Статистический анализ динамических систем, подверженных интенсивным случайным воздействиям

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ....................................................... 6
Глава 1. Некоторые математические вопросы, методы и
приемы анализа стохастических систем ...................... 36
§1.1. Формула Фуруцу - Новикова для совмес тных кумулянтов совокупности: случайная сила и ее функционал .......... 36
§1.2. Структура статистической связи случайного воздействия н выходной координаты стохастической системы 40
§1.3. О некоторых применениях цепных дробей и матричных цепных дробей к анализу нелинейных стохастических систем ............................................... 43
1.3.1. Одномерные непрерывные дроби ................... 44
1.3.2. Матричные непные дроби ......................... 53
§1.4. Кинетические уравнения для вероятностных характеристик динамических систем, находящихся под воздействием экспоненциально-коррелированных случайных СИЛ ....................................................... 62
1.4.1. Системы с гауссовым марковским шумом ........... 63
1.4.2. Системы со случайным воздействием в виде квадрата гауссова шума.................................... 74
§1.5. Кинетические уравнения для вероятностных характеристик спетом, находящихся под воздействием вннеров-ского шума 76
Глава 2. Статистическое описание линейных и параметрических систем с интенсивными случайными воздействиями .................................................... 82
§2.1. Некоторые точно решаемые задачи ..................... 82
2.1.1. Стохастическое уравнение 1-го порядка........... 82
2.1.2. Стохастический осциллятор. Вероятностные характеристики выходного шума ........................... 85
2.1.3. Стохастический осциллятор. Вероятностные характеристики амплитуды колебания ...................... 92
2
§ 2.2. Вероятностное описание стохастических линейных систем общего вида в диффузионном приближении ........... 97
§ 2.3. Статистические средние в линейных системах с экспоненциально-коррелированными флуктуациями параметров ....................................................... 107
2.3.1. Функциональный подход к анализу линейных стохастических систем; развитие метода “последовательных приближений” .................................. 108
2.3.2. Дифференциальное описание линейных стохастиче-
ских систем; адекватность функционального и ку-мулянтного подхода к отысканию статистических средних ......................................... 114
2.3.3. Некоторые примеры .............................. 120
§2.4. Вероятностные характеристики линейных систем с
“квадратичной параметрикой” ........................... 127
2.4.1. Статистические средние в системах с широкополос-
ными флуктуациями параметров .................... 128
2.4.2. Системы с флуктуациями параметров, являющихся
квадратом гауссовых марковских процессов ........ 132
2.4.3. Адаптивный автокомпенсатор помех ............... 134
§2.5. Эффективная частотная характеристика стохастической линейной системы с экспоненциально-коррелированными флуктуациями параметров ............................. ш
§2.6. Энергетические характеристики и устойчивость осциллятора, параметрически возбуждаемого интенсивным небелым шумом ......................................... 148
2.6.1. Параметрическое возбуждение резонансным шумом ................................................... 149
2.6.2. Параметрическое возбуждение “розовым” шумом 155
§2.7. Шумовые характеристики параметрического усилителя с интенсивными флуктуациями накачки .............. 162
Ріава 3. Стационарные вероятностные характеристики нелинейных колебательных систем, находящихся под воздействием аддитивных и мультипликативных случайных сил ................................................. 171
§3.1. Некоторые точные результаты; нелинейно-параметрическая нормализация........................................ 171
§3.2. Вероятностные характеристики амплитуды колебаний стохастического осциллятора с нелинейным затуханием ................................................... 180
3.2.1. Возбуждение дельта-коррелированным шумом ....... 180
3.2.2. Возбуждение широкополосным резонансным и низ-
кочастотным шумом ............................... 190
§3.3. Метод матричных цепных дробей для нахождения моментов нелинейных колебательных систем .................... 197
3.3.1. Системы с кубичной нелинейностью ............... 197
•/
3.3.2. Системы с полиномиальной нелинейностью ......... 201
§3.4. Вероятностные характеристики броуновского движения в стохастическом потенциальном профиле ................ 209
Глава 4. Релаксации вероятностных характеристик одномерного броуновского движения. Квазилинейные
системы ................................................... 218
§4.1. Релаксация моментов и эволюция модельного вероятностного распределения безынерционных частиц .............. 218
§4.2. Релаксация вероятностных характеристик броуновского движения нелинейного осциллятора .................... 225
4.2.1. Общий анализ и система с нелинейной жесткостью 226
4.2.2. Система с нелинейной вязкостью ................. 236
§4.3. Релаксация вероятностных характеристик “розового”
броуновского движения ................................. 241
4.3.1. Стационарные моменты нелинейных систем с аддитивным “розовым” шумом .............................. 241
4.3.2. Релаксация под действием гауссовой марковской случайной силы ........................................ 246
4.3.3. Релаксация под действием телеграфной случайной силы и “квазпстатическая” релаксация .................. 257
4
Глава 5. Вероятностное описание некоторых принципиально нелинейных стохастических систем и саморегулирующихся сообществ в среде с интенсивными флуктуациями параметров .................................... 265
§5.1. Тонные результаты для вероятностных характеристик уравнения Ферхюльста с флуктуирующими параметрами ................................................. 266
5.1.1. Стационарные вероятностные характеристики ..... 266
5.1.2. Релаксация обратных моментов .................. 275
§5.2. Релаксация моментов и модельных распределений некоторых систем, связанных с уравнением Ферхюльста 279
5.2.1. Метод анализа. Системы с дельта-коррелированным шумом ........................................... 279
5.2.2. Релаксация вероятностных характеристик генераторных систем ....................................... 286
5.2.3. Релаксация вероятностных характеристик уравнения Ферхюльста с “розовым” шумом .................... 291
§5.3. Вероятностное описание системы “хищник - жертва”
с интенсивными флуктуациями параметров ............... 299
5.3.1. Стационарные вероятностные характеристики численностей .......................................... 300
5.3.2. Релаксация среднеквадратичных характеристик в системе с дельта-коррелированным шумом.............. 307
5.3.3. Релаксация моментов и модельных вероятностных распределений в системе с “розовым” шумом ........... 310
Заключение ................................................... 320
Приложения .....................................................
Литература .....................................................
5
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, широкий круг проблем современного естествознания связан с исследованием динамических систем, находящихся под воздействием случайных сил, процессов или полей различной физической природы. Это, прежде всего, проблемы статистической физики, распространения волн в случайно-неоднородных и нестационарных средах, задачи обнаружения сигналов на фоне помех и их адаптивной фильтрации, проблемы, связанные со статистической динамикой и диагностикой машин, механизмов и инженерных сооружений, ряд экологических и экономических задач. Здесь перечислены лишь некоторые фундаментальные научные направления, существенно использующие статистический подход; в каждой конкретной области имеются свои весьма актуальные прикладные проблемы, решение которых так или иначе связано с исследованием стохастических систем. По существу любая реальная динамическая система и, в первую очередь, работающая в экстремальном режиме (максимальная чувствительность, близость к фазовым переходам и т. п.) является системой стохастической, поведение которой в значительной степени определяется действием случайных факторов и может быть адекватно описано только вероятностными методами.
