Содержание
Введение 3
1 Эксперимент с газом невзаимодействующих частиц 10
1.1 Газ невзаимодействующих частиц............................10
1.2 Описание динамики системы дисков с помощью случайных матриц...........................................................13
2 Хольцмарковская статистика диполей.
Формулы Лоренца и Ланжевена. 17
2.1 Классические задачи.......................................17
2.2 Трехмерные диполи.........................................18
2.3 Магнитные моменты, распределенные по плоскости............20
3 Субдиффузия в сложных гребешковых структурах и гирляндах 23
3.1 Субдиффузиониый транспорт.................................23
3.2 Гребешковая структура.....................................24
3.3 Сложная гребешковая структура.............................26
3.4 Типичные задачи...........................................29
3.5 Гирлянды . . . ..........................................32
4 Диполыюе приближение в динамике трех вихрей 35
4.1 Общие вопросы вихревой динамики...........................35
4.2 Постановка задачи.........................................37
4.3 Разложение по малому параметру I/Я........................39
5 Квантовая динамика вихрей 46
5.1 Квантование вихревых нитей................................46
5.2 Изотропные вихри..........................................47
5.3 Анизотропные вихри........................................50
Заключение 52
2
Введение
В данной работе представлены задачи по исследованию систем с большим количеством частиц; проведено сравнение модели случайно распределенных диполей для трех и двумерного случая с классическими задачами Лоренца и Ланжевена; дан точный вывод уравнений переноса в разветвленных гребеш-ковых структурах; решены задачи по классической и квантовой динамики точечных вихрей. Проведенные исследования являются актуальными и новыми во многих направлениях физики.
Исследование динамики и статистики различного рода частиц широко распространено в разных областях физики. В основу исследования таких систем часто закладывают базовые законы взаимодействия между частицами. Простейшие модели — это хорошо известные биллиардные системы, где взаимодействие происходит между шарами или дисками [1, 2, 3]. В более сложных случаях взаимодействие носит не локальный характер, например, является кулоновским. Для слабостолкновительной плазмы (астрофизической или лабораторной плазмы низкой плотности) необходимо знать, за какие времена ее компоненты релаксируют к равновесному состоянию [4]. Газ косвенно взаимодействующих частиц (см.ниже) может являться аналогом такой плазмы и использоваться для приближенного нахождения времен этой релаксации. Такая модель позволяет детально отслеживать динамику системы, что очень важно и для практических применений, и для понимания общих закономерностей. В работе также рассматривается система непосредственно взаимодействующих частиц (дисков). В этом случае соударения моделируются с помощью случайных матриц. Предлагается алгоритм для описания динамики в пространстве скоростей. Эта модель может быть применима уже для силыюстолкновителыюй плазмы.
Вопросами распределения полей от случайно расположенных источников интересуются давно, и данной тематике посвящено много работ, см.напр.,[5, б, 7, 8]. В плазме крайне важную роль играет распределение электрических и магнитных нолей. Источниками таковых являются как обычные заряды, так и, например, вихревые структуры с дипольным распределением поля, поэтому рассматриваемая задача случайно распределенных диполей имеет непосредственное отношение к плазме. Метод, применяемый в работе, позволяет находить поле от произвольных точечных источников. В данной диссертации исследуются электрические Е и магнитные Н поля от случайно распределенных электрических диполей и магнитных моментов и проводится сравнение результатов с классическими формулами Лоренца и Ланжевена [9]. Для изучения статистических свойств задачи применяется метод Хольцмар-ка. В рамках модели диполей в трехмерном пространстве точно вычислена добавка к “действующему” полю. При выводе классической формулы Ланже-
3
вена для намагниченности рассматривается термодинамически равновесная система. В данной работе исследуется также представляющая практических интерес неравновесная конфигурация часто встречающаяся в реальных объектах. В модели, рассмотренной в диссертации, магнитные моменты (спины) случайном образом распределены по плоскости, каждый спин направлен по перпендикуляру к ней. Оказывается, намагниченность плоскости спилов во внешнем магнитном поле при определенных условиях не зависит от концентрации спинов, что качественно отличается от формулы Ланжевена.
Одним из актуальных вопросов в физике является исследование переноса в сложных средах — кластерах и полимерах [10, 11, 12]. Плазма во внешнем магнитном поле устроена очень сложно. В такой плазме перенос зачастую становится аномальным, и его особенности не могут уже быть описаны в рамках обычной диффузионной модели даже с модифицированным коэффициентом диффузии. Для правильного теоретического анализа задачи необходим аппарат дробных производных. Примером работ, с успехом использующих язык дробных производных, служат статьи по транспорту в структурах с переплетенным магнитным полем [13], работа по астрофизической плазме [14]. В данной диссертации рассматриваются сложные гребешковые структуры (СГС), построенные из простой гребешковой структуры (ГС) [15, 16, 17] последовательной заменой отростков на структуры другого уровня. Эволюция суммарной концентрации переносимой субстанции вдоль хребта такой структуры носит субдиффузионный характер с дробной производной по времени [18, 19]. Также изучались модельные структуры, у которых на оси хребта находятся двумерные диски или трехмерные шары. Исследованные в работе модели СГС и гирлянд могут быть использованы для качественного анализа транспорта в плазме. Уравнения для транспорта частиц в таких структурах полностью покрывают возможный интервал существования субдиффузион-пого режима, что, несомненно, важно для нахождения скейлингов и решения конкретных задач.
