлялась в виде бесконечной суммы многих волн:
г = Го 4- і0егк,<1(-го)еіК,(ііо + ?о
і к/а:
оо
_7\=1
Єік'іг2еік'%, (1.2)
отраженных от левого края барьера и многократно гтереотраженных от обоих
краев внутри барьера. Здесь к' = у/к2 — и — волновой вектор внутри барьера
- к~к' /1
г"' ГП5 <13)
— амплитуда отражения от левого потенциального скачка со стороны вакуу-
к' — к
ма,
(1.4)
к + к'
амплитуды отражения от правого и левого краев барьера, соответственно, изнутри, а
2 к
=
2 к'
(1.5)
к 4- кг ^ к + к'
— амплитуды прохождения через левый потенциальный скачок слева и справа, соответственно.
Видоизмененный подход
Мы поступим несколько иначе [2]. Обозначим через X амплитуду волны ЛТсхр(ік'(х — (і)), падающей на правый скачок потенциала. Для этой амплитуды можно записать самосогласованное уравнение
X = ехр(ік'д) іо + ехр(г/Лі)го ехр(ік'^г^Х.
(і.б)
Здесь первое слагаемое справа соответствует первичной падающей волне, которая вошла внутрь барьера и добежала до правого его края. Второе слагаемое соответствует волне X, которая, отразившись от правого края, добежала
И
до левого, отразилась и вернулась к правому краю. Две волны, представленные в правой части (1.6), складываются и дают результирующую амплитуду у правого края. Но мы обозначили амплитуду волны, падающей на правый край, через X, поэтому сумму в правой части (1.6) мы должны приравнять к X. В результате получается уравнение (1.6), для которого легко находится решение
Ц ехр №'(1)
1 — То ехр(2гк'д) ’
где введено обозначение г0 = Го = — = — 7%. При помощи X можно сразу
вычислить амплитуды г и X:
г = г0ехр{1к'в)Т^Х, X = ТлХ, (1.8)
где Ха = го, и в первом уравнении учтено, что полная отраженная волна равна суперпозиции волн, отраженных отдельно от обоих краев потенциала. Подстановка (1.7) в (1.8) дает
г = 1 - ехр(2гА^_) % = е1к,л Ь-г|__________
1 — 70 ехр(2 гк'(1)5 1 — го ехр(21к’<1) ’
где в первом выражении использовано легко проверяемое соотношение £о £о = 1 — ^0. Выражения (1.9) обнаруживают интересную симметрию: амплитуда г переходит в X и наоборот при взаимной перестановке г0 и ехр(гА:/^).
Отметим, что когда тщ = 0, т. е. барьер отсутствует, амплитуда пропускания оказывается равной ехр(гЫ).
Волновая функция внутри барьера
Зная X, можно сразу записать волновую функцию внутри барьера:
ф(0 < х < (I) — [ехр(1к'(х — в)) -1- ехр (—1к'(х — е/)) г^\ X. (1-10)
Действительно, волна, бегущая направо, Xсхр(И\'(х — ^)), должна у края барьера совпадать с X. Волна же, бегущая налево, г\}Х ехр(—1к'(х — сI)), получается в результате отражения волны X от края барьера изнутри. Подстановка (1.7) в (1.10) даст
ф{0<х<<1)= 1 _ г2 ехр(2гЫ) [СХР(^/;Г) " г0е2Ш х)\ . (1.11)
Метод, показанный на примере прямоугольного барьера, лежит и в основе метода расслоения. Для его демонстрации рассмотрим два разнесенных зеркала.
12
1.1 Отражение и пропускание совокупности двух полупрозрачных зеркал
Пусть каждое из двух произвольных полупрозрачных зеркал 1 и ‘2 (рис. 1.2), разнесенных на расстояние I [4], описывается некоторым потенциалом щ и характеризуется амплитудами отражения г* и пропускания Ьг (г = 1,2). Требуется найти амплитуды совместного отражения #12 и пропускания Т12 обоих зеркал.
Будем решать эту задачу следующим образом. Слева па первое зеркало падает плоская волна ехр(ъкх). На поверхности первого зеркала она равна единице. Обозначим через X амплитуду волны, падающей на второе зеркало, как показано на рис. 1.2. Для X можно составить уравнение
X = ехр(Ш)£1 -I- ехр(Ш)7*1 ехр(Ш)?'2^, (1-12)
которое означает самосогласованное определение X как суммы волны, прошедшей сквозь первый потенциал до второго, и волны, созданной самим X. Сумма амплитуд двух волн равна X по определению.
