- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ .......................................................... 5
ГЛАВА I. Об устойчивости периодических решений Пуанкаре гамильтоновых систем .............................. 14
§ 1.1. Введение ........................................... 14
§ 1.2. Теорема Пуанкаре ................................... 14
§ 1.3. Теоремы об устойчивости периодических реше-
ний Пуанкаре гамильтоновых систем с двумя
степенями свободы ................................... 18
§ 1.4. Теорема об устойчивости периодических реше-
ний Пуанкаре гамильтоновых систем с тремя степенями свободы (вырожденный случай) ... 30
ГЛАВА 2. Исследование устойчивости периодических движений твердого тела с эллипсоидом инерции
близким к сфере на круговой орбите .................... 34
§ 2.1. Введение ........................................... 34
§ 2.2. Функция Гамильтона задачи .......................... 35
§ 2.3. Существование периодических решений Пуанка-
ре и их устойчивость в случае движения динамически симметричного твердого тела .... 33
§ 2.4. Существование периодических решений Пуанка-
ре и их устойчивость в случае движения
трехосного твердого тела ............................ 45
ГЛАВА 3. Периодические движения, рождающиеся из плоских колебаний и вращений твердого тела на
круговой орбите................................................................................... 52
§ 3.1. Введение ........................................... 52
§ 3.2. Функция Гамильтона задачи .......................... 53
- 3 -
Стр.
§ 3.3. Невозмущенное движение. Переменные "действие-угол” ................................................ 56
§ 3.4. Условия существования периодических решений Пуанкаре, рождающихся из колебаний и
вращений тела в плоскости орбиты ................. 59
§ 3.5. Схема исследования устойчивости периодических решений Пуанкаре .................................... 63
§ 3.6. Устойчивость периодических движений, рождающихся из малых колебаний твердого тела . 73
§ 3.7. Устойчивость периодических решений, рождающихся из вращений почти-сферического твердого тела и из быстрых вращений тела 76
ГЛАВА 4. Исследование устойчивости периодических движений почти-симметричного твердого тела, рождающихся из регулярных прецессий симметричного тела на круговой орбите ...................................... 83
§ 4.1. Введение ........................................... 83
§ 4.2. Условия существования периодических решений Пуанкаре ............................................... 85
§ 4.3. Гамильтониан возмущенного движения ................... 95
§ 4.4. Линейная нормализация ................................ 98
§ 4.5. Нелинейная нормализация. Случай резонансов
третьего и четвертого порядка ...................... 104
§ 4.6. Исследование устойчивости решений Пуанкаре при нерезонансных значениях параметров. Заключение ................................................... ИЗ
ГЛАВА 5. О периодических движениях твердого тела относительно центра масс вблизи коллинеарной точки либрации ................................................ 119
- 4 -
Стр.
§ 5.1. Введение. Постановка задачи ...................... 119
§ 5.2. Функция Гамильтона задачи .......................... 122
§ 5.3. Случай £ =0. Стационарные движения .... 123
§ 5.4. Случай £ ^0. Периодические движения тела
при отсутствии внешних резонансов ........... - 129
§ 5.5. Периодические движения в случае внешнего
резонанса ................................... 132
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ...................................................... 135
ЛИТЕРАТУРА ...................................................... 136
ПРИЛОЖЕНИЕ I. Доказательство теоремы 2 .......... 146
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Доказательство теоремы 3.......................................... 149
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Коэффициенты функции Гамильтона возмущенного движения ................................................ 157
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Связь между коэффициентами гамильтонианов (4.3.4) и (4.3.2) 160
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Линейное нормализующее преобразование 164
т- т # (4.)
ПРИЛОЖЕНИЕ 6. Коэффициенты формы ЬЦ ........................... 167
ПРИЛОЖЕНИЕ 7. Коэффициенты формы 170
- 5 -
Проблемы исследования движений спутников (твердых тел) относительно центра масс в гравитационном поле важны в задачах стабилизации спутников относительно центра масс и имеют самостоятельный теоретический интерес как раздел динамики твердого тела.
