2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................. 4
ГЛАВА I. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО
§ 1.1. Стандартный метод Монте-Карло ........................... 18
§ 1.2. Алгоритм метода Монте-Карло ............................. 24
§ 1.3. Граничные условия ....................................... 25
§ 1.4. Анализ ошибок в методе Монте-Карло ...................... 27
ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАЛЫХ МАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ Сг203 МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
§ 2.1. Специфика малых магнитных частиц ....................... 31
§ 2.2. Исследование статических критических свойств
моделей магнитных систем методом Монте-Карло.. 37 § 2.3. Обзор результатов экспериментальных исследований критических свойств макрообразцов антнферромагнетика Сг203 М(ММ«ЖМ1НММ*Н«*МНМ*»1И*1 ♦ 45 § 2.4. Статические критические свойства малых
магнитных частиц Сг203. Исследование методом Монте-Карло ••••••••••••••••••••••••••••»•••••••••••••••••••••••••••••••••»в 47
ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ КРИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МОДЕЛИ РЕАЛЬНОГО АНТИФЕРРОМАГНЕТИКА Сг203.
§ 3.1. Основные положения теории конечно-размерного
скенлннга •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 71
§ 3.2. Статические критические свойства модели
реального антиферромагнетнка Сг203 ...................... 74
3.2.1. Аппроксимация данных традиционными степенными функциями .................................... 80
3.2.2. Анализ данных на основе теории конечноразмерного скейлинга ............................. 86
ГЛАВА IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАЛОЙ МАГНИТНОЙ ЧАСТИЦЫ V203.
§ 4.1. Метол молекулярной динамики для спиновой
системы ............................ *........ 95
§ 4.2. Исследование динамических свойств магнитных
систем методами численного эксперимента .......... 102
§ 4.3. Спиновая динамика малой магнитной частицы
V203.......................................... 106
4.3.1. Поведение автокорреляционных функций при //0“ 0 ...........................................114
4.3.2. Автокорреляционные функции при наличии однородного внешнего магнитного поля ............. 122
ЗАКЛЮЧЕНИЕ »•♦мммчн#т»ммиимм»ми1>1ин«мтм»т»1и1«м1»>»м»1—им—»м1»м«м» 140 ЛИТЕРАТУРА -------------------------------------- ..------------ 143
4
ВВЕДЕНИЕ
Магнитные материалы являются весьма сложными системами, которые с трудом поддаются теоретическому анализу, но в то же время довольно интересными для исследований. Такие фундаментальные явления как фазовые переходы, сверхпроводимость и др., представляют собой результат коллективных взаимодействий частиц, находящихся в тесном контакте друг с другом. В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании этих явлений в твердых телах. Наиболее плодотворными в построении теории фазовых переходов оказались методы ренормализапионной группы и ^-разложения [1-4], а также применение гипотезы подобия (скейлинга) [5-8]. При помощи этих методов удалось выявить общие принципы фазовых переходов, а также вычислить значения критических индексов для многих решеточных систем и установить связь между' ними. Идеи лежащие в основе этих методов значительно обогатили наше понимание природы фазовых переходов и критических явлений.
Тем не менсс, разработка последовательной, строгой микроскопической теории фазовых переходов является одной из наиболее трудных и незавершенных задач теории конденсированного состояния.
Важную роль в построении общей микроскопической теории фазовых переходов играют точные аналитические решения, которые удалось получить лишь для некоторых решеточных моделей. В 1925 году Изинг нашел решение для одномерной цепочки [9]. Следует отметить ту важную роль, которую исторически сыграло решение Онзагером двухмерной модели Изинга в нулевом внешнем поле [10]. Эта модель, которая рассматривалась как некоторая модель ферромагнетизма и интересный объект математических упражнений, в дальнейшем стала важнейшим источником информации о свойствах фазовых переходов.
%
5
В 1952 году Берлин и Кац [11} нашли точное решение для сферической модели. Имеют точное решение и некоторые другие модели [12]. Но до сих пор нет решения двумерной модели Изинга в ненулевом магнитном поле. Не поддаются точному решению модель Изинга в трехмерном случае, модели Гейзенберга на решетках с различными размерностями.
