Вопросы квантовой динамики частицы в структурах с обычной и фрактальной геометрией

Оглавлбшие
Введение................................................................ 6
1 Модифицированный метод матрицы переноса 14
1.1 Введение......................................................... 14
1.2 Постановка задачи................................................ 15
1.3 Матрица переноса дня прямоугольного потенциального барьера и 6 -потенциала..................................................... 1С
1.4 Матрица переноса для систем потенциальных барьеров............... 18
1.5 Физический смысл и основные свойства параметров матрицы переноса 21
1.6 Условия полной прозрачности потенциальных барьеров. Фазовые точки иово]юта и интерпретация условия прозрачности для фаз....... 23
1.7 Условия резонанса для двухбарьерных систем общего вида...........26
1.8 Условия появления широких резонансов для систем специального вида 28
1.9 Связь волновой функции с элементами матрицы переноса.............31
1.10 Уравнения для элементов матрицы переноса........................ 32
1.11 Связь матрицы переноса с решениями уравнения Риккати............34
2 Построепие асимптотических разложений волновой функции с учетом дифференциальных следствий уравнения Риккати 38
2.1 Введение......................................................... 38
2.2 Уравнение Риккати для элемента р(х) матрицы переноса.............39
2.3 Асимптотические разложения волновой функции, регулярные в точках поворот конечного порядка...................................... 41
2.4 Связь параметра разложения с постоянной Планка в точке поворота . 46
2
2.5 Примеры разложений с учетом одного и двух дифференциальных следствий в случае линейного потенциала...................................... 48
Квантовая динамика частицы в периодических структурах 53
3.1 Введение............................................................ 53
3.2 Рассеяние частицы на одномерной системе N одинаковых потенциальных барьеров........................................................ 58
3.2.1 "Сшитое" общее решение уравнения Шредингера для периодических структур 58
3.2.2 Общие соотношения дчя параметров рассеяния ограниченных периодических структур .............................................. 01
3.2.3 Области прозрачности и непрозрачности......................... 02
3.2.4 Отражение от нолубесконечиой периодической структуры .... 03
3.2.5 Связь со спектральной задачей дни бесконечной периодической структуры ........................................................... 04
3.3 Стационарные состояния электрона в периодических структурах но внешнем постоянном однородном электрическом поле.....................00
3.3.1 Постановка задачи............................................. 60
3.3.2 Функциональное уравнение для волновых функций, удовлетворяющих условию симметрии задачи...................................... 08
3.3.3 Решение функционального уравнения............................. 70
3.3.4 О существовании решений, удовлетворяющих условию симметрии задачи........................................................... 75
3.3.0 Бесконечные периодические структуры........................... 77
3.4 Стационарные состояния частицы с переменной массой в периодической структуре во внешнем постоянном однородном электрическом поле 79
3.4.1 Постановка задачи............................................. 79
3.4.2 Ванье-штарковский спектр...................................... 81
3.4.3 Волновые функции и антипересечение уровней.....................84
3.5 Общая характеристика моделей......................................... 87
4 Рассеяние частицы на идеальных фрактальных потенциалах, заданных на канторовом множестве 90
4.1 Введение............................................................. 90
4.2 Рассеяние частицы на самоподобном фрактальном потенциале (СФП), заданном на канторовом множестве....................................97
4.2.1 Постановка задачи...............................................97
4.2.2 Рекуррентные соотношения для СФП соседних уровней..............100
4.2.3 Скейлинговые свойства матрицы переноса СФП ....................103
4.2.4 Функциональное уравнение для матрицы переноса СФП..............104
4.2.5 Обратные рекуррентные соотношения для параметров рассеяния СФП..............................................................105
4.2.0 Решение функционального уравнения для матрицы переноса СФП 108
4.2.7 Обсуждение результатов численных расчетов......................110
4.2.8 Связь предлагаемого подхода с методом ренормгруппы.............114