Настоящая диссертация посвящена исследованию периодических движений твердого тела относительно центра масс в гравитационном поле на круговой орбите. Во всех решаемых задачах предполагается, что линейные размеры тела малы по сравнению с размерами орбиты, поэтому влиянием движения тела относительно центра масс на его орбитальное движение можно пренебречь ^1 ].
К настоящему времени в задаче о движении твердого тела от- 1 носительно центра масс на круговой орбите наиболее полно изучены стационарные и плоские периодические, когда одна из главных центральных осей эллипсоида инерции тела во время движения перпендикулярна плоскости орбиты, движения тела. Анализу движения тела в окрестности известных периодических решений посвящено большое количество исследований, в которых применяются различные методы нелинейной механики: метод Ляпунова [2], метод Пуанкаре [з,4], метод усреднения [б*], методы Чезари - Хейла [б - э], основанные на свойстве симметрии системы уравнений движения, и другие [го]. Подробный обзор по указанным задачам приведен з [п*].
В данной работе основное внимание уделяется периодическим решениям Пуанкаре. Предполагается, что функция Гамильтона задачи о движении твердого тела относительно центра масс на круговой
- 6 -
орбите аналитически зависит от малого параметра и невозмущенная система допускает периодическое решение. Рассмотрены как интегрируемый, так и неинтегрируемый случай невозмущенной системы.
Обычно, при анализе решений Пуанкаре в различных задачах динамики твердого тела ограничиваются исследованием устойчивости решений в линейном приближении. В данной работе проводится нелинейный анализ орбитальной устойчивости получаемых периодических решений Пуанкаре возмущенной системы. Исследование основано на применении идей теории устойчивости гамильтоновых систем, разработанных в основном в последние два десятилетия [12 -14\. Кроме того, мы пользовались способами анализа орбитальной устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем, предложенными в работах [15,16^. В этих работах постановка задачи об устойчивости периодических движений отличается от классической тем, что значение постоянной энергии не фиксируется, а может изменяться в некотором интервале. Такой подход позволяет исследовать полную окрестность периодического движения, причем в окрестности периодического движения каноническими преобразованиями можно ввести такие локальные координаты, что функция Гамильтона возмущенного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия. Этот метод успешно применялся в работах [17, 1в] при исследовании устойчивости плоских движений твердого тела на круговой орбите.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, семи приложений, куда вынесены доказательства двух теорем и громоздкие формулы, заключения и списка использованной литературы.
В первой главе рассматриваются автономные гамильтоновы системы, аналитически зависящие от малого параметра. Предпола-
- 7 -
гается, что невозмущенная система интегрируема, причем если число степеней свободы равно трем, то гамильтониан невозмущенной системы не зависит от одного из обобщенных импульсов (вырожденный случай). Кроме того, предполагается, что выполнены
тений возмущенной системы, рождающихся из периодических решений невозмущенной системы. При этих предположениях получены достаточные условия орбитальной устойчивости периодических решений Пуанкаре гамильтоновых систем. Эти условия устойчивости устанавливают следующий факт: если периодические решения воз-
мущенной системы устойчивы в линейном приближении и выполняется некоторое условие невырожденности, зависящее от осредненной вдоль решений невозмущенной системы возмущающей части функции Гамильтона, то имеет место орбитальная устойчивость периодических решений Пуанкаре. Полученные условия устойчивости очень удобны для практического применения, поскольку не требуют явного знания периодических решений возмущенной системы и используются во второй главе диссертации. Результаты первой главы устраняют неточности, содержащиеся в моих работах ^19-21*].
Зо второй главе диссертации рассматривается задача о периодических движениях твердого тела с эллипсоидом инерции близким к сфере в центральном гравитационном поле на круговой орбите. Исследование устойчивости получаемых периодических решений опирается на теоретические результаты первой главы.