Вихревые структуры являются неотъемлемой частью плазмы и плазмен-ноподобиых сред во всех физически возможных диапазонах существования, начиная с плазмы твердого тела и заканчивая термоядерной и даже кварк-глюоиной плазмой. Вихри в плазме определяют ее устойчивость, динамику, процессы транспорта и т.п. В диссертации решена задача о взаимной динамике дипольного вихря (близкая вихревая пара с противоположными интенсивностями) и точечного вихря для редуцированного гамильтониана. Найдены начальные параметры, для которых дипольный вихрь не распадается на отдельные вихри, и выписанные уравнения, описывающие движения диполя, полностью проинтегрированы. Процесс распада дипольпых пар важен для физики плазмы, так как вихри в плазме часто встречаются именно в
4
таком виде. Также возможным объектом приложения может служить кварк-глюонпая плазма, в которой, при рассеянии кварков [20] в сильных внешних полях, их взаимная динамика идентична вихревой.
Развитые в физике плазмы методы анализа эволюции завихренности позволяют описывать вихревое движение в сверхпроводниках или просто в заряженной жидкости с вмороженным в течение ротором обобщенного импульса [21, 22]. Исходя из базовых уравнений, получают уравнение, описывающее динамику вихревых нитей и точечных вихрей в сверхпроводнике [23]. В данной работе исследуется переход от классической динамики двух вихрей к квантовой. Указывается, что оператор гамильтониана для двумерной системы двух вихрей есть функция тока, примененная к гамильтониану одномерного квантового осциллятора. Естественными собственными функциями в такой системе являются функции Эрмита. Когерентные состояния в ней отсутствуют для обычно используемых функций тока. При рассмотрении анизотропной функции тока, характерной для слоистых сверхпроводников [24] ответ записывается в виде рекуррентных соотношений. Задача решается для разных функций тока, в том числе и для функции Макдональда, описывающей электронные вихревые течения в плазме.
Кратко по главам.
Первая глава посвящена численному исследованию релаксации газа точечных частиц, взаимодействующих с диском.
В первом параграфе в область (квадрат Ь х Ь) помещается N невзаимодействующих частиц массы га. Частицы между собой никак не взаимодействуют, двигаются прямолинейно с постоянной скоростью, а при соударении со стенкой зеркально отражаются. Для релаксации к равновесному состоянию (равномерное распределение частиц по области с распределением Максвелла по скоростям) необходимо ввести диск массы М и радиуса Я. Столкновение частицы и диска упругое. Система диск-Иастицы релаксирует к равновесному состоянию за характерное для данной системы время те<7. Время этой релаксации определяется геометрией области и диска: тед = тру/М/т, где тр ~ Ь2/(2Я(и)) — время свободного пробега частицы, и — ее тепловая скорость. Оценки хорошо согласуются с экспериментами.
Во втором параграфе газ дисков описывается с помощью случайных матриц. Для ускорения численного расчета часто работают с упрощенной моделью, которая отражает необходимые параметры точной системы. Так для описании динамики газа двумерных дисков в данном параграфе применяются случайные матрицы. Динамика системы рассматривается только в пространстве скоростей. Соударение двух дисков можно записать в матричном виде V' = АУ, где V и V' - вектора, отвечающие значениям скоростей до и после соударения, при этом матрица А зависит только от угла <р между
линией соединяющей центры дисков и осыо х. Строится случайный процесс с дискретным временем 1П) в котором на каждом шаге диски случайным образом взаимодействуют друг с другом. В среднем требуется 5-10 столкновений каждому диску, чтобы система пришла к равновесному состоянию.
Во второй главе рассматривается газ случайно распределенных диполей в двух- и трехмерном пространстве.
В первом параграфе поясняется исходя из каких классических задач возникает интерес к исследованию системы случайно распределенных по пространству диполей или магнитных моментов. Первая — это модель Лоренца для диэлектрика, вторая имеет отношение к формуле Лаижевена для намагниченности газа спинов.
Во втором параграфе дай точный вывод т.н. “действующего поля” в рамках модели равномерно распределенных в трехмерном пространстве диполей. В кубе с ребром L случайным образом расставляются N диполей, так что концентрация п = N/L3 (интересует предел N —> оо, n = const). Все диполи ориентированы в одном направлении z и имеют одинаковый диполыгый момент d. Для нахождения распределения суммарного поля был применен метод, который использовал Хольцмарк в своей работе [25]. Среднее значение (Ег) есть добавка к внешнему полю Ео и дается величиной 0,16 • 4тгР/3, то есть составляет шестую часть добавки в формуле Лоренца.
В третьем параграфе по плоскости {х,у) равномерно распределены магнитные моменты (спины) д. Каждый спин направлен перпендикулярно плоскости. За п+, гг_ обозначается концентрация спинов направленных вверх, вниз, а п = Пл.-Ьп_. Применяя метод Хольцмарка, для нахождения распределения электрического поля, получается энергия плоскости спинов во внешнем магнитном поле Н — Hcz:
и2
Е ~ (п+ — п_)2—: — (п+ — л_)дЯ, а
где а — это минимальное расстояние, на котором могут находиться спины, например, межатомное расстояние. Исходя из минимума энергии, намагниченность М = /i(n+ - п_)Я есть М ~ аН для Н < \inja не зависит от концентрации. Для Я > дп/а минимум энергии не достигается и намагниченность М = лдН/Я. Это соответствует случаю Лаижевена для полей /2Я>Т.
В третьей главе диссертации исследуегся эволюция концентрации частиц в сложных гребешковых структурах.
В первом параграфе дается общее представление о субдиффузии и микроскопической модели, отвечающей субдиффузионному поведению.
Во втором параграфе дается точный вывод асимптотического уравнения для переноса суммарной концентрации частиц в гребешковой структуре.
6
- Київ+380960830922