Аномальные размерности составных операторов в максимально-расширенной суперсимметричной калибровочной теории

Оглавление
Глава I Введение 6
Глава II Уравнения эволюции в КХД 11
2.1 КХД................................................................... 11
2.2 Уравнение ДГЛАП ...................................................... 13
2.2.1 Партоиная модель........................................... 13
Обратимость Грибова-Липатова: Функции распределения .... 17
2.2.2 Операторное разложение..................................... 18
Обратимость Грибова-Липатова: Аномальные, размерности ... 26
2.2.3 Факторпзационная теорема в КХД............................. 27
2.3 Уравнение ЕР-БЛ....................................................... 28
2.4 Уравнение БФКЛ........................................................ 32
2.4.1 Теория Редже ................................................. 32
2.4.2 Многореджеонные процессы в КХД............................. 36
2.4.3 Уравнения БФКЛ и ДГЛАП пД^-4 СЯМ теории....................39
2.4.4 Дважды логарифмы...........................................44
Глава III Аномальные размерности операторов Вильсона твиста-2
в А/” = 4 СЯМ теории 48
3.1 ЛГ = 4 суперсимметричная теории Янга-Миллса............................48
3.2 Вычисление двухпетлевых матричных элементов операторов Вильсона твиста-2................................................................. 50
3.2.1 Неполяризованный случай.................................... 53
3.2.2 Поляризованный случай...................................... 58
3.3 Аномальные размерности операторов Вильсона твиста-2 при ненулевом переданном импульсе в N = 4 СЯМ теории........................ 60
3.3.1 Конформные операторы твиста-2 в N — 4 СЯМ теории...............60
3.3.2 Суиерсимметричиое тождество Уорда............................. 61
3.3.3 Универсальная аномальная размерность в N = 4 СЯМ...........65
3.4 Трёхпетлсвая аномальная размерность операторов Вильсона твиста-2
в N — 4 СЯМ теории . .......................................... 68
3.4.1 Принцип максимальной трансцендентности........................ 69
3.4.2 Трехпетлевые поправки к универсальной аномальной размерности 70
3.4.2.1 Предел ос.......................................... 71
3.4.2.2 Предел j 1......................................... 71
2
3.4.2.3 Предел у —\ — I —г, г > О ............................. 72
3.4.3 Связь с интегрируемостью....................................... 73
Глава IV Асимптотический Бете-анзатц 74
4.1 Введение............................................................. 75
4.1.1 Аномальные размерности из спиновой системы......................77
4.1.2 Бете-анзатц для N = 4 СЯМ спиновой цепочки......................81
4.1.2.1 Бсте-аизатц для .57/(2) сектора в одной петле...........81
Одно-магнонный случай.....................................83
Двух-магнонный случай.................................... 84
М-магнонпый случай........................................85
4.1.2.2 Бете-анзатц для 5Х(2) сектора в одной петле.............86
4.1.2.3 Сохраняющиеся заряды . . . ............................88
4.1.2.4 БМН формула для подхода Бсте-анзатца....................88
4.1.3 Теоретики-групповой подход......................................89
4.1.4 Высшие петли в 5П(2) секторе....................................92
4.1.5 БДС модель .................................................... 93
4.1.5.1 Уравнения Бете для струн................................98
4.2 Проверка всспетлевого асимптотического Бете-анзатца...................100
4.2.1 Четырёхиетлевая аномальная размерность операторов твиста-2 101
4.2.2 Четырёхиетлевая аномальная размерность операторов твиста-3 105
Глава V Пертурбативные вычисления 108
5.1 Введение..............................................................108
5.1.1 Топологии......................................................110
5.1.2 Генерация диаграмм.............................................115
5.1.3 Вычисление диаграмм............................................116
5.1.3.1 БАМБА..................................................116
5.1.3.2 Разложение.............................................120
5.2 Планарный Кониши......................................................123
5.3 Лидирующий трансцендентный вклад в четырёхпетлевую аномальную размерность операторов твиста-2............................................127
5.4 Непланарный Кониши....................................................130
5.4.1 Непланарный вклад в четырёхпетлевую несинглстпую аномальную размерность в КХД................................................134
5.5 Четырёхпетлевая бэта-функция пЛ,’ = 4 СЯМ теории......................136
Глава VI Вычисление краевых эффектов 139
6.1 Введение..............................................................139
6.1.1 Диаграммный вывод формул Люшера................................140
6.1.1.1 Функции Грина..........................................140
6.1.1.2 Связь с Э-матрицей.....................................143
6.1.2 Четырёхиетлевая аномальная размерность оператора Кониши . 145
6.1.2.1 Оператор Кониши и краевые эффекты......................145
3
6.1.2.2 Эффекты конечной длины для многочастичных состояний - релятивистские теории..................................147
6.1.2.3 Уравнения ТБ А для учёта эффектов конечной длин . . 147
Эффекты конечной длины для основного состоянии . . . 14S
Эффекты конечной длины для движущегося одночастинного состояния..........................................148
Эффекты конечной длины для многочастичных состоянии - диагональное рассеяние............................149
Эффекты конечной длины для многочастичных состоянии - нсдиагоналыюе рассеяние и случай АдС..............151
6.1.2.4 Составляющие части для вычисления Кониши......................153
S-матрица для симметричного и антисимметричного представлений ..............................................154
Скалярный множитель.............................................155
Матричная часть.................................................155
6.1.2.5 Вычисление Кониши.............................................158
6.1.3 Четырёх петлевая аномальная размерность операторов твиста-2 160
Виртуальные частицы и экспоненциальный множитель . . 161
Матрица рассеяния .............................................162
Скалярная часть.................................................162
Матричная часть.................................................163
6.1.3.1 Вычисление обёртынательных поправок...........................163
Обёртывательные поправки для нечётного числа частиц . 165
6.1.3.2 Вычисление интеграла и результат..............................166
6.1.3.3 Асимптотика и сравнение с БФКЛ................................167
6.1.4 Пятипетлевая аномальная размерность операторов твиста-3 . . . 169
6.1.5 Пятипетлевая аномальная размерность оператора Кониши ... 172
6.1.5.1 Терм один май ческий Бете-анзатц..............................173
6.1.5.2 Многочастичные формулы Люшера ..............................‘.175
6.1.5.3 Фаза одевания.................................................176
Фаза одевания для физических частиц.............................177
