СОДЕРЖАНИЕ
Лист.
ВВЕДЕНИЕ 7
ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ С ИНФОРМАТИВНЫМИ СИГНАЛАМИ ТИПА ЛИНЕЙНЫЙ ТРЕНД 15
1.1. Экстракционные методы и приборы 18
1.1.1. Базовые схемы экстракции 18
1.1.2. Применение операторного метода (преобразования Лапласа) при построении уравнений экстракции 29
1.1.3. Формирование информативного сигнала в приборах химического экспресс-анализа с оптическим детектированием 34
1.1.4. Приборы химического и биологического экспресс-аиализа 38
1.1.4.1. Универсальные фотометрические приборы серии SEN 39
1.1.4.2.Портативные специализированные приборы серии pSEN (MHKpoSEN) 39
1.2. Определение степени кислородного насыщения крови и измерение пульса 42
1.2.1. Основы фотоплетизмографических измерений 42
1.2.2. Измеритель частоты пульса и кислородного насыщения артериальной крови (CADIX OXI) 44
1.3. Прибор для регистрации результатов полимеразной цепной реакции (ПЦР) в реальном масштабе времени 46
1.3.1. Назначение метода полимеразной ценной реакции 46
1.3.2. Общая концепция построения амплификаторов ДНК, позволяющая реализовывать технологии и методы ПЦР 47
1.3.3. Модель логистического роста Ферхюльста-Пирла 48
1.3.4. Информативные сигналы приборов регистрации результатов ПЦР в реальном масштабе времени 50
1.3.5. Оценивание сигналов прибора ПЦР как обобщенных линейных трендов 54
1.4. Аналитические масс-спектрометрические пики и способы их аппроксимации 57
1.5. Метод электрофореза на микрофлюидных чипах 60
1.5.1. Информативные сигналы микрофлюидного анализатора 62
1.5.2.Математическая модель процесса конвективно-диффузионного массопереноса вещества в микроканале чипа 65
1.5.3. Модели аналитических (информативных) сигналов при реализации электрофореза на микрофлюидном чипе 67 1
1.6. Общее заключение 73
2
ГЛАВА 2. БИОТЕСТИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ САМООРГАНИЗУЮЩЕЙСЯ КОЛОНИИ НЕСОВЕРШЕННЫХ МИЦЕЛИАЛЬНЫХ ГРИБОВ 75
2.1. Базовые теоретические положения 77
2.1.1.Результаты исследований по культивированию мицелиальных грибов 77
2.1.2.Самоорганизация и самоорганизующиеся системы 77
2.1.3.Теория фазовых превращений 78
2.1.4. Явление полиморфизма в несовершенных мицелиальных грибах 79
2.1.5.Системы дифференциальных уравнений: стационарные состояния (аттракторы) и классификация решений 80
2.2. Экспериментальное изучение морфогенеза у несовершенных грибов 83
2.2.1. Экспериментальные данные по выращиванию колоний грибов 83
2.2.2. Использование оптических методов измерений колоний 88
2.2.3. Общий подход к проведению экспериментов и методы исследования 91
2.2.4. Экспериментальная проверка обоснованности применения закона логистического роста Ферхюльста-Пирла 92
2.3. Математическая модель самоорганизации в колониях мицелиальных грибов 94
2.3.1. Базовые положения математической модели 94
2.3.2.Математическая модель пространственного роста колонии мицелиальных грибов 95
2.3.3.Оценка связи параметров модели и выбранной стратегии развития самоорганизующейся колонии 100
2.3.3.1. Влияние величины интенсивности производства метаболитов на самоорганизацию колонии 100
2.3.3.2.Влияние начальной концентрации субстрата на стратегию развития колонии мицелиальной формы несовершенных грибов 101
2.3.3.3. Влияние закона выработки продуктов метаболизма на процесс самоорганизации колонии несовершенных мицелиальных грибов 101
2.3.3.4. Влияние адаптационной способности на самоорганизацию колоний мицелиальных грибов 102
2.3.4. Количественные меры колоний несовершенных грибов 104
2.3.5. Оценивание коэффициента диффузии метаболитов 110
2.4. Математическая модель кооперативного развития двух диморфных форм 113
2.4.1. Математическая модель диморфного (мицелий-дрожжи) перехода на базе модели Лотки-Вольтерра ИЗ
3
2.4.1.1. Математическая модель кооперативного развития двух клеточных форм (мицелий-дрожжи) 114
2.4.1.2. Влияние характеристик субстрата на баланс основных клеточных форм (мицелий-дрожжи) 117
2.4.1.3. Выводы об адекватности моделей диморфных (полиморфных) переходов в несовершенных грибах 118
2.4.2. Модифицированная модель кооперативного развития клеточных форм 119
2.5. Фазовые переходы в колониях несовершенных мицелиальных грибов 120
2.6. Концепция применения сенсора на основе самоорганизующейся колонии несовершенных грибов для биотестирования среды 125