Отметим, что строгое исследование трехмерных моделей методами современной теоретической физики задача чрезвычайно сложная, поэтому на современном этапе значительно возрастает роль и актуальность методов вычислительной физики: метода Монте-Карло и метода молекулярной динамики. Эти методы оказались весьма эффективными в статистической физике, физике фазовых переходов и в целом ряде других областей науки и техники. Существует глубокое соотвегствие между физическим экспериментом и численным экспериментом.
Сравнивая, например, метод Монте-Карло с лабораторным экспериментом можно выделить два этапа, характерных для метода Монте-Карло:
- использование случайных процессов для моделирования статистического или физического эксперимента на вычислительных машинах;
- регистрация и обработка получаемых на вычислительных машинах числовых характеристик.
Первому' этапу можно сопоставить методы получения исследуемого объекта в реальном эксперименте, а второму' - измерение и методы диагностики. В алгоритмах . (и программах) методов численного эксперимента также можно выделить моделирующие и измерительные части. Отметим, что, с одной стороны данные, получаемые с помощью численного эксперимента, можно рассматривать как экспериментальные и
6
♦
сравнивать их с различными аналитическими приближениями, а с другой -как теоретические и сравнивать их с соответствующими экспериментами.
Весьма значительные достижения получены с помощью численных методов в статистической физике, физике фазовых переходов [13-16].
Первый вариант метода Монте-Карло в статистической физике был разработан в работе [17]. С тех пор интерес к этому методу постоянно возрастает. Основное внимание при этом переместилось с методических вопросов на физические, расширился круг исследуемых систем с различными типами межчастичного взаимодействия. Метод Монте-Карло является основным инструментом для исследования веществ в таких условиях, при которых экспериментальные данные еще не существуют, поскольку машинный эксперимент может оказаться значительно дешевле реального эксперимента, и особенно при исследовании веществ в экстремальных условиях.
Численные методы позволяют на основе единого методологического подхода исследовать статические и динамические свойства конденсированных систем со сложными реалистичными потентатами в широком интервале температур, магнитных полей и других параметров [13-16].
До последнего времени исследование критической области методами численного эксперимента было проблематичным, и в основном такого рода исследования носили качественный характер. Но с появлением более мощных ЭВМ и эффективных методов Монте-Карло, стало возможным исследования критической области с вычислением критических индексов и критических амплитуд. В настоящее время точност ь определения значений критических параметров методом Монте-Карло. не уступает точности определения этих же параметров аналитическими методами, а иногда и превосходит их [18, 19].
7
Методами численного эксперимента изучено большое количество модельных систем, подверженных фазовым переходам. Исследование выполнены на решетках различного типа и пространственной размерности, а также при варьировании большого количества различных параметров. По результатам этих экспериментов имеются обзоры [13,19-21]. Но в основном до сих пор изучались простые ферромагнитные модели с взаимодействием между ближайшими соседями. Значительно менсс полно изучены реатьные системы с учетом всех кристаллографических особенностей, слабых релятивистских взаимодействий различного типа и при наличии внешних магнитных полей. Одним из важных особенностей численного эксперимента является возможность исследования малых частиц (частицы, кластеры, наноструктуры, мезоскопические системы), экспериментальному и теоретическому изучению которых в настоящее время уделяется большое внимание [22-24].
В данной работе рассматриваются некоторые вопросы теории фазовых переходов и критических явлений в решеточных моделях реальных магнитных материалов. Объектом исследования является классическая трехмерная антиферромагшггная модель Гейзенберга на ромбоэдрической решетке. Рассматриваемая модель трудно поддается аналитическому описанию. В рамках этой модели исследуются модели реальных многоподрешеточных а1ггиферромагнетиков Сг2Оз и \/20з. Имеющие в литературе экспериментальные данные для этих магнитных материалов противоречивы и часто не согласуются с теоретическими предсказаниями.
СтчСЬ является классическим антиферромагнетиком с ромбоэдрической структурой. Изучение макрообразцов этого антиферромагнетика проводится довольно интенсивно [25-36]. Экспериментально исследовались и критические свойства Сг20з с расчетом критических индексов [37-39]. Но результаты этих исследований
8
не позволяют однозначно определить характер критического поведения в Сг203 и не согласуются с теоретическими предсказаниями.
