Устойчивость линейных периодических систем с постоянным запаздыванием

Оглавление
Введение
Глава I. Оператор монодромии
§ 1. Эволюционный оператор
§2. Краевые задачи для периодических систем с постоянным запаздыванием, соизмеримым с периодом .. ...
§3. Сильная устойчивость канонических уравнений Глава II. Бифуркационные методы исследования устойчивости периодических систем с запаздыванием
§ 1. Устойчивость периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием
32к*(0 = Н,(г)х(0 + Н2(?)х(>-й>)
§2. Признаки асимптотической устойчивости
§3. Неустойчивость периодической системы х(/) + Н(0х(г-со) = О Глава III. Устойчивость периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием
§ 1. Устойчивость периодического решения нелинейного дифференциального уравнения
§2. Об устойчивости периодического решения уравнения :с(г) “ —о: я!п х{:' 1)
1итература
Введение
Введение
В самых разнообразных областях современной науки и техники встречаются динамические системы, описываемые системами дифференциальных уравнений с последействием. Такие системы используются в математических моделях механики сплошных сред со сложной реологией [3, 60] при описании необратимых термодинамических процессов [21, 60], при учете конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий [16, 28], в математических моделях биологии [5, 11, 59], в системах автоматического управления [32], и, наконец, системами дифференциальных уравнений с последействием описываются некоторые технологические процессы [43, 74].
Актуальность темы. На качественное поведение динамической системы влияет наличие последействия в математической модели [I, 2, 8, 29, 30, 32, 35, 50, 63]. Поэтому проблема изучения периодических колебаний в системах дифференциальных уравнений с последействием всегда привлекала к себе большое внимание [4, 9, 26, 31, 32, 34, 45, 56-58, 63, 66]. Важным свойством периодических движений является свойство устойчивости. В настоящее время достаточно хорошо развита теория устойчивости линейных стационарных дифференциальных уравнений с последействием [8, 32, 42, 49, 51, 52, 55, 63, 65, 80, 84]. Для линейных нестационарных периодических систем с
последействием рассматриваемая нами теория получила развитие только для отдельных классов уравнений [6, 7, 13, 14, 15, 18, 22, 23, 33, 37, 38, 39, 41, 44, 47, 68, 83]. На сложность этой проблемы указывают трудности, которые имеют место в теории устсйчпьис 1 п линейных периодических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями [40, 76]. В нашем случае эта проблема усложняется бесконечномерностью объекта исследования [35, 63].
3
Введение
В теории устойчивости линейных периодических дифференциальных уравнений с последействием развиваются несколько направлений. Фундаментальные результаты в теории устойчивости линейных периодических систем дифференциальных уравнений получены в работах А.М. Зверкина [22],
А. Халаная [61, 62], Дж. Хейла [63], С.Н. Шиманова [69, 70], А. Стокса [88] и В. Хана [82]. Применяемый в работе подход к исследованию устойчивости является развитием первого метода Ляпунова. Центральным понятием в нем является оператор монодромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивость линейных периодических систем дифференциальных уравнений с последействием. Так, для асимптотической устойчивости указанных динамических систем необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа оператора монодромии лежали на комплексной плоскости внутри единичного круга с центром в начале координат. Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию первого метода Ляпунова для периодических дифференциальных уравнений с последействием.
Цель работы. Развитие бифуркационного метода исследования устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием. Нахождение эффективных признаков асимптотической устойчивости (устойчивости и неустойчивости) для периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.
Методика исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория устойчивости движения, функционального анализа, теории функциональнодифференциальных уравнений и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании на устойчивость линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием основным является понятие оператора монодромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивость таких систем. Задача нахождения собственных чисел оператора монодромии сводится к задаче нахождения собственных чисел краевой задачи
4
Введение
для обыкновенных дифференциальных уравнений. Используются методы теории возмущений самосопряженных и несамосопряженных краевых задач.
Научная новизна и практическая ценность работы. Результаты, представленные в диссертации, яаляются новыми и позволяют находить эффективные условия асимптотической устойчивости (устойчивости и неустойчивости) исследуемых классов периодических систем с запаздыванием. На защиту выносятся следующие результаты:
1. Установлена связь между асимптотической устойчивостью систем дифференциальных уравнений с вещественными со -периодическими коэффициентами и запаздыванием 12*х(0 = Н,(0х(0 + Н2(/)х(г -со) и сильной устойчивостью канонических уравнений с гамильтонианами Н, ±Н2.
2. Получены эффективные признаки асимптотической устойчивости выделенного класса периодических систем дифференциальных уравнений уравнений с запаздыванием.
3. Установлена неустойчивость системы дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием х(/) + Н(/)х(/ -со) = 0.
4. Найдены условия устойчивости периодического решения скалярного дифференциального уравнения с постоянным запаздыванием *(г)=-«/(х(/-[)).
Содержание работы. Перейдем к изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, которые содержат восемь параграфов. В списке литературы приведено 98 наименований.