Причины, вызывающие флуктуации, в различных задачах разные: это могут быть тепловые и другие шумы, турбулентность, неустойчивость, атмосферные факторы, искусственно созданная помеховая обстановка; в экологических задачах — случайные изменения среды обитания и другие. Тем не менее, методы статистического описания таких систем достаточно похожи. Исходные динамические уравнения — дифференциальные или интегродифференциальные уравнения, в которые аддитивным или мультипликативным образом входят случайные силы. Вероятностные характеристики этих случайных воздействий обычно известны или заданы в соответствии с выбранной для решения конкретной задачи моделью.
6
Наиболее универсальным и мощным математическим аппаратом исследования стохастических систем является теория марковских процессов н процессов диффузионного типа, возникшая на основе теории броуновского движения [1—5]. Математическим аспектам этой теории посвящена значительная литература (см., например, монографии [6-11]). Вероятностные характеристики находятся путем решения уравнений Фоккера-Планка или близких к ним кинетических уравнений. Сделав определенные допущения о мелкомасштабности случайных сил, получить подобные уравнения обычно несложно. Основные же проблемы возникают при их аналитическом и даже численном решении. С ростом порядка динамической системы увеличивается размерность кинетических уравнений, к этому же приводит попытка учесть отличный от нуля масштаб корреляции случайных сил. Решения нестационарных уравнения Фоккера-Планка в нетривиальных случаях неизвестны.
Кроме классической марковской методики или параллельно с ней используются и некоторые дополнительные средства. Для вероятностного описания линейных стохастических систем в настоящее время эффективно применяются методы, первоначально разработанные в квантовой теории поля. Это диаграммные и перенормировочные методы селективного суммирования рядов теории возмущений, аппарат вариационных производных и континуальных интегралов. Другой подход основан на выборе удобных для анализа “точно решаемых” моделей действующих на систему случайных сил (телеграфный случайный процесс, процессы Кубо Андерсона) и построении соответствующих кинетических уравнений. Развитие этих методов анализа стохастических систем отражено в значительном количестве статей и монографий; к наиболее существенным можно отнести публикации [12-41], а литература, связанная с соответствующими приложениями, еще более обширна (см., например, монографии [40-45] и библиографию в них).
Существует также весьма общий приближенный метод статистического описания, основанный на замыкании цепочек уравнений для моментов (или кумулянтов) выходных переменных с помощью квазигаус-
7
совских разложения высших моментов (или пренебрежения высшими кумулянтами) [46 -53]. Однако отметим, что применяемый в таком виде, кумулянтнып подход далеко не всегда приводит к адекватным результатам, особенно если истинное вероятностное распределение выходных переменных значительно отличается от гауссового. Широко используется лишь его первое — гауссово приближение позволяющее, как правило, качественно верно оценить наиболее простые вероятностные характеристики системы.
При вероятностном описании нелинейных колебательных систем аффективной процедурой, упрощающей анализ, является усреднение по “быстрому” времени [54-56]. Эта операция широко используется непосредственно в динамических уравнениях при переходе к укороченным и флуктуационным уравнениям в системах с относительно слабыми шумами, в частности, при расчете флуктуационных характеристик автогенераторов и параметрических генераторов [57, 58]. С другой стороны, зто усреднение, осуществляемое в уравнении Фокксра-Планка или связанных с ним иных кинетических уравнений, существенно упрощает последние и позволяет решить значительное число задач [40, 42-44, 59]. Ясно однако, что применение такой процедуры требует в общем случае квазилинейности и достаточной добротности колебательной системы и накладывает определенные ограничения на интенсивность и масштаб корреляции случайных сил.
Несмотря на значительное количество используемых методов, проблемы статистического описания динамических систем с интенсивными шумами далеко не исчерпаны. Ощущается необходимость дальнейшего развития как аналитических, так и численных методов анализа стохастических систем в сторону смягчения или снятия традиционных ограничении на масштаб корреляции, интенсивность и вид вероятностного распределения случайных сил.
Отметим также, что существует много актуальных задач статистического описания динамических систем, решение которых нетривиально и в рамках широко используемого диффузионного приближения. Это анализ вероятностных характеристик линейных стохастиче-
8
ских систем общего вида, исследование нелинейных колебательных систем. находящихся под воздействием аддитивных и параметрических шумов [4*2, 43, 73-75], некоторые статистические задачи адаптивной фильтрации на фоне интенсивных помех [76-81], вопросы статистической динамики саморегулирующихся сообществ [82-86] и ряд других.
Чрезвычайно актуальными являются задачи, связанные с нахождением или моделированием нестационарных вероятностных характери-стик стохастических систем. В последние годы значительно возрос интерес к проблемам неравновесного броуновского движения в регулярных и случайных потенциалах, связанный с большим количеством приложений в электронике, физической химии и других областях [45, 87-92]. Для решения отих нестационарных задач приходится комбинировать аналитический и численный подход, а в ряде случаев необходимо выйти за рамки почти традиционных идеализаций, главные из которых — бе-зынерционность частиц и дельта-коррелированность случайных сил. В настоящее время также активно исследуется статистическая динамика систем, описывающих взаимодействие саморегулирующихся сообществ в средах со случайно изменяющимися параметрами. Заметим, что в математическом описании таких систем и в некоторых задачах броуновского движения имеется много общего [45].
В диссертации исследован ряд указанных здесь вопросов статистического описания динамических систем с интенсивными, в том числе и не дельта-коррелированными случайными воздействиями. Под таковыми будем понимать аддитивные или мультипликативные случайные силы, действие которых существенным образом меняет поведение динамической системы. Мы не будем использовать в явном виде предположения о малости эффективной мощности шумов и, там где это возможно, откажемся от ограничений на масштабы их корреляции.
Остановимся на содержании работы.
В главе 1 рассмотрены некоторые математические вопросы вероятностного описания стохастических систем, существенно используемые в дальнейшем анализе.
9
При отыскании вероятностных характеристик систем, находящихся иод воздействием случайных сил, возникает проблема размыкания совместных статистических средних, содержащих эти воздействия и некоторые функции выходных координат. В достаточно простых ситуациях эта задача решается с помощью известной формулы Фуруцу-Новикова [13-15] и предположения о мелкомасштабности случайных сил. В §1.1 получены обобщения этой формулы на совместные кумулянты совокупности: случайная сила — её функционал [93], используемые в дальнейшем для статистического анализа нелинейных систем и линейных стохастических с не дельта-коррелированными шумами. В §1.2 на основании этих результатов найдены соотношения для совместных кумулянтов указанного вида для динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями с гауссовой дельта-коррелированной случайной силой. Установлено, в частности, что при аддитивной случайной силе имеется только корреляционная связь между ней и выходной переменной, а совместные кумулянты, описывающие статистические связи высших порядков, равны нулю.