Я12 емЯ2Х Я2Х
,/\ т\ + д,е*%л: Ти
О--------------------I 5 X
Рис. 1.2: Два полупрозрачных зеркала представлены двумя одномерными потенциалами, разделенными промежутком длины /
Из (1.12) следует, что
X, <1^»ж (из)
1 — г\Г2 ехр(2гк1)
Амплитуды отражения и пропускания всей системой теперь легко выражаются через X:
#12 = и + *1 ехр (Ш)г2Х, Т12 = 12Х. (1.14)
Подстановка сюда вместо X выражения (1.13) приводит к формулам
г> , 4.2 ехр(2Ш)г2 ^ ^2ехр(Ш)П /11сЧ
1ч2=:Г1+11-л------------/оТл ’ -#12 = ^---/0“.у ,Ч • (1-15)
1 — ггг2 ехр(2гА:/) 1 - Г1Г2 ехр(2гк1)
1.1.1 Сближение зеркал
Мы рассмотрели случай, когда зеркала разделены промежутком /. Очевидно, что I может быть произвольным. В частности, можно положить / = 0. Тогда
13
подстановкой І = 0 уравнения (1.12), (1.14) и выражения (1.15) приводятся к виду
X — и + Г1Г2Х, Я\2 — г\ + к^Х, Т\2 = ЬъХ,
«із = П + Зт-2—, Г12 = -М-. (1.17)
1 - Г]Г2 1 - ГіГ2
Мы сделали простейший шаг, но он сразу приводит к заключению, что любой потенциал можно мысленно разделить в любом месте на две части и выразить амплитуды отражения и пропускания всем потенциалом через амплитуды его частей. Правда, выше мы молчаливо предполагали зеркала (их потенциалы) симметричными. В общем же случае и сам потенциал, и его части могут быть несимметричными, как показано на рис. 1.3. Для несим-
Рис. 1.3: Любой потенциал может быть разделен на две произвольные части. Амплитуды отражения и пропускания всего потенциала выражаются через соответствующие амплитуды его частей формулами (1.18), (1.19)
метричных же потенциалов амплитуды отражения г,- и и слева и справа различны, и формулы (1.17) должны быть переписаны следующим образом:
К
#12 = П + к
Т12 =
Г2
1 - Ъ\Г2 *2 *1
і #21 = Ь + к
к і
к к
(1.18)
(1.19)
1-П гГ 1-*ТГ25
где стрелка указывает направление волны, падающей на соответствующий потенциал.
1.2 Свойства амплитуд отражения и пропускания одномерными потенциалами
1.2.1 Несимметричные потенциалы
Посмотрим, чем отличаются амплитуды справа и слева для произвольного несимметричного потенциала. Для этого достаточно рассмотреть какой-нибудь один несимметричный потенциал. Самым простым является потенциал, состоящий из двух симметричных частей, как показано на рис. 1.4.
14
Яі2Є
-ікх
Рис. 1.4: Несимметричный потенциал, образованный двумя симметричными
Пропускание и отражение совместным потенциалом даются формулами (1.17). Из них сразу видно, что Тп = Т21, а так как любой потенциал со сколь угодно точностью может быть представлен суммой симметричных прямоугольных потенциалов, то и для произвольного потенциала справедливо
7 = 7 = 1. (1.20)
Что же касается отражения, то из формул (1.18) следует
#12 = 7 + ^21=^2+- ■ (1.21)
1 - П Г'2 1 - п Г2
т.е. 7? 12 #21, а значит, и вообще 7^7. Однако амплитуды V" и ~т*
могут различаться только фазовым множителем, т.е. V = ехр(гх)"г*> где X — вещественное число.
Действительно, исходя из соображений унитарности (число отраженных и прошедших частиц должно быть равно равно числу падающих), имеем
т2+|Г|2=и2+т2=1, (1.22)
в поскольку 7 = 7, то )¥■) = |-г*|, и, следовательно, различаться эти амплитуды могут только фазовым множителем.
Заметим, однако, что |*тД = |Т*| справедливо только при отсутствии потерь в потенциалах, т. е. когда потенциалы и вещественны. Если мнимая часть потенциала отлична от нуля, то у фазы х появляется мнимая часть. При этом оказывается что ]*г~| Ф |У | и становятся отличными друг от друга коэффициенты отражения слева и справа. Коэффициенты же пропускания остаются одинаковыми и при наличии потерь.
1.2.2 Соотношение между фазами г и £
Покажем, что в случае действительных симметричных потенциалов фазы амплитуд отражения и пропускания различаются на тт/2. Чтобы доказать это, представим мысленный эксперимент, схема которого показана на. рис. 1.5.