Первая глава носит вспомогательный характер. В ней рассматривается линейная система периодических дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием
= А(г)х(г) + В(г)х(/ - г), (0.1)
с//
Введение
где А, В - вещественные п х «-матрицы, периодические с периодом со > 0; элементы матриц А и В суммируемы на отрезке [0,<у], запаздывание г -положительная величина.
В параграфе 1 первой главы вводятся определения и формулируются теоремы, используемые при доказательстве основных результатов диссертации. Вводится эволюционный оператор
г(Мо)(у>,0)=*,(го>«\), (0 е«, (0.2)
действующий в пространстве с{-г,0],Яя). Здесь (р^(в) = (р(с0 +<9), 0 е[-г,о], элемент начальной функции и х, = = х,(<9,Г0,^,о) = х(/ +0,Го,р,а),
0 е[-г,0], с > (0 - элементы решения системы (0.1), соответствующие элементу начальной функции ср,$). Оператор
V = иЬ0)=Т(10+а>,ь), г0 е'Л, (0.3)
называется оператором монодромии и является линейным непрерывным оператором. Более того, при тсо >г , где т - натуральное число, оператор
о) является вполне непрерывным [63, с. 228]. Спектр оператора монодромии состоит из его собственных чисел и нулевой точки. При этом собственные числа оператора монодромии не зависят от выбора начальной точки [63, с. 231]. Далее вводится определения устойчивости (асимптотической устойчивости) дифференциального уравнения (0.1) с запаздывающим аргументом. Приведен результат, являющийся ключевым для дальнейшего исследования.
Теорема 1.1.1. Для асимптотической устойчивости системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом необходимо и достаточно, что^ы вес собственные числа оператора монодромии имели модули меньше единицы. Для устойчивости системы периодических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа оператора монодромии имели
6
Введение
модули, не превосходящие единицы, и для любого собственного числа с модулем, равным единице, собственное подпространство совпадало с корневым подпространством.
В параграфе 2 первой главы рассматривается уравнение (0.1), в котором запаздывание кратно периоду со = Мт (Лг - натуральное число). Задача нахождения ненулевых собственных чисел оператора монодромии сведена к проблеме нахождения собственных чисел краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений [20, с. 49]
У) = А,(5)у|±2В1(5)у^,
У, = аД^У, (0.4)
у, (- т) = ±гу д, (0), у Д- г) = туч_у (0), 2<Ч<Ы.
Здесь А1.(?)=А(гг+5), В,.(«9) = В(/г +&), при 1 < г < N.. Обозначим через Ф(»9,д), уг) = 1иД, (1^ - единичная матрица размерности пИ х п!У)
нормированную фундаментальную матрицу системы (0.4). Ненулевые собственные значения р оператора монодромии определяются с помощью
формулы р = ±д"Л, в которой г является корнем характеристического уравнения
бе^1лЛ- -2$Ф(0,2)] = 0. (0.5)
Здесь Б = Цб^Ц, где 8,+и = 1„, \<ti<N-\i 81ЛГ =±1я (1Л - единичная матрица
размерности пх п), остальные (I < /, у < N) равны нулю.
#
Теорема 1.2.2. Для асимптотической устойчивости системы (0.1) с запаздыванием, соизмеримым с периодом (со = Мг), необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения (0.5) были по модулю меньше единицы. Если существует корень уравнения (0.5) с модулем, большим единицы, то система (0.1) неустойчива.
Выделяется класс периодических систем с запаздыванием, для которых краевая задача (0.4) может быть преобразована к виду
7
Введение
где .1,*
(0.6)
1). 5^ = і,,.
2). Н! и Н2 - симметрические матрицы-функции.
3). Матрицы Н2(/) неотрицательны почти при всех г т.е. (Н2(0с,с)>0 для любого вектора с.
4). Система уравнений .12Лу - Н,(*9)у = 0, Н2(^)у = 0 имеет лишь
тривиальное решение у г 0.
Излагается идея бифуркационного метода исследования устойчивости. В этом методе используется вспомогательная краевая задача
При р = 1 вспомогательная краевая задача (0.7) совпадает с основной краевой задачей (0.6). Изменяя параметр // на отрезке [ОД], можно проследить поведение собственных чисел краевой задачи (0.7) на комплексной плоскости. Собственные числа вспомогательной краевой задачи определяются из уравнения
Здесь \2к - единичная матрица размерности 2кх2ку Ф(Зур2) -фундаментальная матрица системы из краевой задачи (0.7), Ф(-т ,/д) = 12к. Установлено важное свойство корней уравнения (0.8).
Теорема 1.2.3. На комплексной плоскости собственные числа краевой
приходить внутрь единичного круга с центром в нуле или уходить из него только через две точки на вещественной оси г = ±1.
Этот результат дает возможность применять методы возмущений при анализе поведения собственных чисел краевой задачи (0.6) вблизи единичной
*Ї2*У = ні(<9)Уч-Ас'Н2(«9)у, у(-г) = г8у(0),//є[0,1]. (0.7)
(0.8)
задачи (0.6) при изменении параметра р на полуинтервале (0,і] могут
8