Как известно, решить уравнения Фоккера-Планка для представляющих интерес вероятностных распределении удается далеко не всегда. Для практических целей часто бывает достаточно знания менее общих характеристик, обычно нескольких первых моментов выходной переменной. Ясно, что в нелинейной системе с дельта-коррелированным шумом искомые моменты зацепляются за высшие. В линейной стохастической системе с не дельта-коррелированными случайными силами подобное зацепление происходит за совместные моменты, а в общем случае имеет место и то и другое.
При решении стохастических уравнений с нелинейностью степенного вида довольно типичной является цепочка уравнений для моментов (или иных статистических характеристик) типа “трехчленного взаимодействия". Подобное характер зацепления возникает при отыскании статистических средних в линейных системах с марковскими флуктуациями параметров и в ряде задач распространения волн в случайно-
10
неоднородных средах [31, 36-41, 93-95]. Известно, что такие цепочки имеют решения в форме непрерывных (или цепных) дробей (см., например, [96-98]).
Б §1.3, содержащем два раздела, рассмотрены некоторые вопросы использования цепных дробей для отыскания стационарных моментов нелинейных систем, находящихся под воздействием гауссовых дельта-коррелированных случайных сил [99]. В п. 1.3.1 исследуются одномерные непрерывные дроби для системы с кубичной нелинейностью. Доказана сходимость таких дробей для моментов стохастического уравнения первого порядка и моментов амплитуды осциллятора с нелинейным затуханием.
Изложена методика построения У-го приближения и нелинейного Лг-го приближения, основанная на использовании конечных отрезков непрерывных дробей. Построение таких приближений физически естественно, поскольку соответствующие им разложения высших моментов связаны с истинным вероятностным распределением переменных линейной системы. Установлен колебательный характер сходимости рассмотренных цепных дробей и показано, что средние значения соседних приближений значительно быстрее сходятся к точным результатам.
В более общей ситуации (многомерная стохастическая система, полиномиальная нелинейность, не дельта-коррелированная случайная сила) характер зацепления искомых вероятностных характеристик может быть сведен к трехчленному взаимодействию с помощью матричного описания [100-102]. При этом решение для искомых моментов имеет вид матричной цепной дроби. В п. 1.3.2 изложен общий подход, названный методом матричных иепных дробей; он является естественным обобщением использования одномерных цепных дробей и имеет подобную же “физическую идеологию”. Показано применение этого метода для отыскания среднеквадратичных характеристик осциллятора с нелинейной реактивностью, приведен соответствующий алгоритм численного анализа, оценена область сходимости.
и
Как известно, идеализация реальных случайных сил дельта-коррелированными, или хотя бы достаточно широкополосными процессами, лежащая в основе получения замкнутых уравнений диффузионного приближения не всегда адекватна.. Есть несколько моделей случайных сил с отличным от нуля масштабом корреляции, допускающих в тон или иной мере, аналитические решения для вероятностных характеристик стохастических систем. Это, прежде всего, телеграфный случайный процесс с пуассоновской статистикой перескоков [40, 41, 33] и его обобщения, известные как процессы Кубо - Андерсона [103, 104]. Это шумы с дискретными состояниями п соответствующие модели случайных сил могут быть весьма искусственными. Известно также, что можно найти некоторые вероятностные характеристики линейных систем с гауссовыми марковскими флуктуациями параметров (определенные результаты в зтом направлении изложены в главе 2).
В §1.4 предложен общий подход построения кинетических уравнений для вероятностных характеристик систем, описываемых нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка или, в общем случае, системой таких уравнений [39]. Действующая на динамическую систему случайная сила полагается гауссовым марковским процессом с произвольным временем корреляции (п.1.4.1), или квадратом такого процесса (п. 1.4.2). В качестве базисных переменных, для которых строятся цепочки кинетических уравнений, выбраны совместные кумулянты, описывающие статистические связи между случайным воздействием и некоторыми функциями выходного процесса. Зацепление кинетических уравнений имеет вид трехчленного взаимодействия, а размыкание этих цепочек на некотором шаге соответствует пренебрежению указанными статистическими связями высших порядков. Аналогичным образом строится цепочка кинетических уравнений для нахождения вероятностного распределения выхода.
Показано, что второе приближение (при котором учитываются только корреляционные статистические связи) для системы с гауссовым марковским шумом адекватно замене его на случайный телеграфный
12
(дихотомический) процесс, а переход в соответствующих уравнениях к белому шуму приводит к известным результатам диффузионного приближения [24, 40]. Здесь же рассмотрено несколько примеров использования предложенного подхода, который существенно использован ниже для отыскания вероятностных характеристик конкретных динамических систем, находящихся под действием не дельта-коррелированных случайных сил.
В §1.5 по тому же принципу строятся цепочки кинетических уравнений для вероятностных характеристик системы, находящейся под воздействием вииоровского шума (или фликкерного шума с показателем спектра 7 = —2) [105]. Эти уравнения подобны полученным в п. 1.4.1. но являются нестационарными, поскольку дисперсия такого шума растет со временем. Естественно, что возможность нахождения аналитических решений здесь крайне ограничена. В качестве примера исследовано второе приближение для моментов амплитуды осциллятора с винеров-скиии флуктуациями потерь. Установлено, что оно качественно верно описывает эволюцию моментов стохастических систем с фликкерными флуктуациями затухания, а именно асимптотическую неустойчивость моментов при ограниченности их на значительном временном интервале [65, ТО].
Статистический анализ линейных систем с флуктуирующими параметрами имеет очень широкий спектр радиофизических и иных приложений. Как уже отмечалось, здесь используются и специальные методы. Статистическому описанию линейных систем с интенсивными флуктуациями параметров посвящена глава 2.
В §2.1 и §2.2 рассмотрение идет в рамках диффузионного приближения, в §2.3 развивается методика статистического описания систем с гауссовыми экспоненциально-коррелированными флуктуациями параметров. В §2.4 исследуются системы с квадратичной (и, в общем случае, степенной случайной параметрикой). §§2.5-2.7 посвящены вероятностному описанию конкретных стохастических систем, находящихся под параметрическим воздействием интенсивных не дельта-коррелированных случайных сил.
