Аффинные преобразования в осесимметричной задаче трансверсально-изотропного упругого тела

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.............................................................4
1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ........................................... 13
1.1. Граничные условия в контактных смешанных задачах теории упругости... 13
1.2. Плоские статические контактные задачи для изотропной полуплоскости... 14
1.3. Плоские статические контактные задачи для анизотропного упругого тела 1 8
1.4. Пространственные статические контактные задачи теории упругости 21
1.5. Математические методы в контактных задачах теории упругости....23
1.5.1. Асимптотические методы в смешанных задачах теории упругости.. 24
1.5.2. Метод парных интегральных уравнений в смешанных задачах теории упругости....................................................26
1.6. Аффинные преобразования и метод малого параметра в плоской задаче теории упругости....................................................29
1.6.1. Постановка задачи в напряжениях..........................29
1.6.2. Постановка плоской задачи теории упругости в перемещениях 32
2. ИЗОМОРФНЫЕ МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД................................................. 34
2.1. Модифицированные пространства в декартовой системе координат...34
2.1.1. Ортотропный материал в изоморфных модифицированных пространствах.......................................................39
2.1.2. Трансверсально-изотропиый материал в изоморфных модифицированных пространствах......................................42
2.2. Трансвсрсально-изотроиный материал в модифицированных пространствах цилиндрической системы координат......................46
2.3. Анализ некоторых изоморфных модифицированных пространств трансверсально-изогроиного материала в цилиндрической
системе координат...................................................52
3. ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ.......................60
3.1. Вывод приближённых уравнений пространственной теории упругости трансверсально-изотропной среды на основе асимптотического метода...60
3.2. Осесимметричная пространственная задача для трансверсально-изотропной среды...............................
3.3. О структуре главных уравнений для высших приближений.....
3.4. Иллюстрация предложенного метода на примере решения задачи о действии сосредоточенной силы на границу трансверсально-изотропного полупространства..................................
3.4.1. Постановка задачи и граничные условия..............
3.4.2. Решение задачи в нулевом приближении...............
3.4.3. Решение задачи в первом приближении................
3.4.4. Решение задачи во втором приближении...............
3.4.5. Построение приближенного решения и сопоставление
его с точным решением задачи..................................
4. НЕКОТОРЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТРАНСВБРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА..................................
4.1. Действие гладкого круг ового штампа с плоским основанием на границу трансверсально-изотропного полупространства...........
4.1.1. Постановка задачи и граничные условия..............
4.1.2. Решение задачи в нулевом приближении...............
4.1.3. Решение задачи в первом приближении................
4.1.4. Решение задачи во втором приближении...............
4.1.5. Построение приближённого решения и сопоставление его сточным решением задачи...................................
4.2. Контактная задача для параболического кругового штампа
при отсутствии сил трения..........................................................
4.2.1. Постановка задачи и граничные условия..............
4.2.2. Решение задачи в нулевом приближении...............
4.2.3. Решение задачи в первом приближении................
4.2.4. Решение задачи во втором приближении...............
4.2.5. Построение приближённого решения и сопоставление
его с точным решением задачи..................................
ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................
ЛИТЕРАТУРА....................................................
4
ВВЕДЕНИЕ
Современная техника предъявляет всё более жёсткие требования к точности, с которой должно быть определено напряженно-деформированное состояние конструкций и сооружений. Большие возможности с этой точки зрения предоставляют интенсивно развивающиеся численные методы, предполагающие использование ЭВМ. Но с другой стороны, остаётся насущной и даже возрастает потребность в качественных методах, точных или приближённых решениях, которые позволяют выявить основные механизмы работы конструкций и выбрать наиболее эффективный алгоритм численного исследования. Естественным математическим аппаратом, позволяющим построить обоснованные приближённые уравнения и оценить области использования различных гипотез, является асимптотический анализ. Асимптотические методы получили весьма широкое развитие и применение в теории пластин и оболочек (прежде всего в работах А.Л. Гольденвейзера, И.И. Воровича, В.М. Александрова и др. [35-37, 6-15]). Асимптотическое интегрирование уравнений равновесия является одним из наиболее эффективных способов построения приближённых аналитических решений.