Практически обделен вниманием экспериментаторов такой вопрос как исследование малых частиц Сг20з, что объясняется трудностью получения достоверных результатов. Это связано с тем, что малые частицы являются довольно сложными объектами для изучения как аналитическими методами * (необходимость правильного учета мсжчастичных взаимодействий, невозможность использования перехода к термодинамическому пределу), так экспериментальными исследованиями (часто не удается непосредственно контролировать размеры, число взаимодействующих элементов и форм>' частиц, наличие примесей и дефектов). Особенно большие трудности возникают при исследовании критических свойств малых частиц. Все эти трудности преодолеваются при изучении таких систем методами численного эксперимента. Но до сих пор при исследовании малых магнитных частиц основное внимание уделялось »пучению простых ферромагнитных систем.
Другим объектом исследования является малые частицы антиферромагнетика У?Р;. Среди целого класса антиферромагнетиков с ромбоэдрической структурой выделяется своими необычными свойствами У203, в котором обнаружены два фазовых перехода [40]. В литературе довольно много противоречивых данных о характере фазовых переходов в У203, о магнитной структуре, о влиянии различных факторов на магнитное упорядочение и т.д. [40-43]. В У203 магнитные свойства очень сильно зависят от чистоты образца [40], вследствие чего многие экспериментальные результаты дильно зависят от конкретного образца.
Поэтому, исследование этих объектов методами численного эксперимента является важной и актуальной задачей статистической физики и теории фазовых переходов и критических явлений. Следует также отметать, что все исследуемые модели являются моделями реальных
магнитных материалов, и учитывают все наиболее существенные особенности кристаллов, в том числе и слабые релятивистские взаимодействия. Это позволяет сравнивать результаты исследования методами численною эксперимента не только с теоретическими предсказаниями, но и с данными лабораторных экспериментов.
Целью работы является исследование методами численного эксперимента статических критических и динамических свойств моделей сложных реальных магнетиков. В процессе выполнения работы решались следующие задачи:
1. Исследование методом Монте-Карло критического поведения малых магнитных частиц реального многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203. Расчет статических критических индексов теплоемкости а, подрешеточной намагниченности /? и восприимчивости у для частиц, содержащих различное число спинов.
2. Исследование методом Монте-Карло статических критических свойств модели реального антиферромагнетика Сг203. Определение статических критических индексов а, Р, у и их зависимость от различных параметров.
3. Применение теории конечно-размерного скейлннга к исследованию критических свойств моделей реального антиферромагнетика Сг203.
4. Исследование спиновой динамики модели малой магнитной частицы антиферромагнетика У203 в широком диапазоне изменения температур, внешних магнитных полей, типа анизотропии.
5. Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать равновесные и динамические, а также статические критические свойства реальных магнетиков.
Практическая ценность работы.
Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических и динамических свойств сложных реальных магнитных систем представляют интерес для дальнейших исследовании в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории твердых тел. При этом основой для дальнейших исследований является комплекс программ для ЭВМ, разработанный при выполнении данной работы.
Сопоставление результатов численных экспериментов с данными лабораторных исследований и теоретических предсказаний позволило определить особенности практического использования теории конечно-размерного сксйлинга при исследовании моделей реальных магнитных материалов.
Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Компьютерное моделирование в физике», «Новые высокоэффективные методы вычислительной физики», «Модели современной статистической физики» в Дагестанском государственном университете.
Научную новизну и значимость диссертации определяют
основные положения, которые автор выносит на защиту:
-1. Расчет методом Монте-Карло значений статических критических индексов теплоемкости а, полрешеточной намагниченности /? и восприимчивости у для малых магнитных частиц Сг203. Определение характера критического поведения малых частиц и
11
степени влияния на критические свойства свободной поверхности частиц. Установление независимости значения критических индексов* а. у от размеров частиц. Обнаружение в малых магнитных частицах возможности кроссовсрных эффектов.