13
В §2.1 рассмотрены системы, допускающие томные'* аналитические решения для стационарных вероятностных характеристик. Это стохастическое уравнение первого порядка и линейный осциллятор с флуктуирующими параметрами 106-108]. В п.2.1.1 анализируются стационарные вероятностные распределения выходного сигнала стохастического фильтра 1-го порядка при наличии шумовой и регулярной составляющей на входе, а также выражения для моментов и кумулянтов выхода. Эти результаты находятся достаточно просто и, в основном, известны. Рассмотрение их в настоящей работе связано с тем, что они отражают основные закономерности вероятностных характеристик линейных систем с гауссовыми флуктуациями параметров — неустойчивость высших моментов, обусловленную степенной асимптотикой вероятностного распределения выходного шума. С другой стороны, уравнение первого порядка является модельным для некоторых более сложных стохастических систем, рассмотренных ниже.
В п.2.1.2 рассмотрены вероятностные характеристики стохастического осциллятора. Соответствующее уравнение может описывать линейный фильтр с флуктуирующими параметрами, параметрический усилитель с чисто шумовой накачкой и ряд других систем. Естественно, в силу “популярности” такой модели, ряд вероятностных характеристик её (в основном, при гауссовой дельта-коррелированной параметрике) хорошо известен, начиная с [4, 61]; (см. также [20, 29, 42-44, 71, 68-73]). Нас интересуют общие моменты выходного сигнала и его вероятностное распределение. Отметим, что аналитическое решение даже стационарного уравнения Фоккера- Планка (в переменных у, у) для стохастического осциллятора неизвестно.
На основании точных выражений для нескольких первых моментов найдены моменты гг-го порядка для систем с флуктуациями собственной частоты и потерь. Построены соответствующие стационарные ве-
Употребляемый здесь и принятый в литературе термин “точные решения” относится, как правило, к аналитическим результатам диффузионного приближения, адекватных, чаще всего, полученным классическим аппаратом марковских процессов.
И
роятностные распределения выходной переменной. Установлены условия моментной устойчивости системы.
В п.2.1.3 на основании усредненного по времени уравнения Фок керн ~ Планка найдены вероятностные характеристики амплитуды стохастического осциллятора. Установлено, что степенная асимптотика вероятностного распределения амплитуды 'Юа(А) соответствует закону спадания “крыльев” построенных выше распределений выходного шума шу(у). Выяснены соотношения, связывающие условия моментной и вероятностной устойчивости системы.
В §2.2 рассматриваются вероятностные характеристики стохастических систем общего вида в диффузионном приближении. Система описывается линейным дифференциальным уравнением п-го порядка с гауссовыми флуктуациями параметров. Поскольку в общем случае найти вероятностное распределение выходного сигнала невозможно, находятся менее общие статистические характеристики. В п.2.2.1 получены замкнутые уравнения для средней функции Грина и корреляционной функции выходного сигнала. Отмечено особое влияние флуктуаций диссипативного параметра, являющегося коэффициентом при (п — 1)-й производной в исходном уравнении — в отсутствие этих флуктуаций средняя функция Грина совпадает с невозмущенной.
В п.2.2.2 получены замкнутые уравнения для моментных и куму-лянтных функций общего вида. Установлено, что и отсутствие флуктуаций отмеченного выше параметра, структура этих уравнений соответствует статистической независимости параметрических воздействий и выходного сигнала. В качестве примера найдены выражения для первых четырех кумулянтов отклика стохастического осциллятора на гармонический вход.
Как известно, диффузионное приближение позволяет решать широкий спектр задач статистической радиотехники, распространения и рассеяния воли в случайно-неоднородных средах и других. Тем не менее, в ряде случаев возникает необходимость выйти за рамки условий его применимости, отказавшись от мелкомасштабности случайных воздействий. В работе [22] (см. также монографию [40]) для усреднения сто-
15
хаотических уравнений был предложен метод “последовательных приближений”, основанный на использовании формулы Фуруцу-Новикова и размыкании цепочки уравнений для средних значений вариационных производных выходных переменных на некотором шаге. Отметим, что это мощный метод, осуществляющий в действительности селективное суммирование рядов теории возмущении [34, 109].
Как показано в §2.3 (см. также [38, 39]), такой подход адекватен куму ля нтным приближениям по статистическим связям между действующей на систему случайной силой и выходными переменными. На основе развития этого метода удается получать достоверные результаты для вероятностных характеристик стохастических линейных [31, 34, 109— 112] и не только линейных систем, не накладывая априорных ограничений на интенсивность и масштабы корреляции случайных сил.
В п.2.3.1 установлены соотношения, связывающие средние значения вариационных производных с моментами функции Грина для стохастической системы общего вида. На этом основании получена цепочка интегродифференциальных уравнений типа трехчленного взаимодействия для нахождения средней функции Грина (д(Мо) = д{1 — М- При гауссовых марковских флуктуациях параметров системы это позволяет найти соответствующее преобразование Лапласа или передаточную функцию (У(р), а при наличии лишь одного флуктуирующего параметра при к-іі (к = 0,1,...,п) производной — записать для последней решение в форме непрерывной дроби.
В и.2.3.2 получена цепочка чисто дифференциальных уравнений для получения среднего значения выходной переменной стохастической линейной системы общего вида, базисными переменными которой являются совместные кумулянты. Использование такого описания гораздо удобнее интегродифференциальных уравнений. На основании обобше-ннй формулы Фуруцу - Новикова, полученных в §1.4. установлена полная адекватность функционального и кумулянтного подходов для статистическому описанию линейных систем с гауссовыми флуктуациями параметров.
16
В п.2.3.3 рассмотрены некоторые примеры нахождения вероятностных характеристик по изложенной здесь методике. Отмечены определенные особенности построения приближенных решений: Лг-го приближения, получаемого в пренебрежении совместными кумулянтами, начиная с (Лг -1- 1)-го, и ТУ-го диффузионного, получаемого “диффузионным” замыканием дифференциального уравнения для последнего. Численным образом исследована сходимость метода. Показано, что она имеет место вплоть до границ моментпой устойчивости.
В §2.4 рассмотрено статистическое описание линейных систем с флуктуирующими параметрами, являющимися степенями гауссовых шумов. Основное внимание уделено случаю квадратичной параметрики. В п.2.4Л с помощью функционального подхода получено интсгродиф-ференциальное уравнение, являющееся аналогом приближения Бур-ре [12, 17 для системы с флуктуациями параметров указанного вида. В случае квадратичной и достаточно широкополосной параметрики оно сводится к чисто дифференциальному, являющемуся аналогом уравнения диффузионного приближения для соответствующих систем с гауссовым И флуктуациями параметров.
В п.2.4.2, с использованием кумулянтного подхода, строится цепочка кинетических уравнений для отыскания статистических средних в линейных системах общего вида с флуктуациями параметров, являющимися квадратом гауссова марковского процесса [113]. Установлено, что как и в случае гауссовой параметрики, преобразование Лапласа выходного сигнала здесь имеет вид непрерывной дроби.