4.3 Рассеяние частицы на СФП, заданном на обобщенном канторовом множестве ..................................................................110
4.3.1 Постановка задачи..............................................116
4.3.2 Рекуррентные соотношения для параметров рассеяния СФП . . 117
4.3.3 Функциональные уравнения для параметров рассеяния СФП . . 120
4.3.4 Результаты численных расчетов для первых двух типов СФП . 122
4.3.5 Связь решений функциональных уравнений с характеристиками СФП...............................................................125
4.3.0 Матрица переноса СФП третьего типа.............................120
4.4 Рассеяние частицы на фрактальном потенциале в форме канторовой лестницы (КЛ)......................................................133
4.4.1 Постановка задачи..............................................133
4.4.2 Рекуррентные соотношения для матрицы переноса КЛ ..............134
4.4.3 Условие симметрии и функциональное уравнение для матрицы переноса КЛ..........................................................136
4.4.4 Матрица перекоса КЛ с фрактальной размерностью, равной единице..............................................................137
4
5 Волновые функции и времена рассеяния для подпроцессов одномерного законченного рассеяния 139
5.1 Введение..........................................................139
5.2 Постановка проблемы для одномерного законченною рассеяния . . . .143
5.3 Волновые функции для подпроцессов прохождения и отражения .... 145
5.3.1 Амплитуды падающих волн для подпроцессов........................145
5.3.2 Волновые функции для прохождения и отражения в случае симметричных потенциальных барьеров 147
5.4 Характеристические времена рассеяния для подпроцессов.............157
5.4.1 Постановка задачи...............................................157
5.4.2 Локальное и асимптотическое групповые времена рассеяния . . 158
5.4.3 Стартовые точки и асимптотические групповые времена рассея-
ния для подпроцессов в случае прямоугольного потенциального барьера.......................................................162
5.4.4 Время пребывания для подпроцессов...............................164
5.4.5 Ларморово время рассеяния для подпроцессов .....................169
5.4.6 Загадка эффекта Хартмана .......................................180
Заключение................................................................185
Библиография..............................................................190
5
Введение
Как и в любой теории, в квантовой механике существует ряд моделей, которые служат в ней в качестве иллюстрации возможностей ее математического аппарата, и которые, как принято считать, получили в ней исчерпывающее объяснение. В частности, в квантовой теории рассеяния такой моделью является задача о рассеянии частицы на одномерном прямоугольном потенциальном барьере.
В последние десятилетия, когда стали реальностью искусственные квантоворазмерные структуры, выращенные из однородных слоев разных материалов, значение этой модели трудно переоценить, поскольку анализ поперечного электронного транспорта в таких структурах сводится, в конечном счете, к исследованию квантовой динамики частицы в одномерных системах (см., например, [1, 2]). Кроме того, благодаря оптико-механической аналогии, такого же рода задача возникает и в исследованиях распространения света в слоистых средах [3, 4, 5|.
Накопленный за это время опыт показал, что для некоторых структур, представляющих интерес как с прикладной, так и с научной точек зрения, даже в одномерном случае исследование квантовой динамики частицы может представлять серьезную математическую проблему. Сюда относится, например, задача о стационарных состояниях электрона в бесконечных периодических структурах во внешнем постоянном однородном электрическом поле (так называемая ванье-штарковская проблема |б, 7|) и задача о рассеянии электрона на идеальных фрактальных потенциалах (см., например, [8, 9|), заданных па канторовом множестве. Решение первой из них важно для развития теории кристаллических твердых тел, а второй - для изучения предельных свойств предфракталов и явления масштабной инвариантности, которая возникает не только в теории фракталов, но и в теории критических явлений и в квантовой теории поля.
б
Следует еще раз подчеркнуть, что трудности, которые возникают при решении этих двух задач носят чисто математическим характер. Так, в первом случае возникает проблема решения уравнения Шредшнсра с сингулярным потенциалом. Во втором случае главной проблемой является необходимость точного учета геометрии канторова множества, на котором заданы фрактальные потенциалы.