2. Определение характера критического поведения для модели реального антиферромашетика Сг2Оз и расчет критических индексов теплоемкости а, подрешеточной намагниченности /7 и восприимчивости у аппроксимацией Монгс-Карло данных на основе традиционных степенных функций
‘3. Анализ результатов Монте-Карло данных для модели реального антиферромагнетика Сг20з на основе соотношений теории конечно-размерного скейлинга и определение статических критических индексов а, /7 и у.
4. Установление лучшего согласия значений критических индексов, рассчитанных на основе соотношений конечноразмерного скейлинга, с теоретическими предсказаниями, чем значения критических индексов, полученных аппроксимацией Монте-Карло данных традиционными степенными функциями.
’5. Изучение методом молекулярной динамики динамических свойств малой магнитной частицы У20з. Исследование динамических свойств частицы в зависимости от температу ры, внешнего магнитного поля, направления внешнего магнитного поля, от типа анизотропии и типа магнитного упорядочения в элементарной ячейке. Расчет характерных времен релаксаций для некоторых автокорреляционных функций.
6. Сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий исследовать все вышеперечисленные модельные системы.
12
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах: Всероссийской школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 1996, 1998); Республиканской научно-методической конференции «Преподавание химии в высшей школе» (Махачкала, 1996); Межгосударственной конференции «Компьютерные технологии в науке, экономике и образовании», СТ-8ЕЕ’97 (Махачкала,
1997); Международной научно-практической конференции «Новые информационные технологии и их региональное развитие», ЕЕВКи8-97 (Нальчик, 1997); V Азиатской конференции по тсплофизическим свойствам (Сеул, Корея, 1998); Международной конференции «Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах» (Махачкала,
1998);- Всероссийской конференции «Физическая электроника» (Махачкала, 1999); Международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН (Махачкала, 1999); Международной конференции по магнитным и высокотемпературным материалам (Иран,
1999); ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава Дагестанского государственного университета.
Публикации.
1. Муртазаев А. К., Хизриев К. Ш. Исследование фазовых переходов в сегнетоэлектрике КаИОг методами вычислительной физики.// Вестник ДГУ. Естественно - технический выпуск. - 1996. - С.51-55.
2. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш. Спиновая динамика магнитных кластеров Сг203.// Тезисы докладов XV Всероссийской школы-семинара “Новые магнитные материалы микроэлектроники”. - Москва: 1996.- С.257.
13
3. Муртазаев А.К., Хизриев К.Ш. Исследование спиновой динамики частиц УаОз методами численного эксперимента // Тезисы докладов республиканской научно-методической конференции: Преподавание химии в высшей и средней школе, Махачкала, 1996. - С. 52.
4. Муртазаев А. К., Алиев X. К., Хизриев К. Ш. Критическое поведение матых магнитных частиц Сг203. И Вестник ДГУ. Естественно -технический выпуск. - 1997. - С.51 -55.
5. Муртазаев А. К., Хизриев К.Ш., Камилов И. К., Алиев Х.К. Моделирование динамическйх свойств малых магнитных частиц Сг203 методами численного эксперимента. // Математическое моделирование. - 1997.-Т. 9,№10.- С. 36-42.
6. Гаджиева Л.Г., Хизриев К.Ш., Муртазаев А.К. Спиновая динамика малых магнитных частиц \'203 / Тезисы докладов межвузовской региональной конференции, Махачкала, 1997.-е. 120-121.
7. Муртазаев А.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш., Эмирасланова Л.Л., Магомедов М.А. Исследование реальных магнитных систем методами компьютерного моделирования / Тезисы докладов межгосударственной конференции СТ+8Е5’97, Махачкала, 1997. - с. 61 -63.
8. Муртазаев А. К., Алиев Х.К., Камилов И. К., Хизриев К.Ш. Критическое поведение матых магнитных частиц Сг203.// Физика низких температур. - 1998. - Т.24, № 5. - С. 462-467.
9. Муртазаев А. К., Хизриев К.Ш. Исследование спиновой динамики малых магнитных частиц У203. // Вестник Дагестанского научного центра РАН. - 1998. - Т.1, вып. 1. - С. 23-28.
Ю.Муртазаев А. К., Камилов И. К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш. Критические свойства наночастиц Сг2Оз. //Тезисы докладов XVI международной шкоды - беминара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 1998.- Т.З. - С. 17-18.
- Київ+380960830922