Фаза одевания в лютеровской кинематике..........................178
6.1.5.4 Вычисление обёртывательных поправок.......................178
Асимптотический Б(гге-аназтц....................................178
Общая структура обёртывательных поправок........................179
Лидирующий вклад................................................182
Пятипетлевой интегрант .........................................183
Матричная часть.................................................183
Скалярная часть.................................................183
Экспоненциальная часть .........................................184
Фаза одевания...................................................184
Модификация асимптотического Вете-анзатца.......................185
Вклад Yq'2\q)...................................................385
6.1.5.5 Интегрирование и результат....................................185
6.2 Пятипетлевая аномальная размерность операторов твиста-2.....................186
4
6.2.1 Структура аномальной размерности ..............................1S7
6.2.2 Пятипетлевая аномальная размерность из АБА.....................187
6.2.3 Вычисление оббртывательных поправок............................190
6.2.3.1 Четырёхиетлевой интегрант Yq^.........................191
6.2.3.2 Вывод У(10’°>...........’.............................192
6.2.3.3 Скалярная часть ......................................192
6.2.3.4 Фаза одевания.........................................192
6.2.3.5 Экспоненциальная часть................................193
6.2.3.6 Матричная часть.......................................193
6.2.3.7 Вычисление Yq>2^......................................194
6.2.3.8 Модификация АБА.......................................195
6.2.4 Вычисление и результат ........................................196
6.2.5 Асимптотика и сравнение с БФКЛ.................................199
6.3 Шестипетлевая аномальная размерность операторов твиста-3.............200
6.3.1 Шестипетлевая аномальная размерность из АБА....................200
6.3.2 Обёртывательиые поправки.......................................203
6.3.3 Вычисления и результат.........................................205
6.3.4 Асимптотика и аналитическое продолжение........................209
Глава VII Заключение 211
Приложение А 214
Правила Фейнмана.........................................................214
Однопетлевые конечные части .............................................216
Приложение В 217
Собственные значения матрицы рассеяния................................. 217
Вклад нулевого порядка .......................................217
Вклад первого порядка.........................................218
Собственные значения SM(2\2),Q...........................................219
Бозоны: одна петля............................................219
Бозоны: две петли.............................................220
Бозоны: три петли.............................................220
Фермионы: одна петля .........................................222
Фермионы: две петли...........................................222
Фермионы: три петли...........................................223
Диагональные элементы GdStu(2\2),QO~l ...................................223
Бозоны: одна петля............................................223
Бозоны: две петли.............................................223
Фермионы: одна петля .........................................225
Фермионы: две петли...........................................225
Приложение С 226
Специальные суммы........................................................226
5
Глава I. Введение
Фундаментальные взаимодействия элементарных частиц описываются посредством квантовых теорий поля, которые позволяют получать количественные результаты и сравнивать их с экспериментом. Возможность получения таких результатов обусловлена возможностью вычисления различных физических величин с помощью разложения по константе взаимодействия, рассматриваемой как малый параметр. Не смотря на то, что квантовые теории поля дают отличные результаты для малой константы взаимодействия, весьма затруднительно получить с их помощью результаты для больших значений константы связи. Кроме того, описание гравитации как квантовой теории поля всё ещё неосуществимо. Одной из интересных возможностей разрешения данных проблем является знаменитая дуальность между многомерной квантовой теорией гравитации (суиерструной) и калибровочной теорией в низшем числе измерений, которая чрезвычайно активно изучается последние десять лет. Дуальность означает, что каждое предсказываемое явление и величина в одной теории имеет аналог в другой теории. Наиболее известной является дуальность между супергравитацией в многомерном пространстве анти-де Ситтера (АдС) с одной стороны и максимально расширенной N = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса (конформной теориеп поля - КТП) на четырёхмерной границе пространства анти-де Ситтера с другой стороны, предложенная Малдацеиой [1] и развитой в работах [2. 3]. Эта дуальность известна как АдС/КТП-соотвегствне.
Первоначальная идея дуальности между струной и калибровочной теорией принадлежит ’тХоофту [4], который понял, что пертурбативное разложение ££/(АГ) калибровочной теории поля в пределе больших N может быть истолковано как разложение по родам дискретной двумерной поверхности построенной из фсйнмановских диаграмм теории поля. То есть 1/И разложение учитывает род фсйнмановских диаграмм, в то время как ’т хоофтовская константа связи Л := рум N (с г/ум означающей константу взаимодействия калибровочного поля) нумерует число иегсль. Например, разложение по родам поверхности для свободной энергии Р в 31) (А/) калибровочной теории в ’т хоофтовском пределе (/V -> оо с фиксированным Л) имеет следующий наглядный вид
3=0 1=0
с соответствующими коэффициентами с01 обозначающими вклады от рода поверхности (/ и количества петель /. Очевидно, что это 1/М разложение напоминает пертурбативное разложение теории струн со струнной константой связи
АдС/КТП-соответствие является первой конкретной реализацией этой идеи для четырёхмерных калибровочных теорий. В чистом виде АдС/КТП-соответствие идентифицирует суперструны типа ИВ в десяти измерениях пересечения пятимерного пространства анти-де-Ситтер и пятимерной сферЕ,! х 55) с максимальной суперсимметричной теорией Янга-Миллса с калибровочной группой (Л'* = 4
б
СЯМ теории) в четырёх измерениях. N = 4 СЯМ теория является квантовой конформной теорией поля, так как её /9-функция в точности равна нулю. Струнная модель определяется двумя параметрами: струнной константой связи д§ и эффективным струнным натяжением Я2/а' где Я есть общий радиус АЛБъ и геометрий. Калибровочная теория, с другой стороны, параметризуется калибровочной группой ранка N и константой связи г/ум, или, эквивалентно ’т хоофтовской константой связи Л = д}м N. В соответствии с АдС/КТП гипотезой эти два набора параметрові определяются как
Мы видим, что в АдС/КТП гипотезе струнная константа связи дастся не просто 1 /ЛГ, ио идёт вместе с линейным множителем А. Это, однако, не меняет разложения но родам поверхностей и её интерпретации в виде струны на мировой поверхности.