В современных конструкциях наряду с материалами, обычно при расчётах принимаемыми за однородные и изотропные, используются для изготовления деталей и анизотропные материалы. У них наблюдается резкое различие в упругих свойствах для разных направлений. Примером таких материалов может служить натуральная древесина; общеизвестно, что модуль упругости древесины при растяжении вдоль волокон значительно больше соответствующего модуля при растяжении поперёк волокон. Упругие постоянные древесины зависят от направления по отношению к древесным волокнам. Анизотропными (и притом неоднородными) являются синтетические материалы, применяемыми в
5
авиастроении: дельта-древесина, авиа-фанера, текстолит и др.
Анизотропией упругих свойств обладают кристаллы и некоторые горные породы. Разными авторами отмечалась и исследовалась анизотропия железобетона.
Для того чтобы иметь возможность рассчитывать на прочность анизотропные детали, испытывающие упругие деформации, необходимо уметь определять напряжения и деформации в анизотропных телах теоретическим путём, т. е. решать задачи теории упругости анизотропного тела. В настоящее время теория упругости анизотропного тела весьма полно и всесторонне разработана (благодаря трудам главным образом учёных - Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Ь.Г. Галёркина, П.Ф. Папковича, С.Г. Лехницкого, Г.Н. Савина и многих других [114-117, 86, 173, 130-135]). В этой области уже накопился довольно большой материал в виде ряда статей, опубликованных в различных журналах и сборниках и многих монографиях.
Непосредственно поводом для написания дайной диссертации явилось осмысление идей, высказанных Н.М. Матченко в работах [96, 97].
Цель работы. Показать, что применение аффинных преобразований на основе асимптотических методов позволяют развить новые подходы к постановке, решению осесимметричных задач теории упругости трансверсально-изотропных упругих материалов.
Научная новизна работы. В диссертации рассмотрены различные варианты выбора компонент преобразующего тензора и получены несколько вариантов изоморфных модифицированных пространств, в которых с помощью асимптотического метода решаются осесимметричные задачи пространственной теории упругости трансверсалыю-изогропных сред:
I. Доказана теорема о множественности представления анизотропных материалов в изоморфных модифицированных пространствах.
6
2. Намечена классификация изоморфных модифицированных пространств.
3. Приводятся формулы для вычисления компонент преобразующего тензора.
4. Вводится новое представление модулей упругости в физическом пространстве в виде Е, = Ф • Е|, (»= 1,2,3, по 1 не суммировать), позволяющие записать модули упругости в изоморфных модифицированных пространствах (Мп).
5. Установлена связь компонент преобразующего тензора ац с
коэффициентами ф (1 = 1,2,3) для ортотропных, трансверсально-изотропных материалов в декартовой системе координат, а для трансверсально-изотропного - цилиндрической системе координат.
6. Проведён асимптотический анализ уравнений равновесия пространственной теории упругости в изоморфных модифицированных пространствах.
1. Благодаря введению представления модулей упругости в физическом пространстве и установлению связи компонент преобразующего тензора а~ с коэффициентами а, 0 = 1,2,3) в бесчисленном
множестве изоморфных модифицированных пространств определены несколько вариантов (Мп) пространств. При асимптотическом анализе уравнений равновесия в данных (Мп) пространствах выделяется величина г, которая является малым параметром для большинства трансверсально-изотропных материалов.
8. Показано, что способ выделения величины г в (Мп) пространствах имеет преимущество перед способом получения аналогичного параметра £* Л.И. Маневичем и его учениками [90, 91). Преимущество заключается в расширении области применения асимптотического метода при решении осесимметричных задач теории упругости для большинства трансверсально-изотропных материалов.
9. Рассмотрен вопрос о структуре уравнений высших приближений в изоморфных модифицированных пространствах.