15
М3
Рис. 1.5: Схема мысленного эксперимента для определения соотношения между фазами г и t. Полупрозрачные зеркала М1 и М4 тождественны. Зеркала М2 и М3 отражают полностью, но в в общем случае с различными фазами. Фазы, набегающие при распространении частиц но двум различным путям от зеркала М1 к зеркалу М4, обозначены как ф и ф. Сумма показаний счетчиков двух детекторов D1 и D2 на выходе должна быть равна количеству нейтронов, падающих на М1
Используем произвольный симметричный потенциал в качестве полупрозрачного зеркала М1. Падающий пучок на нем расщепляется, и обе компоненты расщепленного пучка после полного отражения от двух других, вообще говоря необязательно тождественных, зеркал М2 и М3 сводятся вместе и интерферируют на полупрозрачном зеркале М4, тождественном М1. Общее число частиц должно сохраняться, поэтому счетчики двух детекторов после зеркала М4 должны в сумме давать количество падающих нейтронов. Это значит, что
|rt|2|ë* + е**|2 + | r2e* + tV*|2 = 1. (1.23)
Если записать г = |г|ехр(гхг), t = |t| exp(ixt) и Для простоты принять, что ф = ф = 0, то (1.23) преобразуется к виду
(И2 + И2)2 + 2|г<|2[1 + cos(2xr ~ 2xt)] = 1- (1-24)
Поскольку при отсутствии потерь первое слагаемое равно единице, то второе должно равняться нулю. Отсюда следует', что
2Хг - 2xt - ±*г, (1-25)
и Хг = Xt тг/2, что и требовалось доказать. Результат будет тем же и при
произвольных фазах фиф.
Теперь ясно, что, если записать t в виде t = то автоматически
будет следовать г — ±г|г|е^е, и потому комбинации t±r представляют собой
16
единичные комплексные числа ехр(г£±), где £± = фг ± агс8т(|г|), £2 — г2 = ехр(2г<^).
Приведенное соотношение (1.25) для фаз легко обобщается на случай несимметричного потенциала. Если записать 7 иУ как Т* = |ТЧ ехр(г^г) и = |У|ехр(^г), то вместо (1.25) получим
+ *г) =Ъ±1 (1.26)
1.3 Периодические системы
Метод расслоения наиболее эффективен применительно к периодическим системам. Можно представить себе периодический потенциал с N произвольными периодами, как показано на рис. 1.6, и поставить задачу найти амплитуды отражения Ядт и пропускания Т^ этой системой. Оказывается, ее проще всего решить, если сначала найти амплитуду отражения для полубссконечного потенциала, показанного на рис. 1.7 [5-8, 51].
Яд, ехр(—гкх)
“ Т^ехр(1кх)
/Л^У/Л/Л
------- N --------------- х
Рис. 1.6: Периодический потенциал, содержащий N периодов.
Здесь стрелками слева изображены падающая и отраженная волны, причем амплитуда отражения обозначена через Я, а волна, падающая на второй период, обозначена X. По аналогии с (1.16) можно сразу написать систему уравнений для X и Я:
X = Ь + гЯХ, Я = г + *ЯХ, (1.27)
где г и £ — амплитуды отражения и пропускания одного отдельно взятого периода (для простоты считаем его симметричным) и учтено, что полу-бесконечный потенциал не меняется при удалении из пего одного периода. Получилась простая и симметричная система уравнений. Второе уравнение переходит в первое при перестановке г и I.
Яехр(~ікх) ф(х)ех р(г<?ж)
------------ X —-----------
х
Рис. 1.7: Полубесконечная периодическая система
17
Для решения системы (1.27) выразим X из первого уравнения и подставим во второе. В результате получим
Л = г + Г~7я- ^
Это квадратное уравнение, которое приводится к виду у2 — 2ру 4- 1 = 0, где
у = Лир = (г2 + 1 — £2)/2г. Решение уравнения тривиально: у = р— у/р2 —1,
но его также можно представить в виде
у = (1.29)
у/р + 1 Н- у/р —' 1 из которого тотчас же следует формула (5-8]
в - У(1+г)2~*2 ~ \/(1-02-^2 м
V(l+r)*-t* + У(1-г)*-е’ ( }
которую нетрудно проверить.
1. Если отражение одного периода равно нулю, то должно быть и R — 0. Легко убедиться, что это удовлетворяется.
2. С другой стороны, если допустить, что потенциал одного периода очень велик, а пропускание t равно нулю, то отражение R от всего потенциала должно быть равно г, поскольку остальные периоды фактически в отражении не участвуют. Легко убедиться, что это удовлетворяется тоже.
Вспомним, что волновая функция внутри периодического потенциала (см. рис. 1.7) представляется в виде произведения периодической функции ф(х) и фазового множителя с вектором Блоха q. Поэтому, если амплитуда волны, падающей на первый период, равна единице, то у волны, падающей на второй период, она будет равна exp(iqa), где а —* период. Мы обозначили ее X. Следовательно. X = exp(iqa)\
Найдем X из системы уравнений (1.27). Его можно написать сразу, если учесть симметрию уравнений при перестановке r <r*t:
х = <~- М + (ш)
^(1 + г)2-г2+
Это выражение так же, как и (1.30). легко проверить.
1. Допустим, что потенциал периода равен нулю. Тогда г = 0, и £ = ехр(гка). Подставим эти значения в (1.31). Получим ехр(гда) = ехр(гАга), т.а. у = к, как и следовало ожидать.
2. С другой стороны, если положить потенциал одного периода столь большим, что пропускание £ равно нулю, то подстановка t = 0 в (1.31) дает ехр(гда) — 0, т. е. 1т д = гоо, и, действительно, ко второму периоду волна не проходит.
18
- Київ+380960830922