В п.2.4.3 рассмотрены некоторые примеры статистического описания систем с квадратичной параметрикой. Наиболее существенным здесь является нахождение моментов выхода стохастического уравнения, описывающего установление огибающих управляющего напряжения в системе автокомпенсации помех с корреляционной обратной связью [76-79]. Получены среднее значение огибающей и сё дисперсия, показано что использованное для этих целен второе приближение дает вполне адекватные результаты, оценены соответствующие условия
17
применимости. Приведено также точное выражение для среднего значения огибающей в форме цепной дроби.
В §2.5 метод матричных цепных дробей применен для нахождения средней (или эффективной) частотной характеристики линейной системы общего вида с гауссовыми экспоненциально-коррелированными флуктуациями параметров [114]. Использованный подход не накладывает ограничении на интенсивность и масштабы корреляции параметрических воздействий, кроме естественного условия устойчивости стохастической системы в среднем. В качестве примера найдена эффективная частотная характеристика резонансной системы с флуктуациями собственной частоты и потерь, выяснена её зависимость интенсивности и ширины спектра флуктуаций. Соответствующая численная процедура сходится с контролируемой точностью в области устойчивости системы.
В §2.6 этим же методом исследуются энергетические характеристики осциллятора., находящегося под воздействием интенсивного параметрического шума [102, 112]. В п.2.6.1 рассмотрено возбуждение резонансным шумом с произвольной шириной спектра, огибающая которого может быть гауссовым пли телеграфным процессом. Показано, что вероятностные характеристики огибающей выхода можно найти на основе стохастического уравнения 1-го порядка, рассмотренного в п.2.3.3. Установлено, в частности, что порог среднеквадратичной устойчивости системы не зависит от времени корреляции накачки, а определяется только её спектральной плотностью на параметрической частоте. Обсуждены отличия возбуждения системы гауссовым и телеграфным шумом, которые достаточно заметны в случае узкополосной шумовой накачки.
В п.2.6.2 рассмотрено действие на систему интенсивных флуктуаций собственной частоты и потерь с “розовым” спектром мощности (т. е. лореицовым спектром с максимумом в нуле произвольной ширины). Анализ производится методом матричных цепных дробей, построенных на базе совместных кумулянтов флуктуаций параметров и квадратичных характеристик выходного шума.
18
Установлена область среднеквадратичной устойчивости системы; численный анализ показал быструю сходимость процедуры вплоть до границы устойчивости (где средняя мощность выхода может отличаться от невозмущенного значения на два порядка).
В §2.7 находятся основные шумовые характеристики одноконтурного параметрического усилителя, накачка которого содержит гармоническую составляющую и интенсивную случайную модуляцию с “розовым” спектром мощности [115-117]. Используемые для получения среднеквадратичных характеристик матрицы имеют здесь фиксированный размер 2 х 2, а средние значения огибающих выхода выражаются одномерными непрерывными дробями, поэтому соответствующая численная процедура несложна. Как и в отмеченных выше ситуациях, она сходится в области среднеквадратичной устойчивости. Исследована зависимость отношения сигнал /шум от интенсивностей регулярной и шумовой компонент накачки, ширины спектра последней и добротности “холодной” системы. Установлено наличие оптимальной добротности, зависящей от параметров регулярной и шумовой компонент. Показано, что именно вблизи оптимальной добротности отличие влияния реальной (“розовой”) накачки от дельта-коррелированной модели весьма существенно.
Рассмотрим содержание главы 3. Как уже отмечалось, флуктуации параметров могут приводить к нарушению моментной устойчивости линейных систем, связанной с медленным спаданием крыльев вероятностного распределения выходных переменных. Физически это означает наличие, может быть достаточно редких, но значительных выбросов шумовой компоненты выходного сигнала. Интенсивное случайное воздействие на параметры колебательных систем может приводить к их возбуждению, что выражается не только в росте моментов выхода, но и в нарушении вероятностной устойчивости — система превращается в шумовой генератор. В такой ситуации линейная модель реальной системы может оказаться физически неадекватной и следует учитывать её нелинейные характеристики, в первую очередь, — возможность нелинейных потерь.
19
Первые два параграфа главы 3 посвящены статистическому описанию некоторых систем с нелинейным затуханием, находящихся под одновременным воздействием аддитивных и мультипликативных случайных сил. Анализ идет в рамках диффузионного приближения. В §3.1 рассмотрено стохастическое уравнение первого порядка, которое может служить модельным при анализе более сложных динамических систем. Для него находится стационарное решение уравнения Фоккера-Планка при наличии нелинейности, описываемой любой нечетной функцией. Анализ выполняется, в основном, для систем с кубичной нелинейностью. Показано, что нелинейные потери устраняют степенную асимптотику вероятностного распределения соответствующей линейной системы и связанную с ней неустойчивость моментов.
Установлено, что при определенном соотношении между интенсивностью параметрического воздействия и коэффициентом кубичной нелинейности вероятностное распределение выходного шума становится гауссовым, т. е. происходит нелинейно-параметрическая нормализация [118]. Показано, что это имеет место и для стохастического осциллятора с кубичной нелинейностью затухания, причем здесь она является “полной” (плотность вероятности выхода не только становится гауссовой, но и совпадает с вероятностным распределением невозмущенной линейной системы). Обсуждены некоторые аспекты применения “классических” кумулянтных приближений [53] и цепных дробей к нахождению моментов выхода стохастических систем с нелинейными потерями [119].
В §3.2 рассмотрены вероятностные характеристики колебательной системы с нелинейными потерями [120, 121], которая может представлять собой нелинейный резонансный усилитель с флуктуирующими параметрами, томпсоновский генератор или параметрический генератор с шумовой накачкой. Анализ выполняется в диффузионном приближении с использованием усреднения по “быстрому” времени в уравнениях релаксации вероятностных характеристик. В п.3.2.1 исследуется влияние дельта-коррелированных случайных сил, а в п.3.2.2 — доста-
20
точно широкополосных с максимумом на основной параметрической частоте или в нуле.
В п.3.2.1 получены стационарные вероятностные распределения амплитуд колебаний для пассивных и генераторных систем с параметрическим воздействием как на собственную частоту, так и на затухание. Установлено, в частности, что в случае пассивной системы (с положительной линейной частью затухания) при шумовом воздействии на собственную частоту режим генерации начинается со значения мощности шума, приводящего к нарушению вероятностной устойчивости соответствующей линейной системы. Режим развитой генерации (при котором наиболее вероятная амплитуда колебаний отлична от нуля) с превышения этого значения в два раза, или превышения условия среднеквадратичной устойчивости линейной системы в четыре раза.
