Математическое моделирование заноса автомобиля

2
Содержание
Введение...................................................................4
§ 1. Анализ подходов к математическому и численному моделированию
движения автомобиля.....................................................9
1.1.0 применении "велосипедной" модели движения колесных транспортных средств.................................................9
1.2. Модели взаимодействия колеса с опорной поверхностью............14
1.3. Четырехколесные модели автомобиля для различных режимов движения............................................................23
§ 2. Аппарат фракционного анализа......................................31
Глава 1. Постановка задачи. Оценка области применимости "велосипедной"
модели....................................................................37
§ 1.1. Описание исследуемой системы и постановка задачи................37
§ 1.2. Сравнение "велосипедной" и четырехколесной моделей движения автомобиля.........................................................49
1.2.1. Описание четырехколесной модели автомобиля...................50
1.2.2. Численное исследование "велосипедной" и четырехколесной моделей.............................................................56
§ 1.3. Выводы к главе 1................................................68
Глава 2. Математические модели движения автомобиля без потери
сцепления колес с дорогой.................................................69
§ 2.1. Асимптотическая модель движения.................................69
2.1.1. Построение модели............................................69
2.1.2. Доказательство корректности модели...........................76
§ 2.2. Анализ упрощенных моделей движения автомобиля без потери сцепления колес с дорогой..........................................89
2.2.1. Сравнение асимптотических моделей............................89
2.2.2. Исследование неголономной модели движения автомобиля 93
2.2.3. Численное исследование упрощенных моделей....................95
§ 2.3. Выводы к главе 2................................................104
Глава 3. Математическая модель переменной структуры для описания
заноса автомобиля.........................................................106
§3.1. Асимптотическая модель движения в случае потери сцепления передних колес с дорогой...........................................106
3.1.1. Построение модели............................................106
3.1.2. Доказательство корректности модели...........................113
§ 3.2. Асимптотическая модель движения в случае потери сцепления задних колес с дорогой.............................................120
3.2.1. Построение модели............................................120
3.2.2. Доказательство корректности модели...........................127
§ 3.3. Асимптотическая модель движения в случае потери сцепления с дорогой колес обеих осей...........................................135
3.3.1. Построение модели............................................135
3.3.2. Доказательство корректности модели...........................138
§ 3.4. Численное исследование модели переменной структуры..............145
§ 3.5. Выводы к главе 3................................................157
Заключение...............................................................159
Литература...............................................................161
Ч.
4
Введение
Современная автомобильная промышленность является достаточно развитой, высокотехнологичной отраслью. Законы рынка заставляют
автопроизводителей всесторонне повышать качество выпускаемой ими
продукции, уделяя внимание как дизайну автомобилей, так и их комфорту, надежности и практичности. Особое внимание привлекается к вопросам безопасности движения, в частности, к проблемам предотвращения ситуаций, приводящих к заносу автомобиля.
Разработка надежного и безопасного автомобиля предполагает построение и анализ соответствующих математических моделей на начальном этапе проектирования. Статические математические модели дают возможность исследования эффективности так называемых пассивных средств безопасности, предназначенных для защиты жизни и здоровья водителя и пассажиров автомобиля в случае аварии. К ним относятся инерционные ремни, подушки безопасности, мягкие элементы передней панели, безопасные стекла,
энергопоглощаюшие бамперы, различные элементы, усиливающие жесткость корпуса автомобиля.
Использование динамических моделей позволяет оценить влияние конструктивных параметров автомобиля на его движение, разработать эффективные алгоритмы управления автомобилем и реализовать их в виде так называемых средств активной безопасности. В отличие от пассивных, средства активной безопасности контролируют движение и вмешиваются в процесс управления автомобилем, помогая снизить вероятность возникновения аварийных ситуаций и минимизировать их негативные последствия. К ним относятся антиблокировочная и антипробуксовочпая системы, система курсовой устойчивости, электронная система блокировки дифференциала и проч. Динамические модели используются также при разработке программного обеспечения для различных тестовых стендов и тренажеров, позволяющих сформировать у водителей необходимые навыки управления автомобилем.