Уравнения (1.2) связывают константы взаимодействия, но существует так же словарь между возбуждениями теорий. Соответствие идентифицирует собственные значения АйЭ5 х струны, которые мы обозначим схематически как \Оа) с индек-
сами А, с соответствующими составными операторами калибровочной теории вида О А — ТЬ(Фц фхг • --Фхп)’ гДе (Фі)аЬ ЯВЛЯЄТСЯ 9ЛЄМЄНТ&рНЬШИ ПОЛЯМИ N — 4 СЯМ ТЄО-рии (и их коварнантыми производными) в присоединённом представлении 8и(іїг), то есть N х N эрмитовыми матрицами. Собственное значение энергии Е струнного состояния по отношению ко времени в глобальных координатах предполагается равным размерности Д дуального оператора калибровочной теории, который в свою очередь определяется из двухточечной функции конформной теории поля
рии Р5£/(2,2|4) двух теорий, которые обеспечивают представления при преобразованиях Оа{х) и | О а) Это даёт подсказку о том, как можно было бы создать явный словарь: струнные состояния/калибровочные операторы.
Идентификация планарной калибровочной теории со свободной струной (д3 = 0)
струнная теория должна давать точную всепетлевую аномальную размерность калибровочной теории в пределе больших Аг! К сожалению, однако, паши знания о струнном спектре в искривлённом пространстве, даже в таком высоко-симметричном как АЛвб х 55, по прежнему малы. По-этому в течение долгого времени исследования соответствия со стороны струн были ограничены областью низко-энергетического эффективного теоретико-полевого описания А(18ь х 55 струн в терминах суперграви-тащш типа ИВ. Это, однако, неизбежно ограничивало рассмотрение к незначительно искривлённой геометрии в струнных единицах, то есть к области у/\ » 1 в силу (1.2). Со стороны калибровочной теории возможно было контролировать только пертурба-тпвный режим, где А 1, что несовместимо с пределами режима супергравитацип
4тгА
(1.2)
Шх)Ов(у)) =
М 6А, В
«■ Из.гіпЕ I о а) = Ел(^,9ї) I оА) (1.3)
II2
(1.4)
В нулевом порядке проверкой гипотезы является согласие супергруппы симмет-
выглядит вполне осуществимой и чрезвычайно интересной: свободная АйБ$ х 5
7
\/А 1. Следовательно, мы сталкиваемся с дуальностью сильной/слабой связи, в
которой сильно-связанные калибровочные поля описываются классической супергра-внтацней и слабо-связанные калибровочные ноля соответствуют распространению струн в очень кривой геометрии. Такое представление, конечно, увлекательное, но в то же время сильно затрудняет какие либо динамические проверки (или даже доказательства) ЛдС/КТП гипотезы в режимах, которые не защищены большим числом симметрий.
Ситуация существенно изменилась после 2002 года в ходе изучения соответствия в новом пределе, где квантовые числа (такие как спин и угловой момент на геометрическом языке AdS$ х S5) становятся большими скоординировано в пределе N —> оо. Начало исследованиям в данном направлении было положено в работе [5], в которой авторы рассмотрели разложение по квантовым флуктуациям струны вокруг вырожденно»! точечно-подобной конфигурации, соответствующе»"» частице, вращающейся с большим угловым моментом J по огромной окружности S5 пространства. В пределе .7 —> оо с фиксированным J2/N (Беренштейи-Малдацена-Настасе (БМН) предел) геометрия может быть представлена как гравитационная плоская волна, которая позволяет точное квантование свободной струны в светоподобной калибровке [6, 7]. Получающийся спектр струн ведёт к предсказанию всепетлевоп аномальной размерности операторов дуальной калибровочной теории в соответствующем пределе, то
есть получается знаменитая формула Дп = .7 4- 2 y'l *f для простейшего возбуждения двух струнных осщилляторов. Ключевым моментом является формирование эффективного параметра в квантовой теории поля, подсчитывающего петли А/.72 в БМИ-пределе. Это ведёг так же к важной структурной информации для более высоких петель в калибровочной теории, где максимально используются выявленные пнтш'рируемые структуры. Кроме того, плосковолновая теория струн/л^ = 4 СЯМ дуальность может быть расширена на взаимодействующие струны (gs ^ 0) ,т соответственно непланарный режим калибровочной теории, предоставляя более конкретную реализацию дуальности между струной и калибровочным полем (см. например обзор [8)).
Ключевым моментом с точки зрения струнной теорий является то, что такой предел может сделать полуклассические (в плоско-волновом случае) или даже классические (в случае спиновых струн) вычисления энергии струн точными и на квантовом уровне, так как высшие петли <т-модели подавляются обратной степенью общего углового момента J на пяти-сфере. Такое рассмотрение со стороны струн даёт все-петлевые предсказания для дуальной калибровочной теории. Дополнительное изучение пертурбативной калибровочной теории в перв»ях нескольких порядках по А привело к открытию того, что спектр аномальных размерностей планарной калибровочной теории идентичен спектру интегрируемой дальнодействующен спиновой цепочки [9, 10, 11|. Соответственно AdS5 х S5 струна является классически интегрируемой моделью [12], что активно используется в получении решений для спиновых струн. Интегрируемость стала мощным инструментом, позволившим получить уникальные результаты в контексте исследований АдС/КТП-соответствия. Большую роль в установлении интегрируемости на определённых этапах сыграло знание точных результатов для аномальных размерностей операторов твиста-2 и наличие общих
8
методов проверки получающихся с помощью интегрируемости выражений. Данная диссертация посвящена разработке методов вычисления аномальных размерностей операторов твиста-2 и исследовании их свойств.