В этой задаче в порождающем движении вектор кинетического момента неподвижен относительно кениговой системы координат, связанной с центром масс тела, а само тело вращается вокруг этого вектора с постоянной угловой скоростью СО . Периодические решения Пуанкаре возможны только в двух случаях: СО : СО0 =I или 2,
условия теоремы Пуанкаре
существовании периодических ре-
- 8 -
где “* Узловая скорость движения центра масс тела по орбите.
В случае динамически симметричного твердого тела как при СО = , так и при (О = 2,С00 построены однопараметрические
семейства периодических решений возмущенной системы. Параметром является постоянная во все время движения величина проекции вектора кинетического момента тела на его ось симметрии. В порождающих решениях угол между вектором кинетического момента тела и нормалью к плоскости орбиты определяется величиной этого параметра.
Пусть А. “ экваториальный, С - полярный моменты инерции тела. В невозмущенной задаче через ^ обозначим
косинусы углов между нормалью к плоскости орбиты, осью симметрии тела и вектором кинетического момента соответственно. Тогда, в случае соизмеримости 00 = 0Оо в периодических решениях возмущенной системы угол \ 0 между проекцией вектора кинетическо-кого момента на плоскость орбиты и радиусом-вектором центра масс тела относительно центра притяжения при прохождении телом фиксированной точки орбиты равен 01 /2, ( ^ - целое число). В
этом случае, в соответствии с результатами первой главы, имеет место орбитальная устойчивость периодических решений Пуанкаре, если выполняется неравенство (^С')со^\0<0 . При со = 2(О0 в периодических решениях Пуанкаре угол Эти ре-
шения устойчивы (в орбитальном смысле), если выполняется неравенство £ (А -С>1п.2\о>0. Из проведенного во второй главе диссертации исследования для динамически симметричного твердого тела следует, что в обоих случаях соизмеримости из периодических решений, начальные значения которых выбраны в соответствии с условиями теоремы Пуанкаре, невозмущенной задачи рождаются при возмущении пары периодических решений Пуанкаре, причем одно из
- 9 -
решений каждой пары орбитально устойчиво, а другое неустойчиво.
В случае 60 = 60^ для трехосного твердого тела построены периодические решения, рождающиеся из вращений вокруг главных центральных осей инерции тела и исследована их орбитальная устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий.
В этих решениях величина ^ определяется инерционными параметрами тела. Введем в рассмотрение множества
У3=(л: Л1Д* С$±-Ш)Ц£
Оказывается, что решения Пуанкаре трехосного тела устойчивы в трех случаях: если ,то устойчивым решениям соответствуют
вращения тела вокруг большей оси инерции; , то устойчивым
решениям соответствуют вращения тела вокруг средней оси инерции; если же ^ , то устойчивым решениям соответствуют вращения тела вокруг меньшей оси инерции.
В [23-2б"] аналогичные задачи рассматривались в линейном приближении. Результаты второй главы опубликованы в статьях [20-22*].
В главах 3,4 рассматриваются задачи, в которых невозмущенная система дифференциальных уравнений движения неинтегрируема, но допускает периодические решения, из которых при возмущении рождаются решения Пуанкаре. Анализ устойчивости периодических решений возмущенной системы в этом случае значительно сложнее.