5
По статистике большинство автомобильных аварий происходит вследствие потери сцепления колес с дорогой, приводящей к возникновению заноса. В диссертационной работе описывается движение автомобиля в различных ситуациях, возникающих при разгоне, торможении, прохождении поворота. Проводится построение динамической модели переменной структуры, позволяющей исследовать влияние ряда параметров конструкции автомобиля, управляющих воздействий - разгонных и тормозных моментов, а также угла поворота передних колес на возникновение и начальную стадию развития заноса.
Определим используемое в данной работе понятие заноса. Рассмотрим движение автомобиля на конечных интервалах времени Т~Т(), в течение которых развиваются процессы разгона, торможения, поворота. Зададимся программным, невозмущенным, движением, например, движением по средней линии дорожной полосы с требуемой путевой (продольной) скоростью. Будем предполагать, что соответствующие программные значения угла поворота передних колес, разгонных и тормозных моментов не превосходят ограничений, определяемых нормами безопасности движения. Зададимся начальными отклонениями 50 параметров бокового движения автомобиля от их невозмущенных, программных, значений. Если за рассматриваемое конечное время Т0 эти отклонения возрастают до неприемлемых по требованиям
безопасности двизюения значений 80, то будем называть режим движения заносом.
Таким образом, занос определяется как проявление технической неустойчивости на конечном интервале времени [1]. Приведенное определение, с одной стороны, включает в себя традиционную трактовку заноса как потери сцепления с дорогой колес задней оси автомобиля и возникновения "большой" по абсолютной величине угловой скорости корпуса, приводящей к существенному отклонению параметров в случае программного прямолинейного движения. С другой стороны, данное определение позволяет рассматривать в качестве заноса и другие ситуации отклонения от программного движения, например, случай прямолинейного движения вместо программного движения в
6
повороте. Подобный режим движения чаще всего возникает при потере сцепления передних управляемых колес в сложных погодных условиях. ■
Динамика автомобиля описывается сложными нелинейными системами дифференциальных уравнений высокого порядка. В случае, когда ставятся задачи оценивания и управления в реальном масштабе времени или качественного анализа, используемая модель, напротив, должна быть как можно более простой. Такие задачи решаются в ходе планирования траекторий движения автомобиля, проводимого бортовым вычислителем с применением оптимальных задач методов управления. Для формирования упрощенных моделей актуально приближенное моделирование исходной системы с применением разделения движений, позволяющее избежать интегрирования на больших характерных временах с малым шагом в долях малого характерного интервала времени, затрудняющего численное решение задачи.
В настоящей работе рассматривается динамика автомобиля, движущегося с небольшими боковыми наклонами при малых различиях характеристик сцепления правых и левых колес одной оси с дорогой, в предположении иедеформируемости деталей кузова, рулевого управления, крепления колес и проч. В рамках такой постановки постоянные времени движения автомобиля могут быть разбиты на три группы:
- "медленное" время траекторных движений, имеющее порядок 1 с;
- "среднее" время боковых движений точек контакта колес с дорогой, имеющее порядок 0,1 с;
- "быстрое" время продольных движений точек контакта колес с дорогой, имеющее порядок 0,01 с.
При движении с потерей сцепления с дорогой колес обеих осей "быстрым" является характерное время вращения колес, имеющее порядок 0,1 с.
Методы фракционного анализа, объединяющего методы теории размерности и подобия [29] и методы теории сингулярных возмущений [5, 6, 39], позволяют упростить исходную модель автомобиля, составленную в соответствии с законами классической механики. При помощи нормализации на
7
классе "медленных" траекгорных движений исходная, размерная, система приводится к сингулярно возмущенной форме с малыми параметрами, отражающими малость отношения указанных выше малых и больших характерных времен. Методы теории сингулярных возмущений позволяют, далее, разделить "быстрые” и "медленные" движения автомобиля, т.е. построить приближенные модели его движения на каждом из временных интервалов, и оценить погрешность и область применимости указанных моделей. Порядок дифференциальных уравнений приближенных моделей является более низким по сравнению с порядком уравнений исходной системы. Их интегрирование может быть проведено в реальном времени. В ряде случаев приближенные модели допускают аналитическое исследование.