В п.3.2.2 рассмотрено влияние на нелинейный осциллятор широкополосных резонансных (II >> /г, максимум спектра на частоте 2П, где й — полоса системы, — собственная частота, О > к) и широкополосных низкочастотных (II >> к. максимум спектра в нуле) флуктуаций параметров. Анализ выполняется на основе уравнений для синфазной и квадратурной огибающих сигнала, усредненных по периоду колебаний. Получено стационарное вероятностное распределение и моменты интенсивности выходного колебания для пассивных и генераторных систем с шумовым воздействием на собственную частоту и диссипацию.
Выяснены определенные отличия действия на систему дельта-коррелированных и широкополосных флуктуаций потерь, в то время как соответствующие параметрические воздействия на собственную частоту в рамках диффузионного приближения адекватны. Низкочастотные флуктуации собственной частоты не оказывают возбуждающего действия на резонансную систему, как линейную, так и нелинейную (влияние высших параметрических зон диффузионное приближение “не отслеживает”). Установлено, что низкочастотные флуктуации потерь также не могут возбудить систему, хотя, как отмечалось выше, ири-
21
водят к нарушению моментной (но не вероятностной) устойчивости в линейном случае.
В §3.3 рассмотрено применение матричных цепных дробен для нахождения моментов выхода нелинейных колебательных систем [100, 101]. Как отмечалось выше, для системы с нелинейным затуханием при наличии аддитивных и параметрических случайных сил удается осуществить достаточно полное статистическое описание. Для системы с нелинейной жесткостью (реактивностью) без параметрических шумов стационарные вероятностные характеристики находятся из распределения Больцмана. При наличии обеих нелинейностей аналитических решений нет, нет их тем более в случае действия не дельта-коррелированных случайных сил. В тоже время численная процедура, основанная на матричных цепных дробях, является достаточно универсальной и может использоваться для отыскания моментов выхода таких систем. С другой стороны, поскольку условия сходимости этой процедуры для нелинейных систем практически не изучены, определенные результаты в этом направлении удается получить на основании сравнения соответствующих результатов с отмеченными выше точно решаемыми моделями. Это и составляет содержание §3.3.
В п.3.3.1 рассмотрена колебательная систем с кубичной нелинейностью (в жесткости и затухании) при наличии аддитивных и параметрических шумов. Численным образом исследовалась сходимость процедуры матричных цепных дробей. Параметром, определяющим скорость сходимости, как и в рассмотренном выше одномерном случае, является произведение эффективной мощности шума на коэффициент, характеризующий нелинейность. 13 отличие от одномерных цепных дробей, рассмотренных в п. 1.3.1, сходимость матричных накладывает определенные ограничения на величину указанного параметра. При наличии параметрических шумов здесь, как и в одномерном случае, настоящей сходимости нет, имеется лишь “локальная”, когда результат Лг-го приближения стремится к точному значению лишь до определенного значения номера Лг, зависящего от величины шума.
*22
В п.3.3.2 рассмотрена подобная система без параметрических воздействий с нелинейностями, заданными полиномами невысоких степеней (в качестве последних выбраны усеченные разложения в ряд некоторых функций). Для случая нелинейной реактивности стационарные моменты выхода ищутся на основе статистически эквивалентного модельного уравнения Ланжевена 1-го порядка, а для системы с нелинейными потерями — исходя из усредненного по “быстрому” времени кинетического уравнения для моментов интенсивности. При таком подходе размерность матриц не растет с ростом номера приближения, а определяется только числом учитываемых членов в разложении нелинейностей, что существенно упрощает численный анализ. Оценены условия и скорость сходимости использованной процедуры.
В §3.4 рассмотрено нелинейное стохастическое уравнение 1-го порядка “генераторного” типа, трактуемое как уравнение Ланжевена для броуновских частиц в случайно меняющемся потенциальном профиле с двумя симметричными равновесными состояниями [122]. Найдена стационарная плотность вероятности координат частиц; показано, в частности, что в рассматриваемой системе также возможна нелинейно-параметрическая нормализация. Выяснено, что интенсивные флуктуации потенциала приводят к исчезновению равновесных состояний (с ростом параметрического шума максимумы распределения сближаются, сглаживаются и сливаются в нуле).
Для рассматриваемой системы возможна “генерация”, т.е. существует стационарное вероятностное распределение и в отсутствие аддитивного шума. В этом случае удается выйти за рамки диффузионного приближения и найти плотиость вероятности второго приближения, соответствующую телеграфным флуктуациям потенциала. Это распределение является финитным, а с ростом времени корреляции параметрического шума у него появляются интегрируемые особенности на границах, означающие существенное увеличение концентрации частиц в соответствующих областях.
23
Последние две главы диссертации в основном посвящены вероятностному описанию нестационарных процессов в нелинейных стохастических системах. Исследование статистической динамики нелинейных систем, подверженных интенсивным случайным воздействиям и, в частности, релаксации вероятностных характеристик броуновского движения, актуально для широкого спектра задач статистической радиофизики, радиоэлектроники, физической химии и других приложений (см, напр., [45, 86-88]). Трудности анализа этих проблем общеизвестны — аналитические решения нестационарных уравнений Фоккера-Планка в нетривиальных случаях найти не удается. Из значительного количества публикаций по данной тематике следует выделить работы [89-92] (особенно последнюю), где получены аналитические результаты для оценки времени установления плотности вероятности координат броуновских частиц в потенциальных профилях весьма общего вида.
Представл яет интерес, однако, получить более детальное и наглядное представление о релаксации хотя бы некоторых вероятностных характеристик (моментов, кумулянтов), на основании которых можно моделировать нестационарную плотность вероятности броуновского движения системы. Отметим также, что в силу очевидных математических трудностей, обычно рассматривается лишь динамика безынерционных частиц, описываемых уравнением Ланжевена 1-го порядка. Практически не исследованными остаются также особенности броуновского движения под действием случайных сил с отличным от нуля масштабом корреляции.
Очевидно, что пытаться решать подобные задачи можно лишь комбинируя аналитический и численный анализ. Определенные результаты в этом направлении приведены в главе 4 (см. также [124-132]), где рассмотрены некоторые аспекты релаксации вероятностных характеристик броуновского движения квазилинейных систем. Термин “квазилинейность” здесь означает не близость системы к линейной, а лишь наличие линейного члена в разложении той или иной нелинейной характеристики.
24
Используемый подход основан на применении матричных цепных дробей в нестационарных задачах: по тем же принципам вводятся векторы. компонентами которых являются моменты координат частиц (при использовании диффузионного приближения), или совместные кумулянты определенного вида (при анализе систем с не дельта-коррелированной случайной силой). Соответствующие разомкнутые цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений численно решаются с начальными условиями, соответствующими тому или иному начальному распределению частиц. Сходимость процедуры контролируется путем сравнения установившихся значений искомых характеристик с истинными, определяемыми на основе стационарных вероятностных распределений.
