Двоично-ортогональные системы функций в спектроскопии

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
Список литературы............................................. 11
ГЛАВА 1. НУЛЕВОЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ ЗАТУХАНИЯ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ С ПОМОЩЬЮ СЕКВЕНТ-НЫХ ФИЛЬТРОВ...................................................... 13
1.1. Введение....................................,............ 13
1.2. Общая формулировка нулевого метода измерения времен релаксации........................................................ 14
1.3. Реализация нулевого метода измерения времени жизни люминесценции при помощи секвентных фильтров........................ 32
1.4. Экспериментальная реализация нулевого метода измерения времен затухания люминесценции.................................. 37
1.5. Заключение.............................................. 51
Список литературы к главе 1................................... 54
ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНО-КИНЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕГИСТРАЦИИ И АНАЛИЗА ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ...................................... 56
2.1. Введение................................................. 56
2.2. Теория фильтрации в области времен жизни люминесценции 57
2.3. Оптимальные фильтры в т-области.......................... 66
2.4. Примеры практического использования фильтров в т-области 78
2.5. Заключение............................................. 94
Список литературы к главе 2................................... 95
ГЛАВА 3. АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКОГО ТУШЕНИЯ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ И ДВУХЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ РЕЛАКСАЦИИ С ПОМОЩЬЮ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В БАЗИСАХ КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫХ ФУНКЦИЙ............................................... 97
3.1. Введение................................................. 97
3.2. Статическое тушение люминесценции........................ 99
3.3. Двухэкспоненциальные процессы релаксации.............. 105
3.4. Заключение............................................ 114
Список литературы к главе 3.................................. 116
ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................... 118
ПРИЛОЖЕНИЕ....................................................... 120
Введение....................................................... 120
1. Секвептпый усилитель па основе синхронного интегратора Фрейтера.................................................. 121
2. Секвентные фильтры на переключаемом конденсаторе............ 141
2.1. Идеальный секвентный фильтр........................... 141
2.2. Секвентный фильтр с потерями............................ 148
2.3. Собственные функции секвентного фильтра................. 161
2.4. Выделение сигнала из шума секвентным фильтром........... 168
2.5. Экспериментальное исследование свойств секвентного фильтра... 172 Список литературы........................................... 180
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время ни одно научное исследование в области спектроскопии не обходится без использования ЭВМ. Вычислительная и, шире, цифровая техника глубоко проникла как в структуру спектроскопического эксперимента, что вызвано решением актуальной для него задачи комплексной автоматизации [1], так и в структуру теоретического исследования. .
Использование цифровой техники в любом физическом эксперименте предполагает, что на определенных его этапах информация об изучаемом объекте представлена в цифровом виде, а электрические сигналы - материальные носители этой информации, которыми оперируют цифровые устройства, - имеют форму функций из двоично-ортогональных базисов [2].
Данное обстоятельство до самого последнего времени не оказывало существенного влияния на выбор методик теоретического и экспериментального исследований в области спектроскопии. Действительно, традиционные спектроскопические исследования (Фурье-спектроскопия [3], фазовая флуориметрия [4] и др.) основывались на выполнении преимущественно одного спектрального преобразования физических величин - преобразования Фурье. Столь широкое применение базиса ортогональных синусоидальных функций при решении спектроскопических задач определения частот спектральных переходов, времен жизни возбужденных состояний, времен фазовой релаксации обусловлено, с одной стороны, уникальными свойствами тригонометрического базиса:
1) инвариантность свойства ортогональности синусоидальных функций к временному сдвигу;
2) мультипликативность комплексно-экспоненциальных функций;
3) синусоидальные функции являются собственными функциями линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков с постоянными коэффициентами, которые и являются простейшими теоретическими моделями взаимодействия электромагнитного поля с веществом [1,5,6].
С другой стороны это господство тригонометрического базиса в спектроскопии вызвано наличием простых, инвариантных во времени устройств (стеклянные призмы, дифракционные решетки и т.д.), непосредственно, на уровне элементарных физических процессов, выполняющих преобразование Фурье.