10. Среди модифицированных пространств выделяется эквивалентное, в котором коэффициенты податливости в направлении исходной цилиндрической системы координат одинаковы и, например, равны единице (эталонное пространство).
Практическая ценность. Благодаря введению аффинных преобразований получены аналитические решения некоторых контактных задач теории упругости трансверсально-изотропных материалов асимптотическим методом. Расширена область применения асимптотического метода за счёт выделения в изоморфных модифицированных пространствах величины, которая является малым параметром для большинства трансверсально-изотропных материалов. Полученные в нулевом приближении аналитические решения дают погрешность по сравнению с точным решением не более 6%.
Достоверность полученных результатов обусловлена применением фундаментального математического аппарата механики деформируемого твёрдого тела, возможность получения из приведённых в диссертации уравнений пространственной теории упругости известных теоретических построений, сопоставления полученных решений с точными решениями, решения тестовых задач.
В нервом разделе представлен анализ работ по одному из разделов механики твёрдого деформированного тела - теории контактных задач, позволяющий определить место и значение новых результатов, изложенных далее в диссертации. Раздел состоит из шести частей. В первой части приводится разнообразие способов приложения внешних нагрузок, создающих напряжённое состояние, к различным комбинациям которых приводится большинство контактных задач. Во второй и третьей частях излагается материал относящейся к плоским контактным задачам
8
теории упругости, как для изотропной полуплоскости, так и для анизотропной среды. В четвёртой части приводятся обзоры работ посвящённых пространственным статическим контактным задачам теории упругости, преимущественно, задач о давлении жёсткого штампа на упругое полупространство. В пятой части перечислены основные математические методы, используемые в контактных задачах теории упругости. Более подробно изложены асимптотические методы в смешанных задачах теории упругости и метод парных интегральных уравнений. В шестой части даётся обзор литературных источников, в которых применяются аффинные преобразования и метод малого параметра при решении плоской задачи теории упругости. Эти работы разделены на два класса: а) постановка задачи в напряжениях с использованием функций напряжений; б) постановка задачи в перемещениях. Из рассмотренных работ шестой части следует, что в них используются аффинные преобразования либо координат, либо координат и компонент вектора перемещения, причём преобразования вводятся в уже сформулированные в физическом пространстве уравнения совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений, либо в уравнения равновесия, записанное через компоненты вектора перемещения.
Во втором разделе исследуется возможность аффинного преобразования координат, перемещений, полей напряжений и деформаций для анизотропного материала, отнесённого как к декартовой системе координат, так и к цилиндрической системе. Вводится понятие о модифицированных пространствах. Доказывается теорема о множественности представлений одного и того же анизотропного материала в различных изоморфных модифицированных пространствах.
Подробно выписаны соотношения между обобщёнными напряжениями и деформациями для случаев произвольной анизотропии, ортотропии и трансверсальной изотропии в декартовой системе координат,
9
а для трансверсальной изотропии - цилиндрической системе координат. Приводятся формулы для вычисления компонентов преобразующего тензора, а также вводится представление модулей упругости в физическом пространстве в виде =с1 - Е,, где 1 =1,2,3- Установлена связь компонентов преобразующего тензора а. с коэффициентами ф. Рассмотрены различные
варианты выбора компонентов преобразующего тензора и получены шесть вариантов изоморфных модифицированных пространств. Особый интерес представляют варианты III - VI, гак как при асимптотическом анализе уравнений равновесия пространственной теории упругости в перемещениях в данных (Мп) пространствах выделяется величина с, которая для большинства трансверсально-изотропных материалов является малым параметром. На основе анализа данных об упругих характеристиках тридцати произвольно выбранных трансверсально-изотропных материалов, показано, что жёсткостная характеристика материала, которую предлагается использовать в качестве малого параметра при решении дифференциальных уравнений равновесия асимптотическим методом изменяется в диапазоне от 0.003 до 0.27. С учётом того, что г « 1 в следующих разделах получены неотличимые от точного аналитические решения некоторых контактных задач в уже нулевом приближении. Среди модифицированных пространств выделяется эквивалентное (вариант I), в котором коэффициенты податливости в направлении исходной цилиндрической системы координат одинаковы и, например, равны единице (эталонное пространство). Перевод анизотропного материала в эталонное пространство как бы упаковывает его механические характеристики, позволяя сравнивать между собой различные материалы.