Изначально, наш подход в вычислении и исследовании аномальных размерностей составных калибровочно-инвариантных операторов твиста-2 вЛГ = 4 СЯМ теории основывался на методах, разработанных ранее для вычисления аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 в квантовой хромодинамике, возникающие благодаря операторному разложению, используемому для теоретического описания структурных функций элементарных частиц. Первые такие вычисления в КХД были выполнены в начале 70-ых на однонетлевом уровне, а в конце 70-ых и на двухпетлевом уровне. Однако, необходимо учесть смешивание с дополнительными операторами Вильсона твиста-2. Начиная исследование пертурбативных аспектов АдС/КТП-соответствия мы обобщили эти вычисления на случай Я — 4 СЯМ теории. При этом в связи с наличием в суперсимметрнчных теориях скалярных полей необходимо было добавить калибровочно-инвариантный скалярный оператор твиста-2, который, смешиваясь при перенормировке с КХД-подобпыми операторами, приводил к увеличению матрицы аномальных размерностей более чем в два раза - с матрицы 2 х 2 в КХД до матрицы 3x3. Поэтому в начале будет дан небольшой обзор методов, используемых дня вычисления аномальных размерностей в КХД. Кроме того мы опишем уравнение БФКЛ, которое связано с аномальными размерностями посредством аналитического продолжения в нефизическую область для операторов Вильсона твиста-2. Более того, оказывается, БФКЛ и ДГЛАП связаны в А7 = 4 СЯМ теории. Эта связь позволила сделать предположение о виде собственного значения матрицы аномальных размерностей в Я — 4 СЯМ теории. Нашей изначальной задачей была проверка предполагаемого принципа максимальной трансцендентности, обнаруженного при анализе результата для собственного значения ядра уравнения БФКЛ в Я = 4 СЯМ теории в следующем за лидирующем порядке. В Главе 3 будет подробно описан использованный нами метод вычисления аномальных размерностей и представлен результат этих вычислений. Получившееся собственное значение матрицы аномальных размерностей подтвердило правильность предполагаемого принципа максимальной трансцендентности, позволяющего извлекать аномальную размерность операторов в Я = 4 СЯМ теории из результатов в КХД. Когда такие результаты стали доступны в третьем порядке теории возмущений, мы незамедлительно нашли трёхптлевую аномальную размерность операторов твиста-2 в Я = 4 СЯМ теории. Ценность полученного нами трёхпетлевого результата заключалась в возможности проверки с его помощью результатов, получаемых с использованием интегрируемости, открытой при исследовании некоторого класса операторов в контексте АдС/КТП-соответствня. Интегрируемость была обнаружена путём отождествления операторов со спиновой цепочкой Гейзенберга, позволившая применить мощные математические методы для нахождения спектра энергий спиновой цепочки, соответствующих аномальным размерностям операторов. В частности, был сформулирован всепетлевой асимптотический Бете анзатц, позволяющий вычислять аномальные размерности операторов не прибегая к вычислению фейнмановскнх диаграмм. В Главе 4 мы дадим краткое описание некоторых аспектов зштегрируемоети в контексте АдС/КТП-соответствия. В этой же Главе будет представлен получен-
9
ный нами результат доказывающий, что асимптотический Бете анзатц даёт неполный результат для аномальных размерностей операторов конечной длины, каковыми являются привычные для пас операторы твиста-2. Для получения полного результата необходимо учесть так называемые “краевые эффекты”. Такие эффекты могут быть учтены либо с помощью вычисления специального типа диаграмм, не включённых в асимптотический Бете-анзатце, либо путём применения обобщённых формул Люшера, полученных при вычислении спектра энергий состояний струпной сигма-модели в конечном объёме. Оба этих вычисления содержали большое количество предположений и для их проверки нами было произведено прямое диаграммное вычисление наиболее простого оператора в = 4 СЯМ теории, для чего нами был разработан компьютеризированный метод четырёхнетлевых вычислений. Описанию этого метода и результатов, полученных с его использованием, посвящена Глава 5. Тщательное исследование краевых эффектов позволило сформулировать спеткраль-ные уравнения (функциональная V-система и уравнения термодинамического Бете-анзатца), претендующие на возможность получения с их помощью полного спектра аномальных размерностей в любом режиме. Глава б посвящена разработке различных аспектов вычисления краевых эффектов и проверки результатов, полученных с использованием данных методов.
10
Глава II. Уравнения эволюции в КХД
В данной Главе будет дан краткий обзор методов получения информации о структуре адронов и динамике процессов сильного взаимодействия. Нас будут интересовать два уравнения эволюции иартонных распределений, позволяющие найти главные вклады в процеса>1 рассеяния частиц при высоких энергиях - уравнение Докшицера-Грибова-Липатова-Альтарелли-Парпзи (ДГЛАП) [13, 14, 15, 16, 17] и уравнение Балицкого-Фадина-КураевагЛипатова (БФКЛ) [18, 19, 20, 21, 22, 23).
2.1 КХД
Квантовая хромодинамика (КХД), открытая Гелл-Манном, Фритцшем и Лейтвил-лером [24], является хорошо подтверждённой на данный момент микроскопической теорией сильных взаимодействий. Это перенормируемая неабелева калибровочная теория [25], основанная на цветовой группе 5Сгс(3) и содержащая кварки и глюоны в качестве элементарных полей. Главная мотивация в пользу неабелевой калибровочной теории, имеющей асимптотическую свободу, происходит от партониой модели глубоко-неупругого рассеяния (ГНР), в соответствии с которой партоны (кварки) ведут себя как свободные частицы в жёстких, пысокоэнергетичных соударениях.
Кварк-нартонная модель Бьёркеиа и Фейнмана [26, 27] даёт простзчо физическую картину скейлннга структурных функций, который был предсказан Бьёркеным [26) н наблюдался в первых экспериментах но глубоко-неупругому рассеянию в ЭЬАС, где была получена приближённая независимость структурных функций от переданного импульса. Модель основывается на утверждении, что протон (адрон) состоит из точечных невзаимодействующих центров рассеяния - партонов. Данное простое предположение позволило получить важные результаты, касающиеся внутренней структуры адронов и составляющих их элементарных частиц, которые были отождествлены с кварками и глюонами. Учёт взаимодействия между партонами ведёт к возможности изучения динамики сильных взаимодействий. Однако из-за неразрешённых до сих пор проблем связанных состояний, невозможно предсказать измеряемые наблюдаемые из первых принципов. Стандартное приближение, которое преодолевает эти трудности основано на теоремах о факторизации, которые позволяют разделить для каждого процесса физику малых расстояний (пертурбативную пли жёсткую) и физику больших расстояний (непертурбативную или мягкую). Мягкий вклад описывается значениями матричных элементов соответствующих операторов в обкладках между адронными состояниями, с применением соответствующих уравнений эволюции, которые дшот их зависимость от масштаба (виртуальностей или энергий партонов). Этот вклад связан с непертурбативными эффектами и может быть найден из экспериментальных данных. В то же время, используя замечательное свойство асимптотической свободы (являющимся следствием неабелевой природы калибровочной группы), жёсткие процессы и эволюция мягких вкладов могут быть систематически вычислены по теории возмущений. Успехи пертурбативной КХД в предсказании им-
11
нульсной зависимости адронных наблюдаемых служат главным и наиболее важным аргументом в правильности теории.