В третьей главе исследуются периодические движения, рождающиеся из плоских колебаний и вращений динамически симметричного твердого тела на круговой орбите. В этой задаче величина проекции вектора кинетического момента тела на его ось симметрии является интегралом движения и принимается за малый параметр 8- . Если малый параметр равен нулю, то в рассматриваемой
- 10 -
задаче существуют периодические движения, соответствующие колебаниям и вращениям оси симметрии тела в плоскости орбиты, устойчивость которых подробно исследована в [17"]. В этой главе методом малого параметра Пуанкаре построены периодические решения, рождающиеся из плоских колебаний и вращений твердого тела на круговой орбите. Эти движения возмущенной системы с точнос-
л
тью до величин порядка с представляют собой колебание плоскости с амплитудой порядка 8 , в которой происходят колебания
или вращения оси симметрии тела в соответствии с решением ке-возмущенной системы. Из устойчивости (в орбитальном смысле) в линейном приближении порождающего движения следует устойчивость в линейном приближении периодических решений Пуанкаре. Нелинейный анализ устойчивости показал, что если з задаче отсутствуют резонансы третьего порядка, то из устойчивости порождающего движения следует устойчивость решений Пуанкаре. Устойчивость при резонансах третьего порядка определяется решениями возмущенной системы и исследована в случаях, когда порождающее движение представляет собой малые колебания и вращения тела с эллипсоидом инерции близким к сфере. В этих случаях резонансы третьего порядка приводят к неустойчивости периодических решений Пуанкаре.
Отметим работы [27,2в]. В [27"] доказано существование периодических решений Пуанкаре, близких колебаниям и вращениям твердого тела в виде стержня на круговой и слабоэллиптическЕй орбитах. В этой работе за малый параметр принимается величина, характеризующая отклонение твердого тела от тела в виде стержня. В недавней работе [28^] методом Пуанкаре доказано существование периодических движений осесимметричного тела, близких к периодическим колебаниям в плоскости эллиптической орбиты (за малый параметр принимается величина проекции абсолютной угловой скорости центра масс тела на его ось симметрии, отнесенная к средней
- II -
угловой скорости орбитального движения).
В четвертой главе рассматривается задача о периодических движениях почти-симметричного твердого тела, рождающихся из регулярных прецессий симметричного тела на круговой орбите. Исследование опирается на известные результаты [1,29 - 38^ по устойчивости регулярных прецессий и проведено для случаев "ги-перболоидальной" и "конической11 прецессий в предположении, что параметры задачи принадлежат областям устойчивости этих прецессий. В случае "цилиндрической” прецессии решения Пуанкаре почти-симметричного твердого тела представляют собой плоские движения и изучались в И. Движение почти-симметричного тела в окрестности "конической" прецессии также рассматривалось в [40] для параметров задачи, принадлежащих области необходимых и достаточных условий устойчивости этой прецессии [з1^. В этой работе периодические движения тела построены в виде формальных рядов по степеням малого параметра и исследованы численно в линейном приближении.
В настоящей главе доказано, что если в невозмущенной системе величина отношения частот ^ >^^0) ма-
лых колебаний оси симметрии тела в окрестности "гиперболои-дальной" и "конической" прецессий к частоте вращения тела вокруг оси симметрии не является целым числом, то при возмущении из этих прецессий рождаются периодические решения периода £ЗС||эе1 относительно истинной аномалии. Эти решения возмущенной системы будут устойчизыми в линейном приближении, если не выполняется соотношение комбинационного параметрического резонанса - целое число). Нелиней-
ный анализ устойчивости (в орбитальном смысле) периодических решений Пуанкаре показал, что при условии отсутствия резонансов до четвертого порядка включительно имеет место устойчивость для
- 12 -
большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий как в случае "гиперболоидальной" прецессии, так и в случае "конической". Был также проведен анализ формальной устойчивости периодических решений Пуанкаре в соответствии с методом работы ^41*]. Найдены области формальной устойчивости решений Пуанкаре. Исследование устойчивости з резонансном случае проводилось при учете в гамильтониане возмущенного движения членов до первого порядка малости относительно малого параметра и показало, что резонансы третьего порядка приводят к неустойчивости решений Пуанкаре, а при наличии резонансов четвертого порядка имеет место устойчивость для большинства начальных данных при условии отсутствия резонансов низких порядков (второго и третьего).
