Содержание
Введение ........................................................... 4
Глава 1. Уравнения движения однородного шара на горизонтальной плоскости с трением и их свойства...................... 14
1.1. Постановка задачи..................................... 14
1.2. Свойства двухпарамстрической модели трения............ 17
1.3. Уравнения движения шара............................... 28
1.4. Заключение............................................ 31
Глава 2. Качественно-аналитическое исследование динамики однородного шара на горизонтальной плоскости с трением 32
2.1. Качественное исследование динамики однородного шара в рамках модели Коитснсу-Журавлева.......................... 32
2.2. Качественно-аналитическое исследование динамики шара в
рамках двухпарамстри ческой модели трения.............. 34
2.3. Заключение............................................ 41
Глава 3. Аналитическое исследование динамики однородного шара на горизонтальной плоскости с трением .................... 42
3.1. Постановка задачи..................................... 42
3.2. Взаимосвязь скольжения и качения шара................. 43
3.3. Аналитическое исследование поведения скорости скольжения
и угловой скорости качения шара........................ 48
3.4. Связь закрутки, скольжения и качения шара............. 53
3.5. Заключение............................................ 57
2
Глава 4. Численное исследование динамики однородного шара на горизонтальной плоскости с трением..................... 59
4.1. Постановка задачи........................................ 59
4.2. Поведение скорости скольжения и угловой скорости шара . . 60
4.3. Движения центра масс шара................................ 87
Заключение....................................................... 93
Литература....................................................... 94
3
Введение
Задача о движении твердого тела но неподвижной опорной поверхности является одной из классических задач динамики твердого тела, привлекавшей внимание многих ученых. За последние триста лет в задаче о движении тела по поверхности получено много важных результатов, и интерес к этой задаче в последнее время только усиливается. Эта задача, восходящая к Леонарду Эйлеру, впоследствии CTJuia стимулом для развития аналитических, экспериментальных и численных методов механики. Несмотря на простоту постановки этой задачи построить общие интегралы уравнений движения или получить качественные выводы о динамике тела удалось лишь в частных случаях. Как оказалось, для постановки данной задачи очень важным и непростым моментом является выбор математической модели, описывающей взаимодействие между телом и опорной поверхностью в области контакта. Здесь можно выделить три основные модели: модель абсолютно гладкой поверхности, модель абсолютно шероховатой поверхности и модель поверхности с трением. В последнем случае чаще всего предполагается, что на тело действует только сила трения, описываемая моделью Кулона. Однако, эта модель пригодна, вообще говоря, только при поступательном движении тела, тогда как при вращательно-поступательном движении тело нередко возникает несоответствие между теоретическими (в рамках модели Кулона) и экспериментальными результатами. Впервые на необходимость уточнения закона Кулона обратил внимание Контенсу, предложив модель трения, учитывающую как силу трения, так и момент трения. Впоследствии эта модель была развита в работах В.Ф. Журавлева,А.П. Иванова, A.B. Карапетяна,
А.А.Киреенкова и др.
Настоящая диссертация посвящена качественному, аналитическому и
численному анализу динамики однородного шара, движущегося по неподвижной шероховатой горизонтальной плоскости, с учетом всех видов трения в рамках модели, предложенной A.B. Карапетяном.
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.
Задача о движении однородного шара по неподвижной поверхности является одной из классических задач теоретической механики. Исследованием этой задачи занимались такие известные механики, как Л. Эйлер |46], Ж. Даламбср [4], Г. Кориолис [30], В.Д. Мак-Миллан [34], А. Резаль [55-57], Э. Раус [39], П. Пэнлеве [38], П. Аппель [1] и многие другие ученые. В предлагаемом обзоре невозможно осветить все работы, посвященные этой задаче (подробное изложение истории ее исследования и обширную библиографию можно найти в книгах [35, 36]). Здесь будут упомянуты лишь те работы, в которых уделено внимание вопросам, близким к рассмотренным в представленной диссертации.
Наиболее принципиальным моментом в постановке данной задачи является выбор модели взаимодействия тела с опорной поверхностью. Здесь можно выделить три основные модели: модель абсолютно гладкой поверхности, модель абсолютно шероховатой поверхности и модель поверхности с трением. Обсуждение различных моделей трения, их преимуществ и недостатков можно найти в [3, 9, 29, 38]. В настоящей работе исследуется динамика однородного шара на неподвижной горизонтальной плоскости с сухим трением.
Простейшей и наиболее известной из моделей сухого трения является классическая модель Кулона, которая достаточно адекватно описывает взаимодействие тела с опорной поверхностью при поступательном движении тела.