В третьем разделе рассматривается применение асимптотического метода, развитого Л.И. Маневичем, для решения пространственных задач теории упругости трансверсально-изотропной среды, основанный на введении аффинного преобразования координат, компонент вектора
10
перемещения, компонент тензоров напряжений и деформаций, переводящего трансверсально-изотропный материал в изоморфные модифицированные пространства варианты III - VI. При этом естественным является использования разложения искомого решения в ряд по малому параметру е, зависящему от упругих характеристик среды. Компоненты вектора перемещений представляются в виде суперпозиции решений двух типов. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений равновесия первого типа по параметру с определяет интегралы, медленно изменяющиеся вдоль ОСИ 2 по сравнению с интегралами дифференциальных уравнений равновесия второго типа. В связи с этим выделяются напряжённо-деформированное состояние (первого типа), относительно медленно изменяющееся вдоль ОСИ 2 и напряжённо-деформированное состояние (второго типа), быстро изменяющееся вдоль оси г и локализующееся вблизи граничной поверхности - пограничный слой. Особое внимание уделено вопросу о структуре уравнений высших приближений. При этом вводятся дополнительные преобразования координат в направлении оси г
<п
4, ’Х£,п *а» » гДе 1 = 1.2. Доказывается, что справедлива следующая
го—0
теорема. Если коэффициенты (1 = 1,2 га = 1,2,3,...) подбираются
специальным образом, чтобы все независимые уравнения в последующих приближениях (т.е. уравнения относительно \У^' в системах первого типа и относительно 0£> в системах второго типа) совпадали с соответствующими уравнениями для предельных систем, а коэффициенты а«* 0 = 1,2) принимаются равными единице, так как уравнения нулевого приближения должны совпадать с предельными системами при с->0. Проведён более детальный асимптотический анализ для осесимметричной задачи трансверсально-изотропной среды. Определена связь между решениями первого и второго типов через граничные условия.
11
Интегрирование дифференциальных уравнений равновесия свелось к последовательному интегрированию уравнений для функций тл^к), 0-к| при соответствующих граничных условий. При этом уравнения второго типа для каждого из приближений интегрируются после интегрирования соответствующих уравнений первого типа. Записаны соответствующие ряды для определения напряжений. В третьей части данного раздела предложенный метод иллюстрируется на примере решения задачи о действии сосредоточенной силы на границу трансверсально-изотропного полупространства. С учётом введённых аффинных преобразований определены граничные условия задачи. Решение задачи свелось к последовательному интегрированию уравнений равновесия в нулевом, первом, втором и третьем приближениях при соответствующих граничных условиях в изоморфных модифицированных пространствах вариантов III -VI. Полученное решение задачи сопоставлено с точным решением и приведены графики безразмерных перемещений и напряжений. Результаты вычислений показывают, что уже в нулевом приближении для функции перемещения и погрешность по силовым параметрам в сравнении с точным решением для наихудшего значения малого параметра составила не более 6%. С учётом поправок двух приближений погрешность уменьшается до 2%. Величина погрешности для функции оз с учетом поправок трёх приближений составила 22%. К вопросу о сходимости рядов для функций перемещений с) и и приведены разложения данных функций на нулевое, первое, второе и третье приближения. Анализируя результаты приведённых разложений можно судить, что возможно численно ряды для функций со и и сходятся, так как поправки следующих приближений в процентном отношении к нулевому решению значительно уменьшаются.
Четвёртый раздел состоит из двух частей. В первой части решается задача о действии гладкого штампа с плоским основанием на границу трансверсально-изотропного полупространства при отсутствии сил трения.