Главную роль в факторизационных методах играют абсолютные и относительные значения жестких масштабов, участвующих в процессе. В процессе ГНР виртуальность С?2 переданного импульса является единственным жёстким масштабом (энергия в лабораторной системе имеет тот же самый порядок величины). Для таких одио-масштабных процессов иертурбативная КХД предсказывает эволюцию но Р2 рассматриваемых величии представляемых в виде ряда по степеням калибровочной константы связи аа(02)- Естественным свойством этого класса явлений является коллинеарная факторизация, при которой существенны только продольные (по отношению к налетающему адрону) степени свободы партонов на массовой поверхности. Поперечные степени свободы, специфические для асимптотически свободной КХД, дают логарифмические поправки ф2. Эти большие логарифмы, которые необходимо учитывать во всех порядках теории возмущений, суммируются посредством уравнения Докшицсра-Грибова-Липатова-Альтареллн-Паризи (ДГЛАП) [13, 14, 15, 16, 17) и ответственны за нарушение Бьёркеовского скейлинга, то есть за отклонения от чисто масштабного поведения, которое может быть получено при пренебрежении партон-партонным взаимодействием.
Другой подход используемый для изучения калибровочных теорий при асимптотических энергиях, связан с так называемой теорией полюсов Редже [28], и основан на достаточно общих предположениях о матрице рассеяния, таких как Лоренц-инвариантность, унитарность, причинность, аналитичность, кроссинг-симмегрия и другие. Поведение амплитуды рассеяния при болышгх энергиях и фиксированных переданных импульсах полностью определяется сингулярностями (-канальных парциальных волн в комплексной плоскости углового момента [28]. В канале с вакуумными квантовыми числами такая сингулярность, называемая помероиом, возникает как связанное состояние двух реджезованных глюонов. На пертурбативном уровне большие логарифмы по энергиям были суммированы посредством уравнения Балицкого-Фадина-Курасва-Липатова (БФКЛ) [18, 19, 20, 21, 22, 23], предсказывающим при малых х степенной рост структурных функций. Дальнейшие исследования показали, что в главном логарифмическом приближении БФКЛ динамика обладает различными замечательными симметрийными свойствами, такими как Мёбнус-инвариантность померониой функции Грина [29], голоморфной сепарабельностью БФКЛ гамильтониана [30], голоморфной факторизацией п-глюонной волновой функции при больших числе цветов Лгс [30], дуальностью многоцветовой КХД (31], интегрируемостью при большом числе цветов [32], эквивалентностью с интегрируемой моделью Гейзенберга [33, 34]. Таким образом, различные симметрии позволяют получить дополнительную информацию о различных свойствах теории и её динамике.
Идея рассмотрения уравнений ДГЛАП и БФКЛ в супсрснмметричиых теориях (предполагающих симметрию между фермионамн и бозонами [35, 36, 37]) основывается на предположении о том, что наличие дополнительной высокой симметрии позволит существенно упростить структуру и аначиз данных уравнений.
Суперснмметричные теории обладают различными интересными свойствами, такими как сокращение квадратичных расходимостей, непереиормируемость супорпо-теицнала и многие другие. Л7 = 1 сунереимметричная теория Янга-Миллса (СЯМ)
12
является естественной и достаточно интересной моделью для КХД, результаты для которой могут получены из результатов КХД если положить для операторов Казимира С а, Су, 7) следующие значения С а = Су = Мс, Т/ = Мс/2. Возможность объединения в суперсимметричных теориях векторной частицы (глюона) и фермноиа (глюи-ио) в один супермультиплет позволяет построить так называемые мультипликативно-перенормируемые линейные комбинации квазипартонных операторов с аномальной размерностью, получаемой из универсальной функции со сдвинутым на целое число аргументом [38, 39]. Более того, суперконформная инвариантность позволяет установить связь между различными элементами матрицы аномальных размерностей или соответствующих нм ядрам эволюции уравнения ДГЛАП [38, 39, 40, 41, 42]. Данные соотношения служат важной проверкой результатов вычислении матриц аномальных размерностей операторов твиста-2 в КХД [17, 43), и позволили впервые получить ядра эволюции с ненулевым переданным импульсом [44, 45] (подробнее в разделе 3.3).
Расширенные N = 2 и Л/* = 4 суперсимметричные теории Янга-Миллса [46], то есть теории, содержащие кроме векторных частиц и фермпонов также скалярные частицы, обладают ещё более замечательными свойствами, самые интересные из которых это N = 2 дуальность Зайберга-Виттена (47, 48] и ЛГ = 4 дуальность Монте на-Олнва [49]. Кроме того, в ЛГ = 4 СЯМ отсутствует перенормировка калибровочной константы [50, 51, 52, 53), то есть теория является конформно-инвариантной [54]. Оказалось, что именно в А/* — 4 СЯМ к только в ней структура ядер эволюции уравнений ДГЛАП и БФКЛ упрощается настолько, что становится возможным установить глубокую связь между двумя данными фундаментальными уравнениями, причём не только в лидирующем, но и в следующем после лидирующего порядке |55, 56]. А именно, сингулярности аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 в j-нлоскости могут быть получены из собственных значений ядра уравнения БФКЛ при его аналитическом продолжении [56]. Кроме того, уравнение эволюции для матричных элементов квази-партонных операторов в многоцветовом пределе в лидирующем порядке эквивалентны уравнению Шрёдннгера для интегрируемой спиновой модели Гейзенберга [57], аналогично упомянутой выше интегрируемости для уравнения БФКЛ [33, 34).
2.2 Уравнение ДГЛАП
2.2.1 Партонная iMoдeль
Глубоко-иеупругое рассеяние (ГНР) является процессом, позволившим получить первые доказательства существования иартонон. Оно традиционно является основным инструментом для экспериментального тестирования пертурбативной КХД.