Но, как оказалось, описание квантовой динамики частицы в одномерных структурах сопряжено не только с математическими трудностями. В частности, это было обнаружено в ходе исследования временных аспектов одномерного законченного рассеяния, при решении так называемой проблемы времени туннелирования [10]. Первоначально эта проблема была поставлена как чисто практическая, ибо нужно было научиться оценивать быстродействие приборов, в которых полупроводниковые гс-тероструктуры и сверхрсшеткп используются в качестве элементной базы. Однако, как оказалось, проблема определения времени туннелирования в рамках квантовой механики носит принципиальный характер; все существующие определения времени туннелирования приводят к аномально коротким и даже отрицательным но величине временам туннелирования.
Таким образом, несмотря па давнюю историю, при описании квантовой динамики частицы в одномерных системах возникает ряд проблем, решение которых остается актуальным и в настоящее время, причем как с практической, так и с научной точек зрения.
В данной диссертации представлены результаты оригинальных исследований автора, которые проводились с 1990 года по настоящее время и были направлены на решение перечисленных выше вопросов. Помимо введения и заключения диссертация содержит пять глав. В первой и второй главах представлены два новых метода решении уравнения Шредингера. В третьей и четвертой - точные решения ванье-штарковской проблемы и задачи о рассеянии частицы на идеальных фрактальных потенциалах; обе находились в центре внимания физиков-теоретнков длительное время. И, наконец, в пятой главе представлена новая модель одномерного законченного рассеяния, а также решение па ее основе проблемы времени туннелирования. Кратко остановимся на каждой из этих глав.
В первой главе представлен новый вариант метода матрицы переноса (см.
7
(11, 12, 13, 14, 15, 10, 17, 18, 19, 20(), основной математической конструкцией которого является ушшодуляриаи матрица переноса, представленная как функции трех "тривиальных" параметров - энергии частицы и координат левой и правой границ барьера - и трех "нетривиальных" параметров - вещественных параметров рассеяния, коэффициента прохождения и двух фаз. Для расчета параметров рассеяния получены рекуррентные соотношения, которые позволяют исследовать любые многобарьерные структуры, которые сформированы из гладких потенциальных барьеров, заданных в ограниченных пространственных интервалах, и ^-потенциалов. Кроме того, на основе рекуррентного соотношения для коэффициента прохождения получены условия прозрачности одномерных структур, которые дают простой способ определения значений параметров полупроводниковых гетероструктур, при которых они прозрачны для электронов с заданной энергией. Это важно для целенаправленного создания гетероструктур с необходимыми свойствами. Следут также подчеркнуть, что именно этот вариант метода матрицы переноса лег в основу математических моделей, представленных в главах З-о.
Во второй главе представлен новый способ [21, 22, 23| построения асимптотических разложений для решений одномерного уравнения Шредингера (ОУШ) с любым гладким потенциалом, заданном в ограниченном пространственном интервале. Основная идея подхода - использовать для этой цели дифференциальные следствия уравнения Риккати. Цели использовано достаточное количество дифференциальных следствий, то получаемые таким способом разложения не имеют особенности в классических точках поворота конечного порядка. Асимптотические разложения, получаемые в данном подходе, справедливы во всей области барьера и в этом случае нет необходимости выводить формулы связи (формулы, связывающие решения в иодба-рьерных и надбарьерных областях). Другая важная черта подхода состоит в том, что в нем можно ограничиться лишь главным членом разложения, а точность аппроксимации можно улучшать привлекая новые дифференциальные следствия уравнения Риккати.
Следует заметить, что наш подход (21, 22] был развит независимо от метода [24], где была предложена такая же идея. Кроме того, что оба подхода опубликованы почти одновременно, они существенно отличаются друг от друга. Так, в методе
8
[24] разложения проиодятся, как н в методе Вентцеля-Крамерса-Брпллюэпа (ВКБ) [25|, но степеням /і, где Ь - постоянная Планка. В нашем подходе решения уравнения Рпккатн находятся в виде разложения по степеням некоторой комплексной функции 5(х. И), которая зависит от вида потенциала и которая мала но норме вместе с Я; х - пространственная переменная. Нахождение этой функции сводится к решению алгебраического уравнения (п 2)-го порядка, где п - число используемых дифференциальных следствий уравнения Риккатн.
