Оглавление.
Введение..............................................4
Глава 1. Постановка задачи и уравнения движения.......18
Глава 2. Стационарные решения системы уравнений движения пассивно гравитирующего тела.................................................22
2.1 .Координаты треугольных точек
либрации..................................22
2.2.Координаты коллинеарных точек
либрации..................................24
Глава 3. Вычисление координат коллинеарных и
треугольных точек либрации...................25
Глава 4. Разложение функции Гамилыона в ряд Тейлора
в окрестности положения равновесия...........28
Глава 5. Нормализация квадратичной части
гамильтониана................................32
5.1 Построение нормализующей матрицы.........32
5.2 Выполнение линейной нормализации.........36
Глава 6. Нелинейная нормализация гамильтониана
методом точечных отображений.................39
Глава 7. Выполнение нелинейной нормализации...........45
7.1.Построение производящей функции отображения..................................45
7.2.Нормализация производящей
функции...................................56
7.3.11остросние нормальной формы функции Гамильтона. Критерии нелинейной
устойчивости точек либрации...............62
Глава 8. Исследование вырождения компланарных решений крутовой фотшравитационной затачи в затаче эллиптической........................64
8.1 Поиск решений вне плоскости ДВИЖСНИЯ основных тел.................................64
8.2 11оиск решений методом малого параметра....................................64
8.3 Результаты численных
исследований.............................68
Глава 9. Результаты численного исследования
устойчивости точек либрации..................70
10.1 .Устойчивость коллинеарных точек
либрации.................................70
10.2.Устойчивость треугольных
точек либрации...........................72
Заключение............................................73
Рисунки...............................................74
Приложения............................................85
Литература...........................................100
Опубликованные работы................................105
Введение
Изучение устойчивости частных решений ограниченной задачи трех тел всегда представляло большой интерес, поскольку на основе такого исследования можно смоделировать с достаточной степенью точности поведение реально существующих небесных объектов. В частности, полученные результаты можно с успехом использовать при построении теории эволюции двойных звезд а также в космонавтике.
Упомянем кратко об основных работах, отражающих историю исследований, посвященных этой теме.
Классическая задача трех тел, движущихся под действием сил взаимного гравитационного притяжения, в общем виде не интегрируется, но допускает частные решения, в которых все три материальные точки лежат в неизменной плоскости и движутся по кеплеровским орбитам вокруг барицентра системы. Три частных решений, для которых три гравитирующие точки расположены на одной прямой — коллинеарные точки либрации — были впервые описаны Эйлером [ 1 ] еще в 1767 году. Несколько позже Лагранж [2] нашел еще два решения, для которых гри тела образуют равносторонний треугольник — треугольные точки либрации. Наиболее полно вопрос об устойчивости точек либрации рассмотрен в ограниченной задаче трех тел, когда
предполагается, что одно из тел имеет бесконечно малую массу и не влияет на движение двух других тел.
Для самой простой, круговой, задачи трех тел, когда основные тела движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс, необходимое условие устойчивости треугольных точек либрации в линейном приближении, справедливое как для плоского, так и для пространственного случая, впервые упоминается в работе Гашо [3] и записывается в виде неравенств:
где массы Ш1 и ш2 основных тел связаны соотношением:
р=т2 /(гл|+т2)
В 1957 году Литлвуд показал [4], что при начальном возмущении порядка т. отклонение пассивно 1равитирующего гела от вершины треугольника имеет тот же порядок в течение интервала времени, равного
где А зависит только от р.
Строгий анализ, который в 1962 году' проделал Леонтович [5], показал, что в случае плоской задачи треугольные точки либрации устойчивы по Ляпунову для всех р из области (*), кроме, быть может, множества значений р, имеющих, так называемую, Iгулевую меру.
или
0<27р(1-р)<1 0<р<р°=0.038...
(*)
Г)
ехр[А-е“,/2-(|1о8(с)| У3'4 ]
Применив результаты Арнольда [6] и Мозера [7] по теории гамильтоновых систем, Депри установил [8], чго это множество состоит из трех значений р, (1=1,2,3), для которых не применима теорема Арнольда-Мозера [7].
В 1969 голу' Маркеев А.Г1. провел строгий нелинейный анализ и получит [9], что в случае плоской задачи только треугольные точки либрации, соответствующие Р1=0.024... и р2=0.013... ,
неустойчивы, а для всех остальных р из области (*) точки либрации устойчивы но Ляпунову.
Для пространственной круговой задачи Маркеев А.П. доказал [10], что треугольные точки либрации устойчивы в смысле Лебега для большинства начальных условий при всех р из области устойчивости в первом приближении ( кроме значений Р1 и р2 ), причем, почти для всех р из (*) имеет место формальная устойчивость [11], кроме, быть может, тех значений р, при которых частоты соответствующей линейной задачи удовлетворяют соотношениям двукратного резонанса. При р=0 задача трех тел переходит в задачу двух тел, где имеет место лишь орбитальная устойчивость ( Соколь-ский А-Г. [12]).
Сокольский А.Г. также показал 113], что при критическом соотношении масс Рауеса р=р°=(9-Уб9)/18=0.039
треугольные точки либрации формально устойчивы как в плоской, так и в пространственной задаче.
Устойчивость в более общем и, соответственно, более сложном случае, когда рассматривается неограниченная задача трех тел, была исследована в рабогах Куницына А.Л. [14,15,16], Тхая В.Н. [17,18] и Иванова А.П. [19,20].
Однако, если предположить, что пассивно гравитирующее тело М0 является частицей газопылевого облака или звездного вещества, то учитывать лишь гравитационную силу уже недостаточно. На движение таких частиц существенно влияет световое давление со стороны основных тел — излучающих объектов.
Впервые такая фагогравитационная задача была сформулирована в 1950 году Радзиевским В.В. [21]. Он ввел фотогравитационные параметры — Коэффициенты редукции масс основных тел М] и М2 по отношению к частице в случае сферической формы всех трех тел [22]:
0,= 1- АТ,4/аг5гао-5о , Q2= 1- А-Т24/а2-б2-ао-бо (**)
где А=5.15-109 СОЭ — константа, Т*, а, и б, — соответственно абсолютная эффективная температу ра, радиус и плотность тела М* (1=4), 1,2).
Дня круговой ограниченной задачи с одним излучающим телом ( т.е. 01=1, Ог*!) Радзиевский В.В. получил [23]
7
координаты трех коллинеарных, двух треугольных и двух компланарных ( лежащих вне плоскости движения основных тел) точек либрации.
В 1983 году Куницын А.Л. и Турешбаев А.Г. исследовали 124] области существования коллинеарных точек либрации в пространстве параметров РьОг и р, и показали, что число коллинеарных точек зависит от знаков параметров и 02 : при положительных коэффициентах редукции существует одна внутренняя (расположенная между основными телами ) и две внешние точки; когда 0| и 02 разных знаков — две внутренние и одна внешняя; когда фотогравигационные параметры Офицательны, внешних точек нет, а существуют либо три, либо одна внутренняя гочка.
Эти же авторы впервые установили, что, в противоположность классической затаче , при определенных значениях параметров существуют области устойчивости коллинеарных точек либрации. В работе Куницына А.Л. и Турешбаева А.Г. [25] приведена зависимость размера области устойчивости внутренней точки от массового параметра р. Треугольные точки либрации фотогравитационной круговой •задачи фех тел рассматривались в работах Черникова Ю.А.
[26] ( в предположении 02=1 ) в 1970 году, Шуермана Д.В.
[27] в 1980 году.
- Київ+380960830922