12
Во второй части рассматривается задача о вдавливании параболического осесимметричного штампа в полупространство при отсутствии сил трения. В первой задаче заранее известны границы области контакта. Основная трудность, которая возникает при применении асимптотического метода к решению второй задачи связана с необходимостью построения процесса, позволяющего определить на каждом этапе неизвестные границы контакта. С учётом введённых аффинных преобразований определены граничные условия каждой задачи. Решение задач свелось к последовательному интегрированию уравнений равновесия в нулевом, первом и втором приближениях при соответствующих граничных условиях в изоморфных модифицированных пространствах вариантов III - VI. Полученные решения задач сопоставлены с точными решениями и приведены графики безразмерных перемещений и напряжений. Для первой задачи приведены разложения осадки штампа С* на нулевое, первое и второе приближения при значении радиуса области контакта а = 1. Анализируя результаты разложения осадки штампа можно судить, что возможно численно ряды для функции Со сходятся, так как поправки следующих приближений в процентном отношении к нулевому решению значительно уменьшаются. Результаты вычислений для первой задачи показывают, что погрешность функции перемещения со для наихудшего значения малого параметра не более 1%.
Структура и объём диссертации: диссертация состоит из введения, четырёх разделов, заключения, списка литературы. Работа содержит 162 страниц машинописного текста, включая: 26 рисунков, 7 таблиц и список литературы из 173 наименований.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность д. ф-м. наук, профессору Матченко НМ за помощь и постоянное внимание к работе.
1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Основной материал данного раздела представляет собой обзор работ по одному из разделов механики твердого деформированного тела -теории контактных задач. Данный материал содержится в обзорах Д.М. Шермана, Г.Я. Попова и Н.А. Ростовцева [123]. Перечислены основные математические методы в контактных задачах теории упругости. Более подробно изложены два метода, применяемых при исследовании осесимметричных контактных задач теории упругости в данной диссертации. Это асимптотические методы и метод парных интегральных уравнений. Даётся обзор литературных источников, в которых применяются аффинные преобразования и метод малого параметра при решении плоской задачи теории упругости. Эти работы разделены на два класса: а) постановка задачи в напряжениях с использованием функций напряжений; б) постановка задачи в перемещениях.
1.1. Граничные условия в контактных смешанных задачах теории
упругости
Несмотря на большое разнообразие способов приложения внешних нагрузок, создающих напряженное состояние, можно указать несколько достаточно общих типов граничных условий, к различным комбинациям которых приводится большинство контактных задач. Приложение внешних усилий может быть как непосредственно поверхностным, так и через некоторое промежуточное тело (упругое или твердое). В первом случае на границе задаются нормальные и тангенциальные усилия (о и
14
Во втором случае, при наличии промежуточного тела, возможно несколько подслучаев: а) упругое тело жестко сцеплено с
перемещающимся твердым телом, и тогда задаются на поверхности значения перемещений и, V вдоль осей, и б) упругое тело может скользить по его поверхности, и тогда должна быть задана величина нормального к поверхности перемещения и, например, закон Кулона тл. + рач.=0, указывающий на наличие трения. При отсутствии трения (р=0) последнее условие переходит в т5У =0. Резюмируя сказанное, можем указать следующие основные типы граничных условий.
Тип I. На участке упругого тела действуют внешние усилия:
<Уу=^(4 = (1-0
Тип II. Жесткая связь упругого и твердого тела на некотором участке:
“=4,(4 ',=42(4 (1.2)
Тип III. На участке контакта упругого и твердого тела действуют силы сухого трения:
Vv=f(4 т5У+роу=0. (1.3)
Тип IV. Силы трения отсутствуют (р=0) на участке поверхности упругого и твердого тела:
О-4)
где ^(э), £2(3), ^(в), ^(б), А» - заданные функции точки контура.
На отдельных участках границы могут быть заданы условия каждого из этих типов.
1.2. Плоские статические контактные задачи для изотропной
полуплоскости
Впервые плоская контактная задача была поставлена и решена в 1900г. выдающимся нашим современником С.А Чаплыгиным [151]. Он