Правда, отдельные успешные попытки заменить на некоторых этапах спектроскопического эксперимента преобразование Фурье во многих отношениях более выгодными преобразованиями в базисах двоичноортогональных кусочно-постоянных функций уже предпринимались. Во-первых, к ним следует отнести использование в адамар-спектрометрах пространственных фильтров, работающих в базисе функций Уолша [3]. Во-вторых, применение в люминесцентной спектроскопии прямоугольной модуляции возбуждения и синхронной демодуляции отклика системы с помощью синхронных интеграторов, являющихся фильтрами прямоугольных сигналов [7]. И, в-третьих, переход в алгоритмах быстрого преобразования Фурье (БПФ) к нетрадиционному промежуточному базису прямоугольных сигнумгармонических функций [8], который позволил на порядок сократить число операций умножения. Это весьма важно для тех спектроскопических экспериментов, в которых обработка экспериментальных данных связана с выполнением БПФ (Фурье-спектроскопия и др.).
Детальный анализ этих работ, в особенности [7], показал, что максимально простое и эффективное решение обратной задачи в любом физическом эксперименте, состоящей в определении параметров математической модели изучаемого физического явления, невозможно без теоретического поиска и последующего экспериментального осуществления таких спектральных преобразований, которые наиболее приспособлены не только с теоретической, но и с практической точки зрения, к решению данной конкретной обратной задачи. В известном смысле такой подход означает отказ от классической схемы физического (в частности, спектроскопического) эксперимента.
В рамках классической схемы [1] связь между теоретическим и экспериментальным исследованиями существовала лишь на уровне их результатов. При этом методика экспериментального исследования строилась по принципу линейного отображения в пространство аппаратных средств из-
4
мерения математических процедур сложения, умножения, интегрирования, дифференцирования, а также более сложных функциональных операторов, использовавшихся в методике теоретического исследования. В то же время, совершенно не принималось во внимание, что выбор этих математических процедур и основанных на них спектральных преобразований физических величин, определялся удобствами, математической простотой реализации теоретического исследования отдельных сторон физического явления в пределах построенной для него фундаментальной теории. Если, например, ставился математический эксперимент с целью определения параметров некоторой линейной системы, то, очевидно, аналитически наиболее простые и физически легко интерпретируемые результаты получались при таких внешних воздействиях на систему и процедурах регистрации отклика, которые максимально использовали свойства собственных функций [9] этой системы.
Однако при переходе к экспериментальному исследованию критерии математической простоты, теоретических удобств теряют свое значение. Экспериментатору приходится иметь дело не с математическим представлением физических величин и не с фундаментальной теорией физического явления, а с реальными физическими сигналами и явлениями. Причем, очень часто оказывается, что решить экспериментально обратную задачу определения параметров математической модели и принять решение о соответствии (с некоторой точностью) или полном несоответствии этой модели реальному физическому явлению, гораздо проще и удобнее, прибегнув к иным спектральным представлениям физических сигналов, отличным от тех, которые были положены в основу теоретического исследования. Эго обусловлено тем, что в процессе физического эксперимента решаются специфические, относительно независимые от свойств исследуемой системы, задачи: упрощение, ускорение процедур измерения и алгоритмов обработки его результатов; упрощение и удешевление аппаратных средств измерения; комплексная автоматизация всего эксперимента.
Применительно к некоторым спектроскопическим экспериментам, успешное решение этих задач, как было показано в [7,8], связано с переходом от спектральных представлений физических сигналов в базисе ортогональных синусоидальных функций к их представлению в базисах двоично-
5
ортогональных прямоугольных функций. Тем не менее, сочетание экспериментально выгодного и теоретически возможного в научном исследовании не является типичным и, по-прежнему, доминирует такое положение, при котором методики экспериментальных исследований просто “подгоняются” под соответствующие методики исследований теоретических.