В этой разделе мы кратко обсудим глубоко-неупругое рассеяние и партонную модель. Затем мы покажем, как КХД модифицирует простые свойства Бьёркеновского скейлннга в партонной модели и обсудим, как по теории возмущений может быть вычислено нарушение данного скейлинга.
Рассмотрим рассеяние высокоэноргетичных заряженных лептонов, например, электронов, на адронной мишени, как показано на Рис. 2.1. Если мы обозначим импульсы
13
Рис. 2.1: Глубоко-неупругос рассеяние электрона на адронной мишени
входящего и выходящего лептонов соответственно через к{1 и к!{1, импульс адрона мишени через рц, а переданный импульс через = к^-к'^ то стандартные переменные глубоко неупругого рассеяния определяются как
(2.1)
с,Г = -я2, м II ч,
и X = р-я = _ Щ& - Е), <32
2и 2М{Е' - Е) ’
У ЯР 1 Е ’
к • у
где энергии Е и Е‘ относятся к системе покоя мишени и М масса протона. Поперечное сечение глубоко-неупругого рассеяния имеет вид
с12а 8па2МЕ |"1 + (1 - у)2 . . М
с1х(1ц (Зл
[1 + (12 У)22хР\ + (1 - у)(Р2 - 2хЪ) - ЕхуЪ
(2.2)
где Е{(х, О2) есть структурные функции протона, несущие информацию о структуре мишени, изучаемой виртуальным фотоном. Бьёркеновский предел определяется как (22,и оо при фиксированных значениях х. В этом пределе структурные функции приблизительно подчиняются закону скейлинга [26], то есть они зависят только от одной безразмерной переменной х:
*Нх,(?) -> Ъ{х). (2.3)
Бьёркеновский скейлинг означает, что виртуальный фотон рассеивается на точечных конституеитах, так как в противном случае безразмерные структурные функции будут зависеть от отношения где 1/Оо является некоторыхм масштабом
длин, характеризующим размер конституентов. Первоначально иартонная модель была введена Фейнманом [27] как интуитивная картина Бьёркеновского скейлинга, в которой преиебрегается взаимодействием между партоиамн и эффектами ненулевых
14
Рис. 2.2: Упругое рассеяние партона (кварка) виртуальным фотоном
масс партонов и мишени. Данная модель позволила выразить дифференциальные сечения ер рассеяния через функции распределения партонов (патентных и морских кварков, глюонов) и связать последние, в свою очередь, со структурными функциями, для которых можно получить простые правила сумм. Партонная картина глубоко неупругого рассеяния наиболее просто формулируется в системе бесконечного импульса, в которой протон является ультрарелятивистским, ри ~ (Р, О, О, Р) с Р ;§> М. В этой системе отчёта можно рассмотреть простую модель, в которой фотон рассеивается на точечных костіітуентах, движущихся параллельно протону и несущих долю £ его импульса, то есть р£ = £р;4. Пренебрегая массой протона М можно записать (2.2) как
С другой стороны не представляет труда вычислить дифференциальное сечение упругого рассеяния двух безмассовых частиц - лептона и партона (кварка)
Действительно, усредняя (суммируя) но начальным (конечным) цвету и спину полу-
(2.4)
1(к) + д(р„) 1{к‘) + ї(р^).
(2.5)
сІ& 2 еУ^ + и2
СИ 16ТГ52 І2
в терминах обычных Манделстамовских переменных
(2.6)
і = (к-к')2 = -<?2, с = (р, - к')2 = в(у-г).
Подставляя кинематические переменные из (2.7) в сечение (2.6) находим
(2.7)
(2.8)
Полагая, что рассеянный партон (кварк) имеет нулевую массу
Р'п = (Рп + Я)2 = <? + 2 ря • г/ - —2 р • ч(х -0=°
(2.9)
15
найдем, что £ = х и учитывая /0* <іхб(х — £) = 1 получим следующее выражение для дважды дифференциального поперечного сечения кварка на лептоне
о<2-10>
Сравнивая уравнения (2.2) н (2.10) найдём, что структурные функции в данной простой модели имеют вид:
Р2 = хеч6(х — £) = 2хРх. (2.11)
Этот результат означает, что фотон "пробует" конституентный кварк с долей импульса £ = х. Данная идея является основополагающей частью партонной модели:
• представляет вероятность того, что кварк д несёт долю импульса протона
между £ и £ + где 0 < £ < 1;
• виртуальный фотон рассеивается независимо на конституеитных кварках.
Таким образом структурная функция протона получается из кварковой структурной функции с весом вероятностного распределения д(£)
Г2 = 2x.Fi = X) / ^(£)хе*£(х -0 = ^ &Ф) • (2-12)
я,я 0 я,я
Левая часть уравнения (2.12) составляет соотношение Каллана-Гросса [58], которое является прямым следствием того, что кварк имеет спин Действительно, два члена в правой части уравнения (2.2) соответствуют поглощению поперечно (Рі) или продольно (^ = .Ро — 2х^і в Вьёркеновском пределе) поляризованного виртуального фотона. Таким образом, соотношение Каллана-Гросса следует- из того факта, что кварк со спином ^ не может поглотить продольно поляризованный векторный бозон. Наоборот, частица со спином 0 не может- поглотить поперечно поляризованный фотон И МЫ имеем Рі — О, ТО есть Рь = Р'2- Измерения структурных функций покрывает, что Рь ^2, подтверждая предположение, что спин партона равен
Учёт взаимодействия между партонами приводит к тому, что в рамках теории кварки и глюоны могут переходить друг в друга. Для количественного описания вводятся функции распределение , представляющих собой вероятность найти 11 аргон і внутри нартона і с относи тельной долей импульса г = Хі/хі . 0? зависимость нар-тонпых распределений будет даваться уравнениями ДГЛАП [13, 14, 15, 10, 17):
(2.13)
(2.1-1)
Ядра уравнений эволюции Рч{г) в низшем порядке могут быть вычислены из диаграмм Рис. 2.3
16
l—z
Рис. 2.3: Трёхчастичные вершины, необходимые для вычисления функции Р}?\г)
и пропорциональны вероятности распада партоиа сорта г в партон сорта j с долей импульса 2 исходного партона г.
В лидирующем порядке вычисления в спиральном базисе дают [13, 14, 15, 16, 17]:
PiM
рЩМ
№
3?М
№
PW(z)cc + P$\z)o:*+ P$\z)*3 + ..., CF
1+z2 +k і-.)