В третьей главе представлено решение задач о движении электрона в локально периодических и бесконечных периодических структурах, без внешнего ПОЛЯ [20] и при наличии внешнего постоянного однородного электрического поля [27, 28, 29|. Длительное время, начиная с работ Ванье |б| и Зака [7|, шли жаркие дискуссии о характере энергетического спектра электрона в задаче для бесконечных периодических структур во внешнем электрическом поле (проблема Ванье-Штарка). Трудность ее решения связана с тем, что включение внешнего поля делает потенциал сингулярным и портит трансляционную симметрию, которая имеется для бесконечных структур без внешнего поля. Ванье и его последователи, используя однозонное приближение, доказывали, что в этой задаче спектр электрона должен быть дискретным, и позднее это было с хорошей точностью подтверждено в экспериментах, проведенных на сверх решетках. Напротив, Зак и его последователи доказывали, что электронный спектр в данной задаче должен быть непрерывным, п это подтверждали строгие математические результаты, полученные для достаточно гладких потенциалов. Для потенциалов общего вида, без дополнительных условий па гладкость потенциала, характер спектра в данной задаче не был установлен ни в одном из известных подходов. Кроме того, не были получены решения уравнения, удовлетворяющие условию симметрии задачи, которая, хотя и отлична от трансляционной, по все-таки имеется в задаче с внешним полем.
В разделах 3.3 и 3.4 представлены, соответственно, модели [27| и [28|, которые разработаны нами для описания одноэлектронных состояний в периодических структурах во внешнем постоянном однородном электрическом поле. Первая из них базируется на ОУШ - в случае решеток она дает точное решение, ванье-штарковской проблемы для любого потенциала, ограниченного в пределах одного периода ре-
9
шеткн; в частности, в ней определен энергетический спектр электрона и решения ОУШ, удонлетворнющие условию симметрии задачи. Кроме того, эта модель качественно даст энергетический спектр и в панье-штаркопской проблеме для сверхрешс-ток. Однако для определения точного вида электронных состояний в сиерхрешетках эта модель слишком грубая, поскольку кристаллический потенциал в каждом слое сверхрешетки аппроксимируется в ней константой. Во многих работах для этой цели используется уравнение для огибающей волновой функции. В связи с этим, метод, разработанный для анализа электронного спектра в ваиьс-штарковской проблеме на основе обычного ОУШ, был реализован также и на основе ОУІІІ для частицы с переменной массой, которое совпадает по форме с уравнением для огибающей волновой функции, полученном в рамках метода эффективной массы. При этом предполагалось, что ограничения, которые накладывает метод эффективной массы на уравнение для огибающей волновой функции, не распространяются на ОУШ. В частности, в этой модели масса электрона, в отличие от метода эффективной массы, не зависит от энергии частицы. Разработка такой модели оправдана тем, что в работах но ванье-штарковской проблеме для сверхрешеток, которые проводились в рамках метода эффективной массы, зависимость эффективной массы частицы от энергии не учитывалась, ибо, в противном случае, решение задачи становится чрезвычайно сложным.
В четвертой главе представлено решение задачи о рассеянии частицы на самоподобном фрактальном потенциале (СФП) (31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39| - сингулярном потенциале, отличном от нуля в точках канторова множества. Кроме того, здесь представлены результаты, полученные в |40) для потенциала в форме "канто-роиой лестницы". Обе задачи интересны тем, ч то позволяют, в рамках сравнительно простых моделей, детально исследовать свойство масштабной инвариантности, которая появляется не только в теории фракталов, но и в квантовой теории поля и в теории критических явлений. При этом важно подчеркнуть, что, в отличие от всех известных подходов, которые были разработаны, например, для исследования параметров рассеяния СФП, предлагаемые модели являются точными. Кроме того, они базируются на обычном ОУШ, а не на модельных уравнениях Шредннгера, которые возникают в исследованиях квантовой динамики частицы в случайных фракталь-
10
ных средах. В предлагаемых моделях фрактальная размерность появляется в ходе решения задачи, а не как входной параметр.