Суммируя все вышесказанное, можно предложить новую концепцию взаимоотношений теоретического и экспериментального начал в научном исследовании. В схематичной форме эта концепция представлена на рис. 1. Принципиальным моментом, отличающим эту схему от классической [1], является наличие обратной связи между физическим экспериментом и тем этапом теоретического исследования, на котором осуществляется выбор спектральных представлений и преобразований физических величин. Благодаря этой обратной связи, физический эксперимент, предъявляя определенные требования к математическому описанию измеряемых в ходе него физических величин, получает возможность оказывать влияние на выбор методики теоретического исследования и, в конечном счете, на форму представления следствий из фундаментальной теории изучаемого физического явления. Как правило, это ведет к усложнению аналитического описания результатов математического эксперимента [7]. Однако при этом происходит и более полный учет всех свойств, заложенных в исходную математическую модель, что уменьшает вероятность ошибки при интерпретации результатов реального физического эксперимента.
В рамках предлагаемой концепции, динамика взаимоотношений теории и эксперимента в системе научного исследования выглядит следующим образом. На первом этапе достигается равновесие на внутреннем уровне, связывающем методики экспериментального и теоретического исследований (см. рис. 1). Если равновесие достигнуто, то в результате эксперимента получаются действительные значения физических величин [1]. При этом само состояние равновесия может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Равновесие устойчиво, если результаты эксперимента не противоречат результатам теории и, более того, согласуются с ними с достаточной для данного исследования точностью. Если же противоречие имеется и оно - неприемлемо велико, то достигнутое состояние
6
Рис. 1. Структура научного исследования в области физики
7
равновесия неустойчиво и происходит уточнение исходных принципов теоретического исследования. Это выводит систему научного исследования из состояния равновесия на внутреннем уровне методик теоретического и экспериментального исследований. Начинаются процессы энергетического и информационного обмена между этими двумя подсистемами, связанные с изменением методик исследования в той и другой подсистемах. Затем опять достигается равновесие, и получаются достоверные результаты нового эксперимента. Если это равновесие неустойчиво, то описанный процесс повторяется снова до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие уже на внешнем уровне, связывающем результаты теоретического и экспериментального исследований.
Такое понимание научного исследования в области физики (в частности, спектроскопии) естественно приводит к формулировке повой задачи, стоящей перед этим исследованием:
максимально используя все свойства построенной математической модели физического явления, найти такие спектральные преобразования фигурирующих в ней сигналов, которые, будучи отображенными в пространство аппаратных средств измерения, позволили бы осуществить комплексно автоматизированный физический эксперимент на базе простых, дешевых аппаратных средств и быстродействующих алгоритмов обработки данных.
По существу, с решением именно этой задачи в некоторых инженерных областях (техника связи, радиолокация), а также в медицине при расшифровке электрокардиограмм и энцефалограмм, связано происхождение обобщенной спектральной теории сигналов [9,10,11]. В рамках данной теории уже построены эффективные алгоритмы синтеза ортогональных систем функций (например, метод Карунена-Лозва [10,11]) наиболее приспособленных к решению данной экспериментальной задачи (фильтрация, сжатие информации, распознавание образов и выделение информативных признаков). Оказалось, что во многих случаях наиболее предпочтительным является представление сигналов в базисах двоично-ортогональных прямоугольных функций таких, как функции Уолша и Хаара [10,12,13].
Исходя из вышеизложенного, цель данной работы заключалась в
8
следующем: продемонстрировать, что успешное решение сформулированной выше новой задачи научного исследования, применительно к теоретико-экспериментальному исследованию простейших спектроскопических моделей (одно- и многоэкспоненциальные процессы релаксации, статическое тушение люминесценции), связано с использованием спектральных представлений физических величин в базисах двоично-ортогональных прямоугольных функций. Кроме того, показать, что переход в спектроскопических исследованиях, описанных в этой работе, к спектральным преобразованиям в базисах кусочно-постоянных функций (причем к нетрадиционным преобразованиям, не подпадающим под классическое определение процедуры вычисления спектральных коэффициентов [9]) позволил не только упростить, удешевить, ускорить сам процесс измерения и обработки экспериментальных данных, но и повысить точность определения параметров перечисленных моделей, а также получить новую информацию о физических процессах в изучавшихся системах.