L(1 -z)+ 2
Tjnf [г2 + (1 - г)2] , Cf fi + (1 - г)2"
Ca
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
+ i_i + ,(1. .,] + (ila _ ^,) ,№ _ «,, ,2,9)
где
L_ = f'bMzM
f j.. /(*) _ /■
Jo {I-z)+- ]0~~ (1 -*)
(2.20)
Обратимость Грибова-Липатова: Функции распределения
Отметим одну интересную особенность функции распределения Р^(г): её структура не измениться при замене 2 —>■ 1/2 или более точно
д'9°)(*) = -гр®(1/г).
(2.21)
Данное соотношение следует из того факта, что Фейнмановские диаграммы в глубоконеупругом рассеянии и в в+е~ аннигиляции имеют ту же самую структуру, но отличаются кинематически. Это кинематическое отличие отражается в различии аргументов функции распределения для этих двух каналов
^9
PjiB(^Bjorken) = РдВ (^Feynman) > 2-Bjorkcn = 2^pq^ ’
. 2(Р^)
nmaii о
т
(2.22)
где индексы 5 и Т относится соответственно к пространственно-нодобному и времени-подобному случаям. Комбинируя с соотношением Дрелла-Леви-Яна [59, 60] получим следующее соотношение между функциями распределения
Pfk*) = (=F)* • ^1(~~(-I)) •
(2.23)
17
известного как обратимость Грибова-Липатова [13] (множитель зависит от спинов партонов Ли В). Данное соотношение выполняется только в лидирующем порядке и в следующем после лидирующего порядке было показано, например, что в несин-глетном канале [61]
\ (Р№Т - Р$Р) = jT dz£ dyô(x - yz)P^(z) lu * • {P<J>(ÿ)}+ . (2.2-1)
Обозначая партонные распределения и функции фрагментации, возникающие при рассмотрении процесса е+е~ аннигиляции, как D(z, Q2), можно переписать уравнения (2.13) и (2.14) как
= У*1 Ц P(z,as(Q>)) d(Zq*) . (2.25)
<1Р(х,(22) с11п С?2 Jo
Для сохранения свойства обратимости была предложена следующая модификация этого уравнения [62, 63|
->.«■))!>(!.«■) . (МЯ
где о — —1(+1) для нространственно-подобного (времени-нодобного) случая.
2.2.2 Операторное разложение
С формальной точки зрения глубоко-неупругое рассеяние может быть описано с использованием операторного разложения [64] произведения двух электромагнитных токов, возникающего при вычислении амплитуды Комптоновского рассеяния [65, 66,
67|.
Дифференциальное поперечное сечение для инклюзивных процессов (еР —> Е'Х) имеет вид:
* - 7ЕЙ/ №
где 3 — АР-к. Суммирование производится по всем конечным адронным состояниям X, которые не наблюдаются. Каждое конечное адронное состояние состоит из пх частиц с импульсами р,- ЕГ=1 Р\ = Рх)- Квадрат амплитуды \Л\ может быть разделён на лептоиный 1щ, и адронный W^a, тензоры (Рис. 2.4):
Л
4п
где а ~ 1/137 постоянная тонкой структуры. Лептоиный тензор даётся произведением элементарных токов со снином 1/2 (просуммированный по конечным спинам)
1ци = э)71хи{к’, з')й(к', в'У^г^к, 5) = 2{к'(1к1/ + к'ик(1) - 2д^к • к' + 21ец1/^хз°
(2.29)
18
р р
Рис. 2.4: Квадрат амплитуды А электрон-адронного рассеяния может быть разделён на лептонный 1^ и адронный \У^ тензоры
и состоит из симметричной и антисимметричной по /л и I/ частям. Антисимметричная часть линейна но вектору спина в (нормированному как в2 = —тп2). В то время как лептонный тензор известен полностью, адронный тензор 1УМ£/> который описывает внутреннюю структуру адрона, зависит от непертурбативной динамики сильных взаимодействий. В терминах токов он выражается как:
= ]Г(РЗЩХ)(т|Р5Н27гтР+9-рх) = [ *{««</>5 |[Л«).Л(0)]|Р5)С
X
(2.30)
Оптическая теорема
27г1У1и/ = 1тТ^и/ (2.31)
связывает адронный тензор с мнимой частью амплитуды виртуального Комп-тоновского рассеяния вперёд
^ = 11 Аеп<(Р5|Г(;|1({)Ш)|Р5) (2.32)
как показано графически на Рис. 2.5.
Используя Лоренц-ковариантность, калибровочную инвариантность, сохранение чётности в электродинамике и стандартные дискретные симметрии сильных взаимодействий адронный тензор может быть параметризован в терминах четырёх скалярных безразмерных структурных функций Рх(х, О2), Г2(х,СЭ2), д\(х,С)2) и д2{х,С}2). Все они зависят только от двух инвариантов О1 и и, или альтернативно от О:2 и безразмерной Бьёркеновской переменной х. Разделяя на симметричную и антисимметричную части получим
И^Лр.^«) = И^„(р,д) + г1УД(р,д,5), (2.33)
19
Рис. 2.5: Оптическая теорема связывает адронный тензор \\гци с мнимой частью виртуального {Я2 < 0) Комптоновского рассеяния вперёд (Р = Р', <? = д'')
с
км - (-*.■+*$■)*<•.«■>■>•(*-*?*)(р.
(2.34)
И^(р,д,5) = -^с^а/3да {зРдг(х,Я2)+^ д2(х,Я*)^ , (2.35)
где р, т и 5 означают соответственно импульс, массу и спин адрона ( в-р = 0, з2 = 1), q относится к виртуальному импульсу фотона, а х = Я2|(2pq) и Я2 = —q2 > 0 - Бьёр-кеновский переменные. Усреднённые по спину структурные функции обозначаются как /**(х, ф2)(А: = 1,2). В поляризованном случае, кроме того, дополнительно имеются продольная спиновая структурная функция д\(х,Я2) и поперечная спиновая структурная функция д2(х,Я2)-
Операторное разложение упорядоченного по времени произведения двух электромагнитных токов на световом конусе получено в работах [67, 68, 69] и имеет вид
Мг)М0) г~° (-д^П + дмд„) 2 ^ XI С1л(г2 - гего,р2,д)
2 1620 ,=0 х
40) — [ЯцтЯицг^ ~ 9цц\^и^ц3 ~ Яица^ц^М!