2.6.1. Мультисенсорные системы на основе слабо селективных чувствительных элементов 125
2.6.2. Интерпретация колонии несовершенных мицелиальных грибов в качестве чувствительного элемента хемосенсора 126
2.6.3. Модельная аппроксимация профилей колонии при различных стратегиях развития 127
2.6.4. Концепция градуировки мультисенсора 129
ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ 134
3.1. Случайные аддитивные помехи и проблема выявления грубых погрешностей 134
3.1.1. Проверка выполнения условия (3.1) для наиболее распространенных одномодальных распределений 135
3.1.2. Исследование двумодальных распределений с целью проверки выполнения «замечательного» свойства квантили 95% 141
3.2. Порядковые статистики и их использование для первичной обработки информации 143
3.2.1. Вывод формулы для ПРВ порядковых статистик на основе равномерно распределенной случайной величины 144
3.2.2. Исследование динамики дисперсий медианных порядковых статистик 146
3.2.3. Критерии эффективности применения медианного алгоритма обработки 150
3.2.4. Эффективная Ь-оценка при учете базового распределения Симпсона 158
3.3. Анализ эффективности применения экстремальных порядковых статистик. Метод ПИО - простого интервального оценивания 162
3.4. Цифровая фильтрация и ее применение для анализа сигналов типа линейного тренда 167
3.4.1. Вывод аналитического выражения формы фильтрованного сигнала 169
4
3.4.2. Способы оценивания площади пика 175
3.5. Анализ особенностей рассмотренных методов первичной обработки информации 177
ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ОЦЕНИВАНИЯ СИГНАЛА ТИПА ЛИНЕЙНОГО ТРЕНДА 179
4.1. Интервальные и рекуррентные алгоритмы оценивания 181
4.1.1. Сравнение интервального и рекурсивного алгоритмов оценивания 182
4.2. Основные способы реализации алгоритма стохастической аппроксимации 184 188
4.3. Оценка параметров линейного тренда в режиме кинетического анализа. Модификация Дупача
ГЛАВА 5. АЛГОРИТМ СТОХАСТИЧЕСКОМ АППРОКСИМАЦИИ РОББИНСА-МОНРО. МОДИФИКАЦИЯ АЛГОРИТМА В ФОРМЕ ЦЫПКИНА 193 194
5.1.Структура алгоритма. Основные свойства оценки постоянного сигнала
5.1.1.Структура алгоритма Я.З. Цыикина 194
5.1.2.Свойства оценки алгоритма Я.З. Цыпкина 194
5.1.3. Свойство оценки алгоритма Я.З. Цыпкина в условиях присутствия треугольной (Симпсоновской) помехи 199
5.2. Сходимость оценки алгоритма Я.З. Цыпкина 200
5.3. Модификация подхода М.Аоки для анализа сходимости оценки алгоритма стохастической аппроксимации в форме Я.З. Цыпкина 205
ГЛАВА 6. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ УСТРОЙСТВА ОЦЕНИВАНИЯ ПОСТОЯННОГО СИГНАЛА 212
6.1. Подбор параметров алгоритма оценивания 212
6.2. Выбор начального приближения Cj 213
6.3. Критерии остановки оценивания. Выявление разладки в последовательности измерений 216
6.4. Имитация работы устройства оценивания 223
6.4.1. Моделирование случайных погрешностей на основе программно-реализованного датчика равномерно распределенной случайной величины (функция random) в библиотеке С++ 223
6.4.2. Формирование информативного сигнала на основе экстракционной схемы 5 при параметрах Са°=10, а=0.1, ks=0.4, kv=0.2 225
6.4.3. Формирование модельного тренда и применение алгоритма Роббинса-Монро для оценивания параметра положения 226
ГЛАВА 7. ГРАДУИРОВОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 232
7.1. Комплексный критерий линейности зависимости Y -F(X) 232
7.1.1. Исследование выборочного коэффициента корреляции г 233
7.1.2. Исследование регрессионного критерия линейности 234
7.1.3. Комплексный критерий линейности 234
5
7.2. Оценивание необходимого числа точек наблюдения п при построении линейных регрессионных моделей 235
7.2.1. Расчет необходимого числа точек наблюдения п в случае без дублирования 238
7.2.1. Г. Исследование равномерной стратегии измерения В1 238
7.2.1.2. Исследование стратегий измерения В2-В5 ^239
7.2.1.3. Обсуждение результатов 239
7.2.1.4. Влияние вариаций точек наблюдения Xj на величины элементов к/ 240
7.2.2. Расчет необходимого числа точек наблюдения п в случае измерений с дублированием 241
7.2.3. Исследование роли точек разбалансировки при решении задачи оценивания параметров регрессионной модели (7.9) 242