Научная новизна проведенных исследований заключается в следующем:
1. Построена теория нулевого метода измерения времени жизни люминесценции.
2. На базе этого метода разработан спектрально-кинетический метод регистрации и анализа многоцентровых спектров люминесценции и возбуждения.
3. Разработан новый метод решения обратной задачи определения параметров двухэкспоненциального процесса релаксации и статического тушения люминесценции, альтернативный нелинейному методу наименьших квадратов.
4. Построена теория секвентных фильтров на переключаемых конденсаторах, использующихся для реализации нулевого метода измерения времен релаксации.
Практическая ценность работы. Разработанные методы анализа кинетики и спектров люминесценции и возбуждения позволили не только существенно упростить, удешевить, ускорить процесс измерения и обра-
9
ботки экспериментальных данных, но и повысить эффективность расшифровки сложных многоцентровых спектров люминесценции и возбуждения, а также решения обратной задачи определения параметров неэкспоненциальных и многоэкспоненциальных процессов релаксации в случаях, когда традиционные методы их решения малоэффективны.
Защищаемые положения.
1. Теория нулевого метода определения времени жизни люминесценции с помощью интегральных преобразований в базисах двоичноортогональных функций.
2. Теория спектрально-кинетического метода регистрации и анализа многоцентровых спектров люминесценции и возбуждения, основанного на использовании фильтров в области времен жизни люминесценции. Алгоритм синтеза оптимальных фильтров в области времен жизни люминесценции.
3. Алгоритм нелинейной цифровой фильтрации кинетики люминесценции, основанный на использовании интегральных преобразований в базисах двоично-ортогональных функций, позволяющий определять параметры двухэкспоненциального процесса релаксации и статического тушения люминесценции независимым образом линейным методом наименьших квадратов.
4. Теория секвентных фильтров на переключаемых конденсаторах.
Апробация работы. Основные результаты данной работы были представлены на следующих конференциях:
1. XXVII Congress AMPERE on Magnetic Resonance and Related Phenomena. Kazan. 21-28 August 1994;
2. X Feofilov Symposium on Spectroscopy of Crystals Activated by Rare Earth and Transitional Ions. Saint-Petersburg. 2-8 July 1995;
3. II Республиканская научная конференция молодых ученых и специалистов. Казань. 28 июня-1 июля 1996;
4. Спектроскопия, рентгенография и кристаллохимия минералов. Международная конференция. Казань. 30 сентября - 2 октября 1997;
10
5. Вторая молодежная научная школа. Когерентная оптика и оптическая спектроскопия. Казань. 29-31 октября 1998;
6. Молодежная научная школа “Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений”. Магнитный резонанс в твердых телах. Казань. 3-6 ноября 1998.
Публикации. Основное содержание работы отражено в одиннадцати
публикациях. Из них: шесть статей и пять тезисов.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав,
заключения, приложения и библиографии, включающей 56 наименований.
Содержит 35 рисунков и 181 страниц машинописного текста.
Список литературы
1. Лавренчик В.Н. Постановка физического эксперимента и статистическая обработка его результатов: Учеб. пособие для вузов. - М.: Энерго-атомиздат, 1986. -272 с.
2. Проектирование специализированных информационно-вычислительных систем. / Под ред. Смирнова Ю.М. - М.: Высшая школа, 1984. -359 с.
3. Запманзон Л.А. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. - М.: Наука, 1989. - 496 с.
4. Лакович Дж. Основы флуоресцентной спектроскопии. Пер. с англ. -М.: Мир, 1986.-496 с.
5. Демтредер В. Лазерная спектроскопия. Основные применения и техника эксперимента. - М.: Наука, 1986. - 607 с.
6. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. - М.: Мир, 1969. - 558 с.
7. Казаков Б.Н., Сафиуллин Г.М., Содоваров Н.К. Использование синхронного интегратора в фазовой флуориметрии. // ПТЭ. 1993. № 3. С. 156-161.
8. Казаков Б.Н., Сафиуллин Г.М., Содоваров Н.К. Определение коэффициентов Фурье периодического сигнала через промежуточный базис прямоугольных функций типа меандр. // Журнал технической физики.