+9цидцМ ^ ^2 СЫ*2 - ***» V2, я)2ц3 • • • '"''"(О)
3-2 I
э* г2 ]~х (г2 - “^./**.9)
0 ;-1 »
-«(0), (2.36)
где с-числовые Вильсоновские коэффициентные функции, обозначаемые как С<д, С\2 и С/д, могут быть выражены в виде ряда теории возмущений по калибровочной константе связи д и обычно сингулярны в г2 = 0, а составные операторы 0*Р1....**> являются хорошо определёнными объектами, за исключением перенормировочных бесконечностей. Во всяком случае, сингулярное поведение в координатном пространстве полностью определяется коэффициентными функциями.
В Бьёркеновском пределе, когда всеми массами можно пренебречь, единственными размерными переменными в конфигурационном пространстве остаются координаты. Наивный размерный анализ уравнения (2.36) показывает, что возле светового конуса поведение коэффициентных функций должно быть
с;(г2) ~ г2 ~ 0, (2.37)
где 3 = [«/] и dj = есть, соответственно, размерности электромагнитного
тока и составных операторов.
В невзаимодействующей теории такое простое степенное поведение связано с конформной инвариантностью. Однако при учёте взаимодействия вышеприведённые простые аргументы больше не действуют и в общем случае уравнение (2.37) приобретает логарифмические поправки после процедуры перенормировки.
Из уравнения (2.37) видно, что наиболее сингулярные С\ будут при наименьшем значении твиста с/‘ —у, и следовательно доминирующий вклад при z2 —> О {Q2 —¥ оо) контролируется операторами низших твистов, в то время как высшие твисты подавлены степенями Q2. Таким образом, лидирующий вклад будут давать операторы твиста-2. Заметим, что эти операторы отвечают неприводимым представлениям группы Лоренца, что означает, что они являются бесследовыми и симметричными но Лоренцевым индексам цл Отметим, что все вышеприведённые выражения являются перенормированными, что указывается шкалой перенормировки д2. Сиц-глетные операторы твиста-2 Of5 соответствующие усреднённым по спинам структурным функциям имеют вид [70, 67)
OS, А = . (2.38)
OJ,...,, = srlmvn...v^\ (2.39)
где Vp = дц-дАц есть ковариантные производные; спинор ф и тензор напряжённости Gpn описывают соответственно кварк и глюон. Символ S означает симметризацию тензора по Лоренцевым индексам fi\}..., ц3 и вычитание его следа. Операторы твнета-2 дающие вклад в спиновую структурную функцию имеют вид [68, 69]
(2-4°)
ОЪ....* = S^nnVM...V^, (2.41)
где = e^poGf” есть дуальный тензор напряжённости калибровочного поля.
Подставляя разложения на световом конусе для в (2.33) можно полу-
чить следующие соотношения
dxx’~2Fk(x, Q2) = ^2A3,{p2,n2,g)Clk(Q2,ii2,g), fc = l,2 (2.42)
t
f dxx)-1g\(x,Q2) = ^^(p2,^2;(7)C/>1(Q2,/i2,g). (2.43)
Jo t
Левая часть данного соотношения соответствует меллиновскому преобразованию структурных функций F\(x, Q2), Fa(a?,Q2) и gi(x,Q2), а правая часть есть матричные элементы операторов
<р, 1 (0)|р, з> = &А{(р2, fx2,g)S {(.s'Ilp• • -jf*) - (traces)} , (2.44)
21
где Oi есть Oq и Од или 0(, и 6д. ф2-эволюция структурных фупкцнй определяется аномальными размерностями составных операторов (2.38)—(2.41), которые находятся из перенормированных матричных элементов картонных операторов
(kip,s\Olll"'Mi\k,p,s)Alk(p2ji2,g)S{(s»'p,l2--p*i) - (traces)} , (2.45)
где кварковые и глюонные операторы заключены в обкладки между кварковыми и глюонными состояниями. Индексы в (2.45) относятся к г = q,g; к == q,g. A3ik выводятся из преобразования Фурье в импульсное пространство для связанных функций Грина
(0|Т(&(*)ОГ* (0)AWIfl>. (2.46)
где внешние линии ампутированы. Поля фк(х) относятся либо к кварковым нолям ф(х) либо к глюонным полям Л®(а?).
Матричный элемент А]к зависит от мишени |р) и не может быть вычислен по теории возмущений, если мишень является составным объектом, как например протон. Коэффициентные функции с другой стороны не зависят от мишени, так как они определяются из разложения (2.36). Они могут быть вычислены по теории возмущений. Фактически, операторное разложение разделяет пертурбативно вычисляемую часть (коэффициентные функции) в выражении для моментов структурных функций от неиертурбатнвной части - матричных элементов локальных операторов.
Определение Q2 зависимости коэффициентных функций! может быть сделано с использованием техники ренормгруппы. Процедура перенормировок, необходимая для устранения бесконечностей из пертурбативного разложения, требует' введения массового параметра ц. (ренормализационной шкалы) отсутствующего в изначальном лагранжиане. Так как // есть артефакт, физические величины - в нашем случае структурные функции - не должны зависеть от неё. Это условие определяет д-зависимостъ коэффициентных функций, составных операторов и констант связи. Кроме того, обезразмеренные коэффициентные функции и константы связи должны зависеть от массовых параметров Q2 и /г только через их отношение Q2/fi2. По-этому их Q2 зависимость полностью вычисляема в рамках пертурбативной КХД и из уравнения (1.14) можно получить (^-зависимость структурных функций.
Перенормированные матричные элементы партонных операторов удовлетворяют уравнению Каллана-Симанчика [71, 72, 73]
+ тта + s^9)i) +1&W
Здесь Р(д) означает /3-функцию константы сильного взаимодействия, которая в КХД даётся следующим степенным разложением [74, 75, 76, 77, 78)
(2.48)
(2.49)
(2.50)
^ ^°16ir2 ft(16jr2)2+‘”
А = уСд-jT,«,.
А = jCj,-4CFTfnf~jCATfn/.
4и(Р*,/Д9.0 = 0. (2.47)
22