В пятой главо представлено решение [41, 42, 43| проблемы времени туннелирования. Как известно, в существующих подходах, основанных на стандартной модели одномерного законченного рассеяния (ОЗР), время туннелирования может быть аномально коротким (парадокс Хартмана) и даже отрицательным по величине, что является физически неприемлемым результатом. С нашей точки зрения (см. [44. 45, 4G, 47, 48]), трудность определения времени туннелирования в рамках стандартной модели ОЗР связана с тем, что волновой пакет, описывающий состояние электрона в дайной задаче в начальный момент времени, распадается после рассеяния на прошедший и отраженный волновые пакеты, локализованные в разных пространственных областях. Как следствие, измерение физических наблюдаемых, характеризующих частицу после рассеяния, предполагает наличие двух детекторов, а вся совокупность (идентичных) измерений естественным образом разбивается на две части - на экспериментальные данные для прошедших частиц и данные для отраженных частиц.
Согласно теории вероятностей, экспериментальные данные, которые получены в разных (иендентичных) сериях измерений, не могут описываться одним и тем же (колмогоровским) вероятностным пространством (см., например, [40, 50|). Отсюда следует, что данные измерений, полученные с помощью двух разных детекторов (хотя и в рамках одного и того же экспериментального исследования ОЗР) не могут описываться общим вероятностным пространством. Поэтому в данной задаче (средние) характеристические времена рассеяния должны вводиться для прошедших и отраженных частиц отдельно, а сам одиочастичиый процесс одномерного закопченного рассеяния должен рассматриваться как объединение двух одночастичных подпроцессов - прохождения и отражения.
Проблема заключается в том, что хронометрирование движения электрона в барьерной области для каждого подпроцесса возможно лишь в том случае, если эволюция каждого из них в этой области известна. Однако стандартная модель ОЗР не предполагает индивидуальное описание подпроцессов на всех этапах рассеяния. Таким образом, решение проблемы времени туннелирования в рамках этой модс-
11
ли невозможно п принципе. Действительно, определение характеристических времен рассеяния, как средних значений для всего процесса, противоречит теории вероятностей, и игнорирование этого факта как раз и приводит в стандартной модели ОЗР к парадоксу Хартмана. С другой стороны, определение времени туннелирования, как характеристики подпроцесса прохождения, и стандартной модели, как уже было сказано, не может быть реализовано из-за отсутствия необходимой информации об эволюции данного подпроцесса в области барьера.
В то же время, как показано в |41, 42, 43| на примере симметричных потенциальных барьеров, уравнение Шрсдиигсра позволяет получить необходимую информацию о подпроцессах. Как оказывается, для заданного потенциала и заданного начального условия волновая функции, описывающая ОЗР, может быть единственным образом представлена в виде суммы двух функций, описывающих подпроцессы прохождения и отражения на всех этапах рассеяния. Таким образом, в пятой главе, помимо решения проблемы времени туннелирования, представлена также и новая модель ОЗР.
В диссертационной работе были поставлены следующие задачи
1. Совершенствование метода матрицы переноса, которое предполагает вывод чис-
ленно устойчивых рекуррентных соотношений для параметров рассеяния и вывод на их основе условий прозрачности для одномерных систем общего вида.
2. Обобщение метода ВКБ с: целью построения всюду регулярных асимптотических
разложений для решений одномерного уравнения Шредингера с любым гладким потенциалом, заданным в ограниченном пространственном интервале, при наличии классических точек поворота.
3. Развитие нового подхода к решению ваиье-штарковской проблемы на базе уравне-
ний Шредингера для частиц с постоянной и переменной массой, пригодного для потенциалов, ограниченных в пределах одной ячейки периодической структуры и в общем случае не являющихся гладкими.
4. Определение параметров рассеяния самоподобного фрактального потенциала и
12
потенциала и форме кангоровой лестницы с учетом геометрии каиторова множества, на котором заданы оба потенциала.
5. Развитие квантовомеханической модели одномерного законченного рассеяния, как объединения подпроцессов прохождения и отражения, предусматривающей описание подпроцессов на всех этапах рассеяния и определение времени рассеяния для каждого подпроцесса.