11
1995. Т. 65.No 5. С. 132-139.
9. Трахтман А.М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. - М.: Советское радио, 1972. - 352 с.
10. Солодовников А.И., Спиваковский А.М. Основы теории и методы спектральной обработки информации: Учеб. пособие. - JL: Изд-во Ленинградского университета, 1986. - 272 с.
11. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. Пер. с англ. / Под ред. И.Б. Фоменко. - М.: Связь, 1980.-248 с.
12. Хармут Х.Ф. Теория секвентного анализа. Пер. с англ. Л.М. Сороко. -М.: Мир, 1980.- 574 с.
13. Хармут Х.Ф. Передача информации ортогональными функциями. Пер. с англ. Н.Г. Дьяконова и А.И. Сенина. - М.: Связь, 1975. - 272 с.
%
12
ГЛАВА 1
НУЛЕВОЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ ЗАТУХАНИЯ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ С ПОМОЩЬЮ СЕКВЕНТНЫХ ФИЛЬТРОВ
1.1. Введение
Первые попытки применения двоично-ортогональных систем функций в оптической спектроскопии были связаны с реализацией нулевого метода измерения времени жизни люминесценции при помощи секвентного усилителя на двух переключаемых конденсаторах [1-5]. Успешность этих попыток: высокая точность измерения времени жизни люминесценции, эффективная расшифровка многоцентровых спектров люминесценции, тем не менее, резко контрастировала с полным отсутствием последовательного теоретического изложения принципов и преимуществ использования в рамках нулевого метода интегральных преобразований в базисах двоичноортогональных функций, а также с отсутствием анализа работы реализовывавшего этот метод секвентного фильтра. Все это, с одной стороны, сдерживало разработку новых, технически более совершенных секвентных фильтров на переключаемых конденсаторах, а, с другой, не позволяло в полной мере использовать некоторые уникальные свойства интегральных преобразований в базисах двоично-ортогональных функций при теоретико-экспериментальной реализации нулевого метода.
Данная глава, вместе с приложением, преследует своей целью последовательное изложение основополагающих принципов использования интегральных преобразований в базисах двоично-ортогональных функций в рамках нулевого метода измерения времени жизни люминесценции, в одном частном случае аппаратной реализации таких преобразований - при помощи секвентных фильтров на переключаемых конденсаторах. Кроме того, в этой главе ставится проблема поиска оптимальных интегральных преобразований в базисах кусочно-постоянных функций, которые позво-
13
лили бы проводить экспериментальное определение времени жизни и расшифровку многоцентровых спектров люминесценции с наименьшими затратами труда и времени.
1.2. Общая формулировка нулевого метода измерения времен релаксации
Как известно, основные закономерности взаимодействия оптического излучения с веществом в рамках двухуровневого приближения можно описать с помощью системы оптических уравнений Блоха [6]:
Здесь Р - поляризация вещества, фигурирующая в уравнениях Максвелла; Е - напряженность электромагнитного поля, воздействующего на вещество; АМ = - /У2, Д(0)/У = Лг1(0) - А/^0> - разность населенностей и равновес-
ная разность населенностей единицы объема; - населенность нижнего уровня энергии; 7| - время продольной (спин-решеточной) релаксации; Т2 - время поперечной (спин-спиновой, фазовой) релаксации; со0, с10 - частота перехода и матричный элемент оператора дипольного момента; Ь - постоянная Планка, а точка и две точки над символами обозначают первую и вторую производные по времени, соответственно.
Предположим, что внешнее электромагнитное поле монохроматично, а его амплитуда Е0(/) представляет собой медленно меняющуюся функцию времени:
Последнее означает, что характерное время Т изменения Е0 (/) (этим временем может быть, в частности, период модуляции внешнего воздействия на вещество) намного больше, чем период 2тг/со световых колебаний:
(1.1)
Е(1) = Е0 (і) со з(б>/).
(1.2)
Т » 2л / со.