5
Впервые задача о движении шара по неподвижной плоскости с учетом сухого трения скольжения в рамках модели Кулона, по-видимому, была изучена в 1758 году И. А. Эйлером (сын Леонарда Эйлера). В своей работе [45] И. А. Эйлер показал, что за конечное время скольжение шара прекращается, после чего шар равномерно катится вдоль неподвижно]'! прямой, равномерно вращаясь вокруг вертикали. Этот результат давно стал классическим и описан во многих учебниках по теоретической механике.
Дальнейшее развитие задача о движении однородного шара по неподвижной плоскости получила в трудах Г. Кориолиса [30], А. Резал я [55-57],
Э. Рауса [39], П. Пэн леве [38], П. Аппеля [1, 44] и др.
В этих работах также предполагалось, что взаимодейтсвис шара с опорной поверхностью описывается модель Кулона, что приводило к тому, что вертикальная составляющая угловой скорости шара при движении шара оказывалась постоянной величиной, и вращение шара вокруг вертикальной оси не влияло на траекторию движения центра масс шара.
Таким образом, использование модели Кулона для описания поступательно-вращательного движения тела приводит к несоответствию между теоретическими и экспериментальными результатами.
Исходя из естественного предположения о том, что для реальных тел точечных контактов не бывает, Контенсу [29], по-видимому, впервые обратил внимание на необходимость уточнения закона Кулона. На основе теории контактных напряжений Герца [32] и локального закона Кулона (для элементарной площадки внутри области контакта) Контенсу доказал зависимость результирующей силы сухого трения от отношения скорости скольжения к скорости вращения в предположении, что обе соприкасающиеся поверхности сферические. Зависимости, полученные Контенсу, были выражены в
б
иеэлемеитарных функциях. В работе [29] приведены результаты численного анализа полученных зависимостей для результирующей силы сухого трения. Как показывают численные расчеты при движении тела по плоскости в режиме скольжения и достаточно быстрого верчения сила трения приблизительно пропорциональна скорости скольжения, т.е. имеет место вязкое трение. В режиме чистого скольжения и при малых угловых скоростях верчения следует рассматривать сухое трение.
Ю.И. Неймарк и H.A. Фуфаев в [36] рассмотрели движение но инерции однородного тяжелого шара на горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения и верчения. При решении поставленной задачи считалось, что контакт шара с опорной плоскостью происходит по круговой площадке контакта, давление на площадку контакта распределено равномерно. Для получения условий насилу трения и момент сил трения, были выполнены вычисления, аналогичные приведенным в книге [33]. Полученные выражения для результирующей сил трения и момента сил трения аналогичны полученным в [29]. Проведенный качественный анализ показал, что при любых начальных условиях, при которых скорость проскальзывания и угловая скорость верчения шара отличны от нуля, шар движется так, что верчение и скольжение, уменьшаясь со временем, всегда прекращаются одновременно. После достижения этого момента времени шар будет катиться без проскальзывания.
Принципиально новое развитие теории Контенсу было дано в 1998 году в работе В.Ф. Журавлева [5]. В этой работе были получены точные аналитические выражения для главного вектора силы трения и момента сил трения в зависимости от отношения скорости скольжения к скорости вращения. Эти выражения оказались достаточно громоздкими, поэтому для решения кон-
7
\
г
кретных задач о качении твердых тел но шероховатым поверхностям в [5, 48] были построены дробно-линейные аппроксимации Паде первого порядка точных выражений для главного вектора и главного момента касательных сил трения. Дальнейшее развитие теория Контенсу- Журавлева получила в рабо-тах В.Ф. Журавлева [6, 9] и A.A. Киреенкова [25 -28]. В частности, в работах |6, 26] была разработана методика прямого построения аппроксимаций Паде, не требующая непосредственного вычисления соответствующих интегралов.
В.Ф. Журавлев также рассмотрел задачу о движении однородного шара по горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения и {зернения и показал, что за одно и го же конечное время прекращаются и скольжение и верчение шара, после чего шар равномерно катится вдоль неподвижной прямой. Отметим, что данный вывод был получен В.Ф. Журавлевым как с помощью аппроксимации Паде для сил и момента сухого трения [5, 48], так и с использованием их точных выражений [9].
В 2008 году A.B. Карапетяном [21, 23] была предложена новая модель трения, обобщающая модель трения Контенсу- Журавлева. При выводе этой модели трения предполагается, что пятно контакта между телом и опорной поверхностью представляет собой не плоский круг (как в модели Контенсу-Журавлсва), а сферический сегмент. На каждую элементарную площадку этого сегмента, с вершиной в произвольной точке Р области контакта, действует сила сухого трения Кулона, направленная в сторону, противоположную скорости точки Р и пропорциональная давлению, оказываемому этой площадкой на опорную плоскость. После интегрирования всех элементарных сил и их моментов по пятну контакта, получаем выражение для суммарной силы трения и суммарного момента сил трения. Эта модель трения описывает все виды трения - качения, скольжения и верчения. Предложенная в
8
- Київ+380960830922