Численным образом находятся времена релаксации среднего значения и дисперсии, характеризующие динамику установления вероятностного распределения частиц. На основании релаксации нескольких первых моментов строится нестационарная модельная плотность вероятности. Используемые в 4-й главе модельные распределения не имеют истинной стационарной асимптотики; их назначение — дать наглядное представление об эволюцию вероятностного распределения, хотя бы вблизи его вершины. Основной моделью здесь является гауссова плотность вероятности3^, соответствующая линейной системе (или броуновскому движению в параболическом потенциальном профиле).
В §4.1 таким путем рассмотрена релаксация среднего значения и дисперсии координат безынерционных броуновских частиц в потенциальном профиле, описываемом полиномом четвертой степени. Начальные условия могут быть детерминированные, соответствующие начальному распределению в виде дельта-функции или гауссовы. Исследована зависимость релаксации этих характеристик от нелинейности квазиунру-
Гауссова модель, разумеется, не является единственной. Можно использовать любое подходящее (или истинное стационарное) вероятностное распределение, если оно определяется несколькими первыми моментами. Таковыми являются рзлеевское, гамма-раенроделение и ряд других [53, 123, 124].
25
гой силы и интенсивности шума. Численным образом оценена сходимость использованной процедуры.
В §4.2 исследуется релаксация моментов реальных частиц, движение которых описывается уравнением осциллятора с нелинейной жесткостью п нелинейно вязкостью. В п.4.2.1 рассмотрен линейный случай; при этом для гауссовых или детерминированных начальных условий нестационарное вероятностное распределение координат и скоростей частиц также гауссово. Соответствующие аналитические результаты легко находятся и используются ниже для контроля численной процедуры.
В п.4.2.2 изложен общий метод нахождения релаксации моментов координат и скоростей частиц в нелинейном случае и исследовано установление моментов в системе с нелинейной жесткостью. Выяснены определенные отличия в релаксации вероятностных характеристик координат и скоростей. Установлено, в частности, наличие минимума времени релаксации дисперсии координат частиц на границе осцилляторного и апериодического режимов. На основании релаксации средних значений и дисперсий строится эволюция модельных вероятностных распределений координат п скоростей.
Хотя использованный подход позволяет учесть влияние обоих нелинейных факторов, систему с нелинейной вязкостью целесообразно рассмотреть отдельно, использую процедуру усреднения по “быстрому” времени в уравнениях релаксации моментов амплитуды колебаний, как это сделано в п.4.2.3. В линейном случае нестационарное вероятностное распределение амплитуды рэлеевское, такую же плотность вероятности используем в качестве модельной. Исследована релаксация средней интенсивности (I) = (А2) н её дисперсии. Поскольку в данном случае размерность используемых момснтдых векторов не зависит от номера приближения, численная процедура здесь существенно проще, чем при анализе системы с нелинейной жесткостью, и дает адекватные результаты, по существу, при любых значениях нелинейной вязкости и интенсивности шума.
26
При анализе динамических систем, находящихся гюд действием не дельта-коррелированного шума, кроме чисто моментного зацепления, обусловленного нелинейностью, возникает также зацепление за совместные моменты или совместные кумулянты. Как установлено при анализе линейных систем, матричное описание при этом следует строить на векторах, компонентами которых являются совместные кумулянты. Ясно, что такой подход следует применить и для отыскания релаксации вероятностных характеристик “розового” броуновского движения.
§4.3 посвящен анализу броуновского движения в потенциальном профиле под действием экспоненциально-коррелированной случайной силы.
В п.4.3.1 находится стационарная дисперсия координат, выясняется её зависимость от интенсивности и времени корреляции шума. Для сравнения, рассмотрено два способа матричного описания системы: первый основан на совместных моментах, второй — на совместных кумулянтах. Показано, что последний имеет явное преимущество, и именно он используется ниже для анализа релаксации моментов координат броуновских частиц.
В п.4.3.2 рассмотрена релаксация моментов под действием гауссовой марковской случайной силы. Начальные условия — детерминированные или гауссовы. Численная процедура контролируется путем сравнения установившихся значений с результатами, находящимися из стационарных вероятностных распределений, известных в предельных случаях дельта-коррелированной и квазистатической случайной силы. Строится эволюция модельной плотности вероятности.
В п.4.3.3 аналогичным образом рассмотрено броуновское движение иод действием телеграфной случайной силы. В обоих случаях выяснена зависимость времен релаксации среднего значения и дисперсии от мощности шума и вида его спектра. Установлено, в частности, что при отличном от нуля времени корреляции случайной силы эволюция вероятностного распределения с ненулевой начальной дисперсией происходит немонотонно. В процессе релаксации дисперсия проходит через
27
минимум, связанный, по-видимому с тем, что частицы сначала “кучно ссыпаются” со стенок потенциальной ямы и лишь спустя некоторое время не дельта-коррелированный шум устанавливает распределение, соответствующее заданному потенциальному профилю. Этот эффект не является чисто нелинейным, но при нелинейной квазиупругой силе он выражен сильнее.
Здесь лее численным образом найдена релаксация моментов для случая квазистатического случайного воздействия обоих видов. Как показывает анализ, эти квазистатические кривые действительно соответствуют предельному переходу к медленно меняющейся случайной силе в использованной ранее вычислительной процедуре.
В последней пятой главе диссертации рассмотрено вероятностное описание некоторых “принципиально нелинейных” стохастических систем, т. е. таких, у которых нет предельного перехода к линейному режиму при равенстве нулю нелинейных параметров. Это системы генераторного типа и близкие к ним динамические системы, описывающие взаимодействие саморегулирующихся сообществ в среде со случайно изменяющимися параметрами. Основное внимание здесь уделено исследованию релаксации вероятностных характеристик. Отметим, что для таких систем использованная выше методика, основанная на матричных цепных дробях, неприемлема: непрерывные дроби для стационарных моментов расходятся и решать соответствующие им уравнения релаксации не имеет смысла. Для описания релаксации вероятностных характеристик здесь предлагается иной подход, основанный на построении нестационарных модельных вероятностных распределений на базе известных стационарных. Основные результаты этой главы получены в работах [134-141].
В §5.1 и §5.2 рассматривается вероятностное описание динамических систем, связанных со стохастическим уравнением Ферхюльста. Это весьма простое дифференциальное уравнение, являющееся однако “принципиально нелинейным” в указанном смысле и имеющее многочисленные приложения [45, 82-85]. В п.5.1.1 находятся некоторые точные
*28
результаты для стационарных вероятностных характеристик решения этого уравнения при наличии флуктуаций коэффициента роста (или трофического коэффициента*)) и коэффициента внутривидовой конкуренции. Полученные здесь вероятностные распределения используем ниже в качестве модельных при решении нестационарных задач. Статистическое описание выполняется как для численности популяции &•(£), так и для обратной величины $(£) = 1/;г, имеющей смысл “площади”, приходящейся на одну особь. Стохастическое уравнение для последней является линейным, что позволяет исследовать влияние не только дельта-коррелированных флуктуаций параметров на 5-характеристики.
