Исследование динамики твердых тел, соударяющихся с двусторонним ограничителем

Содержание
Введение........................................................... 4
Глава 1. Метод негладких замен переменных в системах с зазором
§ 1. Описание механической системы..............................11
§ 2. Метод негладких замен переменных в системах
с одной односторонней связью............................... 14
§ 3. Случай постоянного зазора................................. 23
§ 4. Случай переменного зазора................................. 27
§ 5. Выводы.................................................... 30
Глава 2. Периодические движения пластины, соударяющейся со стенками
§ 1. Уравнения движения...............\.........................31
§ 2. Условия существования периодических
двузвенных траекторий...................................... 34
§ 3. Устойчивость периодических двузвенных траекторий.......... 47
§ 4. Выводы.................................................... 54
Глава 3. Периодические движения тела вращения, соударяющегося со стенками
§ 1. Виды периодических движений................................56
§ 2. Условия устойчивости...................................... 58
§ 3. Выводы.................................................... 61
Глава 4. Исследование динамики двухмассовой системы с упругой связью
§ 1. Описание системы..................................
§ 2. Периодические движения в случае неподвижных стенок
2.1. Существование периодических движений...........
2.2. Устойчивость периодических движений............
2.3. Бифуркации периодических движений..............
§ 3. Исследование динамики при малых р.................
§ 4. Случай подвижных стенок...........................
§ 5. Выводы............................................
Заключение................................................
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию движения в некоторых системах твердых тел. движущихся в отсутствие внешних сил и сталкивающихся с параллельными массивными стенками по законам абсолютно упругого удара,
Актуальность данной проблемы обусловлена следующими обстоятельствами. Во-первых, системы с упругими соударениями распространены в природе: к их числу относится идеальный газ, находящийся в замкнутом объеме. Поскольку число молекул, из которых состоит газ, чрезвычайно велико, (число Авогадро, равное количеству молекул в одном моле, равно 6.023 • 1023), определение движения каждой из молекул в такой системе невозможно. Поэтому в кинетической теории изучают некоторые средние значения физических величин, характеризующих движение частиц: средняя энергия, средняя длина свободного пробега и т.п. Для этого принимают некоторые дополнительные гипотезы о виде функции распределения (распределения Максвелла, Больцмана, Гиббса), что позволяет провести усреднение по статистическому ансамблю [8]. Наряду с этим может оказаться полезной и исследование простых механических моделей, состоящих из одыого-двух тел, соударяющихся друг с другом и со стенками, неподвижными или движущимися по заданному закону. В таких моделях можно учесть различные факторы: отличие формы молекул от сферической, относительное движение частиц, составляющих стенки сосуда, собственное движение стенок и т.д. Получаемая в итоге система дифференциальных уравнений имеет сравнительно невысокую размерность, что позволяет надеяться на успешное применение тех или иных аналитических или качественных методов, из-
вестных в теоретической механике. В качестве примера аналогичного подхода к сложной физической проблеме можно привести модель У лама ускорения Ферми космических лучей [29].
Во вторых, исследование систем с упругими соударениями представляет собой самостоятельный естественнонаучный интерес, так как они могут рассматриваться как обобщение биллирда Биркгофа [6, 27, 41], или математического биллиарда, связанное с переходом от материальных точек к твердым телам. Подобный переход в задачах с упругими ударами может привести к получению новых интересных результатов, как было показано в работах А.П.Маркеева [33-35], А.П.Иванова [16], А.А.Маркеева [32] и других.
Научная новизна работы состоит в развитии методов исследования консервативных механических систем с двумя идеальными неудерживающими связями, выражаемыми двойным неравенством. При этом применяется подход, основанный на негладких заменах переменных, идея которого принадлежит В.Ф.Журавлеву [9-13]. Используя редукцию к полу геодезическим координатам, предложенную в [14] для случая единственной неударживающей связи, удалось получить уравнения движения таких систем в канонической гамильтоновой форме. Достоинства такого представления обусловлены возможностью применения к исследованию современных методов гамильтоновой механики, что и показано на примере исследования двух модельных виброударных систем.
Кроме того, получен ряд новых результатов о существовании, устойчивости и бифуркациях периодических движений для биллиарда на цилиндре, тела вращения, движущегося по инерции в зазоре между параллельными стенками, и двухмассовой системы с упругой связью.
Достоверность результатов и выводов диссертации подтверждается использованием современных качественных и аналитических
методов. Расчеты подкрепляются подробными выкладками и строгими математическими доказательствами.
Практическая ценность работы состоит в возможности использования ее результатов для решения ряда задач механики, в первую очередь: 1) исследование динамики твердых тел. соударяющихся со стенками и движущихся в некотором потенциальном силовом поле;
2) исследование эргодических свойств систем с ударами. Системы, расмотренные в диссертации могут рассматриваться как простейшие модели идеального газа, позволяющие учесть несимметричность его молекул и собственное движение молекул стенок сосуда.
Диссертация состоит из четырех глав. Первая глав а посвящена разработке метода исследования систем с соударениями, обусловленными наличием переменного зазора. Здесь за основу берется метод негладких замен переменных [9], а также редукция к полугеодезиче-ским координатам, предложенная в [14]. В первом параграфе дается общее описание рассматриваемой системы. Она имеет конечное число степеней свободы и две идеальные неудерживающис связи, которые одновременно не могут быть включены. Такие связи при подходящем выборе координат можно записать одним двойным неравенством вида
О </(^)<а, (0.1)
где а - некоторая постоянная. Удар о связь описывается при помощи ньютоновского коэффициента восстановления е, который в последующем будет считаться равным единице (абсолютно упругий удар).
Во втором параграфе излагается суть метода негладких замен переменных в применении к системам с одной односторонней связью <71 >0. Здесь описаны результаты В.Ф.Журавлева, позволяющие записать уравнения движения вспомогательной системы, свободной от неудерживающей связи, в форме Рауса, а также А.П.Иванова и
6