В настоящей работе предложены методика введения в уравнения движения автомобиля иерархической структуры малых параметров и способ исследования корректности предельных переходов по малым параметрам. Построена динамическая модель переменной структуры, образованная набором приближенных математических моделей медленных, траекторных, а также быстрых составляющих движения автомобиля на начальной стадии заноса при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой. Основные результаты диссертации являются новыми.
Результаты работы получены путем упрощения широко используемой в практических задачах "велосипедной” модели движения автомобиля. Для исследования применимости этой модели к рассматриваемым в диссертации задачам начальной стадии заноса проведено ее численное сравнение с четырехколесиой моделью автомобиля, достоверность которой подтверждена испытаниями реального автомобиля. При построении приближенных моделей движения "велосипедной" модели в работе использованы подходы, основанные на строгих математических методах.
Теоретическая ценность работы заключается в развитии подходов фракционного анализа, ориентированных на создание упрощенных математических моделей движения колесных транспортных средств и
8
исследование пределов применимости классических моделей механики. Разработана методика введения в уравнения движения колесных транспортных средств иерархической структуры малых параметров. Сформирован набор приближенных моделей более низкого порядка, позволяющих в реальном времени описывать движения автомобиля в режиме псевдоскольжения и на начальной стадии потери сцепления колес с дорогой. Построенные в диссертационной работе приближенные модели могут быть использованы для верификации более сложных моделей движения автомобиля, а также для формирования алгоритмов, используемых в программном обеспечении тренажерных комплексов водителя и средств активной безопасности автомобиля, работающих в режиме реального времени и способствующих предотвращению заноса или минимизации его отрицательных последствий.
Настоящая работа состоит из введения и трех глав. Во введении анализируются подходы к проблеме математического моделирования динамики автомобиля. Приводятся необходимые понятия и теоремы методов фракционного анализа, используемых в дальнейшем при решении задачи. В первой главе формируется исходная, "велосипедная", математическая модель, описывающая движения автомобиля с малыми боковыми наклонами и малыми различиями характеристик сцепления колес одной оси с дорогой. Используемая модель контактных сил учитывает явление псевдоскольжения при малых скоростях точек пятна контакта колеса относительно дороги. С применением численных методов проводится количественная оценка области применимости исходной модели. Обсуждается постановка задачи приближенного моделирования "быстрых" и "медленных" составляющих движения автомобиля. Вторая глава посвящена приближенному моделированию движения автомобиля без потери сцепления колес с дорогой. В третьей главе построена математическая модель переменной структуры, позволяющая описывать занос автомобиля. Указанная модель образована приближенными моделями движения автомобиля при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой и условиями перехода от одной модели к другой.
9
Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям профессору кафедры прикладной механики и управления д.ф.-м.н. JH.B. Новожилову! и старшему научному сотруднику лаборатории управления и навигации к.ф —м.н. A.B. Влаховой за постановку задачи и помощь в работе, а также профессору кафедры прикладной механики и управления д.ф.-м.н. Ю. Г. Мартыненко за ценные замечания и рекомендации, д.ф.-м.н. М.Х. Магомедову и ученому секретарю кафедры прикладной механики и управления, к.ф.-м.н. П.А. Кручинину за всестороннюю поддержку.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №04-01-00759, 06-01-00517) и аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы 2006-2008 г."
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13-17, 37, 38].
§ 1. Анализ подходов к математическому и численному моделированию движения автомобиля
1.1.0 применении '’велосипедной" модели движения колесных
транспортных средств
В работах, посвященных математическому и численному моделированию движения колесных транспортных средств, в частности автомобилей, часто используется "велосипедная" модель движения. Данная модель применяется при описании движений колесных транспортных средств с малыми боковыми наклонами в случаях, когда можно пренебречь различиями между характеристиками сцепления правых и левых колес одной оси с дорогой. В рамках этой модели передние колеса заменяются одним эквивалентным передним колесом, задние - одним задним. Движением переднего колеса управляет водитель или адаптивная система управления, ось вращения заднего колеса фиксирована в корпусе. Предполагается, что корпус и колеса являются абсолютно жесткими, и аппарат не имеет боковых наклонов. Такая модель использовалась при математическом моделировании траекторных движений и
10
формировании алгоритмов управления транспортными системами
[12,30,32,34,52,59,63,64,68,72,79], в том числе в специализированных
средах моделирования Modelica, Dymola, Adams, Spacar, Simpack, Carsim
[46,49,60,62] и проч. В задачах робототехники "велосипедная" модель
/
используется при решении задач стабилизации многоприводного двухосного четырехколесного автономного робота, движущегося как с малыми проскальзываниями, так и с полным проскальзыванием типа блокировки или пробуксовки колес, а также бокового заноса и юза [3, 40, 41].