13
Глава 1
Модифицированный метод матрицы переноса
1.1 Введение
В настоящее время разработано множество разных методов решения ОУ111. Однако наиболее популярными среди них являются метод матрицы переноса и метод матрицы рассеяния (см., например, (1, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58)), которые позволяют в конечном счете выразить решение через параметры рассеяния - амплитуды рассеяния и фазовые характеристики рассеянных воли. Сюда же следует отнести и метод фазовых функций (см. [59] и ссылки в ней), который ориентирован на решение задач с гладкими потенциалами.
В отличие от метода фазовых функций, методы матрицы переноса и матрицы рассеяния больше подходят для решения ОУШ с разрывными потенциалами. В принципе, оба метода позволяют решить эту задачу для любого разрывного потенциала, однако на практике эффективность этих методов различна. Если в численных расчетах требуется высокая точность, то используется метод матрицы рассеяния, поскольку этот метод численно более устойчив чем метод матрицы переноса. В остальных случаях, например в аналитических исследованиях, более предпочтителен метод матрицы переноса. И связано это с одним замечательным свойством матрицы переноса - для системы двух потенциальных барьеров общего вида эта матрица равна произведению матриц переноса отдельных барьеров.
14
Как показали наши исследования, метод матрицы переноса может быть существенно усовершенствован. Мы разработали новый вариант этого метода (см. [11, 13)), который выгодно отличается от известных ранее. Он удобен для решения ОУШ с любым кусочно-гладким потенциалом и практически не уступает методу матрицы рассеяния с точки зрения численной устойчивости. Кроме того, рекуррентные соотношения, полученные в (11, 13], позволили извлечь важную информацию о свойствах потенциальных барьеров, не прибегая к численным расчетам. В частности, на их основе удалось получить точпые условия прозрачности для системы двух потенциальных барьеров общего вида и дать им наглядную физическую интерпретацию (см. [11, 15|). Ранее точные условия прозрачности были получены лишь для системы двух прямоугольных потенциальных барьеров (см. [00]). Полученные условия прозрачности могут быть, например, полезны для целенаправленного создания полупроводниковых гетероструктур, прозрачных для электронов с заданным значением энергии. В настоящее время значительный успех в "квантовом конструировании "был достигнут в рамках метода обратной задачи рассеяния (см. |(П|). В этом смысле оба подхода дополняют друг друга.
Следует также отметить, что предлагаемый вариант метода матрицы переноса справедлив не только для ОУШ, но и для уравнения для огибающей волновой функции, которое возникает в рамках метода эффективной! массы и которое широко используется для описания движения электрона в полупроводниковых гетероструктурах и сверхрешетках (см., например, [62, 63, 64]). Однако далее, уравнение для огибающей волновой функции мы будем рассматривать как ОУШ для частицы с переменной массой (см., например, [65]), не связывая его с ограничениями, которые налагаются методом эффективной массы на условия применимости уравнения дли огибающей волновой функции. В частности, в данной модели масса частицы не зависит от ее энергии.
1.2 Постановка задачи
Пусть дано ОУШ для частицы с переменной массой
(1.2.1)
15
где Е - энергия частицы; гп(х) - ее масса (гп(х) > 0); V{x) - потенциальная энергия частицы; х - пространственная переменная.
Требования (см. |СЗ]), предъявляемые к решениям уравнения (1.2.1) состоят в том, что для любого кусочно-гладкого потенциала V(x) и массы т.(гг) функции Ф(х) и должны быть всюду непрерывны, включая точки разрыва потенциала
V(x) н массы т(х). Таким образом, если точек разрыва много, то возникает проблема нахождения решений исходного уравнения, удовлетворяющих условиям непрерывности. Предлагаемый здесь вариант метода матрицы переноса позволяет эффективно решать эту задачу.