Будем также считать, что выполнено резонансное условие:
(1-3)
14
со = со0. (1.4)
Подстановка (1.2), (1.4) в (1.1) приводит нас к выводу, что спектр Фурье разности населенностей ДАТ содержит лишь четные гармоники, в то время как ряд Фурье поляризации Р вещества, состоит из одних нечетных гармоник:
ДА/(Г) = ]Г(дА/^т)(г)со8(2т<у00 + ДЛ^т)(*)$т(2/ия>0о), (1.5)
т=О
Р( 0 = X (^<2"+1) (0 С08((2т +1 КО + Л<2т+1) (0 вт((2т + 1)«0о). (1.6)
«-О
Здесь ДЛ^<2" >(0, М?т)(0, /’№№1)(0, Р?т*'ЧО - также как и Я„(/) - мед-ленно меняющиеся функции времени.
Поглощаемая в единице объема вещества мощность Ра(/) электромагнитного поля равна [6]:
Р. (О (1.7)
где черта сверху означает процедуру усреднения за период световых колебаний. Поскольку, в соответствии с (1.2), (1.4), (1.6):
+ Д(2"-1) + (2т -1КР'2*-11 )соз(2тсо00 + (Д(2т+1) - (2/и ++
+ /,/2"Ч) - (2т - 1(0оР<2И))8Іп(2теоОІ то средняя за период 2тг/со0 мощность равна:
Р.(0-|Яо(1*®+»,Р®). (18)
Здесь мы учли, что величины />(2я+1)(0, />1(2я+1)(0 и £0(/) практически не меняются за время 2л 1б)0.
Таким образом, средняя мощность, поглощаемая в единице объема вещества, зависит лишь от синфазной Рс(,)(ґ) и квадратурной /^(О амплитуд поляризации и не зависит от амплитуд высших гармоник.
С другой стороны, средняя мощность, спонтанно излучаемая единицей объема вещества, равна [6]:
Р. (О = Пб)0АМ~2, (1.9)
где А - вероятность спонтанного перехода, населенность верхнего
15
уровня, а черта над ЛГ2 имеет тот же смысл, что и в выражении (1.7). Учитывая, что:
ЛГ, +ЛГ2=ЛГ1(0)+Л^0), (3.10)
где ЛГ,(0>, Ыр - равновесные населенности нижнего и верхнего уровня, соответственно, нетрудно получить следующий результат:
= Л^0) + — (д<0) Л'' - ДМ). (1.11)
2
Отсюда, принимая во внимание, что все высокочастотные колебания в
(1.5) с частотой, кратной со0, при их усреднении за период световых колебаний, обращаются в нуль, находим:
Рс(0 = й®0л(^0) +(д<0)1У-ДМ<0)(0)/2). (1.12)
Таким образом, средняя мощность, излучаемая единицей объема вещества, определяется лишь постоянной составляющей ДЛ^0)(/) ряда Фурье
(1.5) (точнее ЛЛ^0) (/) представляет собой медленно меняющуюся функцию, которую можно считать постоянной при изменении времени на величину порядка 2л / со0).
В то же время, показания оптических детекторов - фотоэлектронных умножителей (ФЭУ), болометров, фотопленок и др. - зависят от квадрата напряженности электромагнитного поля, усредненного по некоторому интервалу времени, вследствие инерционности детектора [6]. Если время отклика детектора намного превышает период световых колебаний, но огибающая регистрируемого поля практически не меняется за это время, то показания оптического детектора будут пропорциональны медленно меняющейся средней интенсивности светового излучения или, в пересчете на единицу времени, его средней мощности, т.е. Ра(0 и Ре(0. В свою очередь, это значит, что экспериментально измеряемые в оптической спектроскопии сигналы зависят лишь от постоянной составляющей ряда Фурье
(1.5) для разности населенностей, а также от синфазной и квадратурной амплитуд первой гармоники ряда Фурье (1.6) для поляризации вещества. Поэтому решение (1.1) целесообразно искать в следующем виде:
ДЛ/(0 = + ДЛ^ (0 соб(2й>00 + ДЛ^(Г)Бт(2 <у00> (1-13)
= ре (0 соб(й>0г) + Р9 (0 Бт(<у0/). (1.14)
16