Применительно к автомобилю указанные выше режимы движения характерны, прежде всего, для неэкстремальных условий вождения [61]. К ним относятся движения без проскальзывания колес относительно дороги, движения с невысокой путевой скоростью, малым углом поворота управляемых колес и, как следствие, малыми углами увода [32,66,67]. В [58) отмечено, что "велосипедная" модель достаточно хорошо описывает динамику автомобиля в случаях, когда величина бокового ускорения не превосходит 0,3-0,4 g. Помимо этого, велосипедная модель может применяться и для случаев движения автомобиля по скользкой поверхности с достаточно большой путевой и угловой скоростью, когда коэффициент сцепления колес с дорогой мал, следовательно, на колеса автомобиля действуют сравнительно малые по абсолютной величине контактные силы [55,66]. Это позволяет пренебрегать перераспределением нагрузки между колесами одной оси и использовать "велосипедную" модель для описания заноса автомобиля [12, 73].
Разумеется, "велосипедная" модель не позволяет описывать движения автомобиля, при которых различие между характеристиками сцепления колес одной оси с дорогой велико. К таким режимам относятся движение на "миксте" (движение по поверхности с различными коэффициентами сцепления для правых и левых колес одной оси), движение с неравномерным сопротивлением качению, а также неравномерным распределением тяговых и тормозных сил и моментов между колесами одной оси. Подобные режимы движения могут возникать при наличии в автомобиле технических неисправностей, таких, как неравномерное
11
или неодновременное срабатывание тормозных механизмов, могут быть следствием конструктивных особенностей, например, наличия приводов различной длины или работы дифференциалов, а также влиянием внешних факторов. При использовании "велосипедной" модели для описания движения автомобиля необходимо учитывать подобные ограничения и заранее оговаривать класс рассматриваемого движения.
В [54] точность "велосипедной" модели оценивается путем анализа экспериментальных данных. Проводится серия заездов, в ходе которых используются автомобили, оборудованные датчиками продольной скорости, угла поворота управляемого переднего колеса и GPS. В каждом из заездов автомобиль движется с постоянной скоростью и углом поворота управляемого колеса. На основании полученных данных строятся усредненные оценки вектора состояния и других параметров движения автомобиля в зависимости от продольной скорости и угла поворота управляемых колес, которые сравниваются с результатами, полученными при помощи "велосипедной" модели. Показано, что "велосипедная" модель достаточно точно описывает движения автомобиля с постоянной скоростью и переменным углом поворота, а также с постоянным углом поворота и постоянной или незначительно изменяющейся продольной скоростью движения. Наименьшую точность "велосипедная" модель демонстрирует в ситуации сильного изменения продольной скорости, что характерно, например, для начального этапа интенсивного разгона в повороте.
Как отмечено в [62], "велосипедная" модель часто используется 1) как объект исследования при изучении общих свойств сложных неголономных систем; 2) при качественном исследовании влияния конструктивных параметров на движение автомобиля; 3) при построении управлений с обратной связью. Упомянутые выше работы относятся к первым двум группам. Работы, относящиеся к третьей группе, посвящены формированию и отладке алгоритмов, составляющих основу программного обеспечения тренажерных комплексов и контроллеров обратной связи, работающих в реальном времени и
12
предназначенных для повышения уровня безопасности при управлении автомобилем. Остановимся на некоторых из них.