Одним из важных понятий предлагаемого подхода является понятие о "внеба-рьерпых областях", под которыми понимаются интервалы па оси ОХ, где V(x) = 0, а эффективная масса частицы совпадает с массой свободной частицы: т(х) = ш0, где tiiq - const. Если з некотором пространственном интервале нарушено хотя бьт одно из этих двух условий, то это значит, что в данном случае мы имеем дело с барьерной областью. Очевидно, что при тп(х) = тп0 уравнение (1.2.1) совпадает с "обычпым"
Заметим, что общие решения но внебарьерных областях находятся тривиально. Поэтому главная задача, которую нужно решить в этом случае, - это связать общие решения в смежных внебарьерных областях.
1.3 Матрица переноса для прямоугольного потенциального барьера и 6 - потенциала
Рассмотрим сначала случай прямоугольного потенциального барьера (или ямы)
где постоянная величина У\ может быть как положительной, так и отрицательной; тп\ - постоянная положительная величина; а ч Ь - координаты левой и правой границ барьера, соответственно.
Далее пусть индексы (0,1) и (1,2) обозначают впебарьерные области, лежащие слева и справа от барьера, соответственно; а индекс (1) пусть обозначает барьерную
ОУШ.
если х е [о, 6] если х £ [а. 6]
если X € [а, 6] если х £ [а, 6]
область. Тогда общие решения для каждой из трех областей запишутся в виде
ф(о.1)М = Л^}) ехр(ш0х) 4- ехр(-гк0х) (1.3.2)
{А№ ехр(гкіх) + Л/Г? ехр(—ікіх'), если Е > Уу
м < (1-3'3)
АЪу ехр(-кхх) + Ащ с.хр(к[х), если Е < Ух Ф(і,2)(*) = Л{+2) ехр(а'«0ж) + Л^2} ехр(—(1.3.4) здесь и - произвольные константы; /с0 = \f2moEjfi;
«і = \/2тх(Е — У\)/Н, если Е > У\\ иначе Ку = \/2т\{У\ - Е)/Н.
13 точках х = а и х = 6, где потенциал и масса часгицы имеют разрыв, должны
выполняться условия
.„м..,,«.
.<„<*>-^- і■
Из этих условий, после несложных, но громоздких вычислений, находим
А(0,1) = УА(1,2), (1.3.5)
где У - матрица переноса;
А= I Л^~1'П) ) , 72 = 1,2.
Матрица переноса, как для надбарьерного (Е > Ц), так и для подбарьерноіч) (Е < У\) случаев, записывается в виде
V = ( д Р I (1.3.0)
Р' я4
где
Р
Я = 1 — Т, 5 = 6 +а, сі = Ь ~ а - ширина барьера.
я = ^ ехр (і («о<* -*/)); (1-3.7)
= \[^ єхр («(| - + ^)); (1-3.8)
17
Вещественные параметры Г, J и F для прямоугольного барьера определяются следующими выражениями. Для К < Vj,
т =_________1________-
1 + [OW sinh(v?)]2J
J = arctan tanh(v?)] , F = 0. (1.3.9)
Для Е >Vі
Т =
F =
1 + [0(-)sm(v?)]2’
J — arctan [0(ь) tan(y>)] 4- mг; (1.3.10)
0, если sin(<£) > 0
1
7Г, если sin((f) < 0
п = 0, если cos(v?) > 0; в противном случае п = 1. В обоих случаях
0(±)
2 \кл «-.0/ ip = K\d\ ко = ко/то; к\ = к\/тл.
Заметим, что из (1.3.9) и (1.3.10) несложно получить соответствующие выражения для <5-иотенциала V(x) = W 6 (х — а), где W - мощность 6-потенциала. Для этот достаточно в (1.3.9) и (1.3.10) положить V\ = W/d и перейти к пределу d —* 0. В результате получаем
Т — -—J = — arctan(a');
1 ■+■ от
{0, если W > 0 m0W
I «-*?—. (1.3.11)
7Г, если W <0 п Kq
Коэффициент прохождения 6-потенциала не зависит от знака W.
1.4 Матрица переноса для систем потенциальных барьеров
Рассмотрим потенциал Р(х), который описывает систему N прямоугольных потенциальных барьеров и ям (которая может включать также и 6-потенциалы).
18