Установлено, что гауссовы флуктуации коэффициента внутривидовой конкуренции приводят к неинтегрируемости моментов численности, а флуктуации коэффициента роста — к неинтегрируемости моментов 5-распределения. Естественно, те и другие оказывают дестабилизирующее влияние на численность популяции. Рассмотрены стационарные вероятностные характеристики для системы с широкополосными и экспоненциально-коррелированными шумами. Установлено, в частности, что в последнем случае “розовые” гауссовы флуктуации параметра оказывают более сильное влияние на дисперсию численности, чем дихотомический шум.
В п.5.1.2 рассмотрена релаксация 5-моментов решения стохастического уравнения Ферхюлъста. Приведено точное решение для средней удельной площади при наличии флуктуаций обоих параметров. Более подробно исследован случай экспоненциально-коррелированных флуктуаций коэффициента роста: получена замкнутая система уравнений релаксации моментов и соответствующие решения для средней плошади и ее дисперсии. Найдена зависимость релаксации этих характеристик от интенсивности и времени корреляции шума.
Исследовать нестационарные вероятностные характеристики уравнения Ферхюлъста аналитически удается только в 5-переменных, хотя более естественном и адекватным был анализ характеристик исходной
^ Здесь л ниже используем “экологическую” терминологию.
29
динамической переменной. Именно это и требуется в радиофизических приложениях, связанных с уравнением Ферхюльста. Решение такой задачи на основе аналитико-числениого подхода рассмотрено в §5.2.
Поскольку найти нестационарное вероятностное распределение для нелинейных систем не удается, альтернативным путем является построение модельной плотности вероятности на основании решения уравнений релаксации нескольких первых моментов или кумулянтов. Для стохастического уравнения Ферхюльста и некоторых связанных с ним систем в п.5.2.1 находится самосогласованная модель нестационарного вероятностного распределения, опирающаяся на известное стационарное. Это означает, что замыкание уравнений релаксации моментов осуществляется на основе точных аналитических соотношений для ста-Iщонарных характеристик, соответствующих моделируемой илотности вероятности. Моделируемое распределение при этом имеет правильную стационарную асимптотику. На основании сравнения с точными решениями для релаксации 5-кумулянтов установлена адекватность такого моде льног о распр еде лени я.
Используя такой подход, в п.5.2.2 рассмотрена релаксация вероятностных характеристик генераторных систем, динамические уравнения которых сводятся к уравнению Ферхюльста. Исследована релаксация моментов интенсивности автогенератора с флуктуациями собственной частоты и параметрического генератора с шумовой накачкой, построена эволюция вероятностного распределения амплитуды колебаний.
Подобным образом в п.5.2.3 рассмотрена релаксация вероятностных характеристик уравнения Ферхюльста с “розовыми” гауссовыми флуктуациями параметра. Анализ выполнен на основе системы уравнений гауссова приближения по статистическим связям совокупности случайная сила - выходная переменная. Интересно отметить, что хотя исходная система уравнений релаксации является приближенной, она дает истинные стационарные значения искомых моментов в предельных случаях как дельта-коррелированного, так и квазистатического шума. Это
30
позволяет построить два нестационарных модельных распределения, имеющих точную стационарную асимптотику в этих предельных случаях. На основании выполненного численного анализа выяснена зависимость релаксации вероятностных характеристик от параметров системы, интенсивности и вида спектра шума, начальных условий.
Как известно, взаимодействие саморегулирующихся сообществ относится к классическим задачам нелинейной динамики [82, 142, 143]. Наиболее простой системой, адекватно описывающей динамику взаимодействия сообщества “хищник-жертва”, является схема Вольтерра-Лоткп. В реальной ситуации параметры среды испытывают флуктуации и система становится стохастической. Некоторые вопросы вероятностного описания подобных систем затрагивались в монографиях [83, 84], см. также [74, 85, 861. В основном рассматривались стационарные характеристики, либо полученные на основе линеаризованных динамических уравнений.
Система Вольтерра-Лотки является принципиально нелинейной в указанном выше смысле и для её вероятностного описания в §5.3 применена методика, использованная выше для уравнения Ферхюльста. В п.5.3.1 найдены стационарные вероятностные характеристики сообществ при наличии дельта-коррелированных флуктуаций параметров среды (трофического коэффициента “жертв” и коэффициента смертности “хищников”). Выяснена зависимость дисперсий численностей от нелинейных параметров системы и интенсивности флуктуаций.
В отсутствие флуктуаций второго параметра анализ упрощается; удается найти стационарные вероятностные распределения численностей, рассмотреть релаксацию моментов и построить самосогласованные модельные распределения вероятностей.
В п.5.3.2 анализ идет в рамках диффузионного приближения. Установлено, что сильные флуктуации трофического коэффициента приводит к “критическому режиму”, когда максимумы вероятностных рас пределений той или иной популяции смещаются в ноль. Найдены границы такого режима. В процессе релаксации эти флуктуации увеличивают
31
амплитуду колебании и время установления стационарных характеристик.
В п.5.3.3 рассмотрено действие на систему гауссовых марковских и квазистатических флуктуаций трофического коэффициента. Здесь анализ выполняется на основе системы уравнений гауссова приближения по совокупности: случайная сила - флуктуации численностей. Как и в подобной ситуации в п.5.2.3, для предельных случаев дельта-коррелированного и квазистатического шума эта системы дает точные стационарные значения искомых моментов. Исследована релаксация наиболее вероятных значений численностей и эволюция модельных распр еде лепи и. Установлено, что дестабилизирующее влияние параметрического шума связано, в основном, с низкочастотной частью спектра. Отмечены определенные отличия в динамике релаксации дисперсий численностей “жертв” и “хищников”, особенно заметные при низкочастотном шуме.
15 Заключении кратко изложены основные результаты, полученные в диссертации.
В Приложении описан алгоритм компьютерной реализации метода матричных цепных дробей (П.1), а также приведен вывод некоторых формул, используемых в основном тексте диссертации. Это получение цепочки кинетических уравнений для плотности вероятности систем с гауссовым марковским шумом (П.2) п построение матричных цепных дробей для нахождения эффективной частотной характеристики стохастических линейных систем общего вида (П.З).
Положения, выносимые на защиту:
1. Получены некоторые обобщения формулы Фуруцу - Новикова для совместных кумулянтов совокупности: случайная сила — выходные переменные, использованные для анализа стохастических систем с не дельта-коррелированными случайными воздействиями.
2. Развит функциональный и кумулянтный подход (и доказана их адекватность) к вероятностному описанию линейных систем с не дельта-коррелированными флуктуациями параметров. Установлена асимп-
32