3 пятой главе рассматривается задача о движении динамически симметричного тела относительно центра масс вблизи коллине-арной точки либрации ограниченной круговой задачи трех тел (материальных точек). Предполагается, что периодическая орбита центра масс тела представляет собой отрезок прямой, перпендикулярный плоскости вращения притягивающих центров и проходящий через . Амплитуда и частота периодического движения центра масс тела определяются величинами малого параметра £. и 06^ соответственно. Исследование различных вопросов, связанных с движением твердых тел вблизи 1-1^» & также библиографию работ, в которых обсуждаются различные проекты практического использования точек либрации для исследования солнечной системы можно найти в [^14,42-45].
В данной главе, в случае, когда центр масс тела во все время движения находится в точке ( £. =0), обнаружены три типа стационарных движений, аналогичные стационарным движениям тела в центральном гравитационном поле на круговой орбите [х]. Исследована устойчивость одного из них, когда ось симметрии твердого
- 13 -
тела во все время движения перпендикулярна плоскости орбиты основных притягивающих масс , УА,^ ("цилиндрическая" прецессия) . При движении центра масс тела по периодической орбите ( £ 5^0), при условии отсутствия внешних резонансов, найдены периодические движения, рождающиеся из "цилиндрической1* прецессии и исследована их устойчивость в линейном приближении (задача о параметрическом резонансе). В случае внешнего резонанса в
Автор признателен своему учителю А.П.Маркееву за постановку задач диссертации и постоянное внимание к настоящей работе.
соответствии с методом, предложенным
получены резонан-
сные периодические решения.
Результаты пятой главы опубликованы в статьях [47,48^
- 14 -
ГЛАВА I
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ПУАНКАРЕ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
§ 1.1. Введение
В этой главе рассматриваются автономные гамильтоновы системы, аналитически зависящие от малого параметра. Предполагается, что невозмущенная система интегрируема, причем если число степеней свободы равно трем, то гамильтониан невозмущенней системы не зависит от одного из обобщенных импульсов (вырожденный случай). Кроме того, предполагается, что выполнены условия теоремы Пуанкаре [з} о существовании периодических решений возмущенной системы, рождающихся из периодических решений невозмущенной задачи. При этих предположениях получены достаточные условия орбитальной устойчивости периодических решений Пуанкаре гамильтоновых систем. Эти условия устойчивости устанавливают следующий факт: если периодические решений Пуанкаре устойчивы
в линейном приближении и выполняется некоторое условие невырожденности, зависящее от осредненной вдоль решений невозмущенной системы возмущающей части функции Гамильтона, то имеет место орбитальная устойчивость периодических решений возмущенной системы.
§.Г.2. Теорема Пуанкаре
Рассмотрим автономную систему с двумя степенями свободы, функция Гамильтона которой имеет вид
Н = Н0(Г) +]лНД1,^+..., ^е-ТгД£0 (1.2.1)
- 15 -
Здесь Ц> =(Ц)гфг ) - обобщенные координаты, | = (1^ ~
соответствующие им обобщенные импульсы;
двумерный тор, Ц - ограниченная связная область плоскости
- малый параметр. Предполагается, что Н - аналитическая функция по всем своим аргументам в прямом произведении , О.
Уравнения движения с гамильтонианом (1.2.1) при Ц =0 (невозмущенная система) интегрируются
1=1°, Ц> = Ю(Г)1+Ц>0 (Г.2.2)
о=(и1,иг'), <л^ = (.}=!,£).
Пусть для 1=г частоты (0^ и невозмущенной сис-
темы соизмеримы 0^ 100^= {/(УЯЛ УЛДЫ Д^-^Е!). Тогда порождающее решение (1.2.2) будет периодическим с некоторым периодом ^ . Начальный момент времени выберем так, чтобы ^=0 при любом и при ^=0. Предположим, что выполняются следующие условия теоремы Пуанкаре о существовании периодических решений возмущенной системы с функцией Гамильтона (1.2.1) ^3^:
^х
I) гессиан
г
0 для 1=|, (1.2.3)
• . ......
где <Н^ = _“7 П.2.5)
V
о
Тогда при достаточно малых ^0 существуют ^ ~ периодические решения возмущенной системы, которые аналитически зависят
- Київ+380960830922