В [30] на основе "велосипедной" модели построена динамическая модель, позволяющая в реальном времени описывать составляющие движения автомобиля, развивающиеся в различных временных масштабах. Модель учитывает "медленные" движения на временах порядка нескольких секунд, характеризующие процессы разгона, торможения, поворота, заноса автомобиля, а также "быстрые" движения на временах порядка секунды и долей секунды, описывающие вертикальные и угловые колебания кузова за счет деформаций рессор и изменения скоростей вращения составляющих конструкции двигателя, трансмиссии и колес. Полученная модель использовалась при разработке программного обеспечения для тренажерного комплекса водителя. Обучающие программы тренажерного комплекса позволяют оценить имеющиеся у водителя навыки, повысить скорость и эффективность обучения начинающих водителей, а также контролировать процесс обучения.
В [51] разработан вспомогательный контроллер обратной связи, который позволяет водителю сохранить безопасную угловую скорость поворота автомобиля за счет управления углом поворота задних колес по информации об угле поворота передних колес. При построении алгоритма работы контроллера используется "велосипедная" модель автомобиля, движущегося с постоянной путевой скоростью. Углом поворота передних колес управляет водитель.
При построении управлений с обратной связью в большинстве работ используется линейная по углам увода и поворота переднего колеса "велосипедная" модель. Рассматривается движение транспортного средства с фиксированным центром масс, движущегося без боковых наклонов по горизонтальной ровной поверхности. Влияние аэродинамических сил и деформации пневматика на движение автомобиля не учитывается. Предполагается, что контактные силы линейно зависят от углов увода и угла поворота переднего управляемого колеса [63].
13
В [55] используется "велосипедная" модель автомобиля, учитывающая малое боковое смещение поверхностей колес в пятне контакта относительно дороги. Осуществляется робастное управление углом поворота переднего колеса на основе информации, полученной от датчика угловой скорости корпуса автомобиля. При построении используется модель боковой контактной силы, линейная по малому углу поворота переднего управляемого колеса.
В [48] для проверки работы алгоритма вспомогательного робастного управления используется тест на выполнение маневра с двойным перестроением, одобренный Международной организацией по стандартам (180) (рис. В.1). По условиям теста автомобиль, разогнанный до достаточно высокой скорости, на ограниченном участке дороги перестраивается с занимаемой полосы движения, а затем возвращается обратно. Имитируемый подобным образом экстренный объезд препятствия выполняется только при помощи управления рулем. Указанный тест используется для оценки безопасности движения автомобиля в экстремальных условиях: тест считается успешно пройденным, если в процессе маневрирования автомобиль не выкатывается за пределы ограниченного участка, т.е. согласно приведенному выше определению не входит в занос.
Рис. В. 1. Прохождение стандартного теста на выполнение маневра с двойным
перестроением [48]
14
В [76] с применением "велосипедной1' модели проводится формирование и тестирование алгоритмов работы системы круиз-контроль, предназначенной для оценки скорости, положения автомобиля и осуществления робастного управления, позволяющего сохранять заданную скорость и направление движения без участия водителя.
В [56] рассматривается управление автомобилем при помощи технологии 81еег-Ьу-\¥*1ге. (В системе 51сег-Ьу-\уне в конструкции рулевого управления отсутствует механическая связь между рулевым и управляемыми колесами автомобиля, поворот колес происходит за счет работы электродвигателей и вспомогательной электроники.) Известно, что в автомобилях, оснащенных подобными системами, боковые компоненты контактных сил создают возмущающий момент, который мешает работе двигателей, управляющих поворотом колес. Для устранения указанного недостатка проводилась корректировка алгоритма 81сег-Ьу-\ущс. При формировании модифицированного алгоритма использовалась "велосипедная" модель движения автомобиля. Испытания реального автомобиля показали, что скорректированный алгоритм позволяет устранить часть погрешностей и повысить точность оценки состояния системы.
1.2. Модели взаимодействия колеса с опорной поверхностью
Задачи о качении колеса по шероховатой поверхности в теоретической механике часто решаются в предположении, что колесо - абсолютно твердое тело, взаимодействующее с поверхностью посредством трения качения. Для пневматических деформируемых колес или для транспортных средств, имеющих более одной колесной пары, неголономная модель нередко имеет сильное отклонение от данных эксперимента, либо приводит к переопределенной системе уравнений. Выход из положения дается моделями, учитывающими деформируемость колеса, т.е. конечномерность пятна контакта колеса и опорной поверхности. Указанные модели позволяют тем или иным образом сформировать соотношения между касательными и нормальными напряжениями в области