7.2.3.1. Влияние точек разбалансировки на точность оценивания параметров линейной регрессионной модели (7.9) 242
7.2.3.2. Методы борьбы с точками разбалансировки 244
7.3. Понятие градуировочной характеристики 247
7.3.1. Пример градуировки хемосенсоров на основе пластифицированных мембран (раздел 1.1) 247
7.3.2. Методическое значение точек разбалансировки 248
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 250
ЛИТЕРАТУРА 252
ПРИЛОЖЕНИЯ 271
6
ВВЕДЕНИЕ
Приборы химического, биологического и иммунного анализа используют различные методы выявления аналитической информации (например, наличие/отсутствие вещества, концентрация компонента смеси и т.д.). Следствием разнообразия приборных и методических решений являются различные формы информативных сигналов и связей их параметров с требуемой аналитической информацией, а также априорная неопределенность случайных составляющих сигналов (т.е. помех). При измерениях по методу конечной точки форма информативного сигнала универсальна - постоянный сигнал (линейный тренд нулевого порядка или ЛТО) с аддитивной помехой. В то же время, кинетический метод основан на анализе кинетической кривой
* = *(/), где х - величина информативного сигнала, t — время. При этом, собственно функциональная зависимость x = x(t) может быть различна, иметь разное число параметров, подлежащих оценке, каждый из которых может быть по-разному связан с искомой аналитической информацией.
В этом случае представляется перспективным исходную кинетическую кривую для широкого класса приборов преобразовать к единой форме, тем самым обеспечить возможность применения унифицированного метода оценивания параметров преобразованного информативного сигнала и, как следствие, использовать общее программно-математическое обеспечение (Г1МО). Последнее способствует сокращению времени и затрат на разработку вычислительных модулей, что прежде всего актуально для относительно недорогих приборов химического и биологического анализа. Возможным решением данной проблемы является преобразование исходного сигнала
* = *(/) в определенном временном диапазоне к унифицированной форме линейного тренда первого порядка (ЛТ1): ср(х) = ay/(t) + b . При этом, а) функции Ф и ц/, в общем случае, нелинейные, должны иметь достаточно простой вид, определяемый типом прибора, б) необходимая информация должна однозначно определяться на основе оценивания величины а — параметра положения преобразованного сигнала.
Термин «Унификация» использован в традиционной трактовке, как приведение чего-либо к единой системе, форме, единообразию. Основные положения регулируются нормативным документом [1]. Унификация в технике понимается как приведение различных видов продукции и средств её производства к рациональному минимуму типоразмеров, марок, свойств и т.п. Основная ее цель — устранение неоправданного многообразия изделий одинакового назначения, приведение к возможному единообразию способов их изготовления, сборки, испытаний и т.п. Наиболее распространена унификация в машиностроении и приборостроении. Широкое использование принципов унификации приборов позволяет значительно уменьшить объём конструкторских работ и период проектирования, сократить сроки создания нового оборудования, снизить стоимость освоения новых изделий. Во многих
7
случаях унификация завершается разработкой заводских, отраслевых и республиканских стандартов, является наиболее распространённым и эффективным методом подготовки и осуществления стандартизации [2-4]. Эти принципы были разработаны достаточно давно, но современное понимание унификации практически идентично изложенному выше [5]. Использование унифицированных изделий и деталей удешевляет ремонт и сокращает количество запчастей у потребителя [6].
Изначально унификация касалась непосредственно 'элементов или изделий. В настоящее время представляется естественным распространение унификации на вычислительные модули приборов, главным образом, на программно-математическое обеспечение (ПМО), включая, естественно, и алгоритмы обработки информации. Проявившая себя тенденция к миниатюризации приборов, включая переход к микро- и нанотехнологиям, в перспективе должна привести к удешевлению прибора. Стоимость вложенного ПМО, особенно, в части стоимости его разработки под конкретный прибор или/и метод анализа также требуется снижать. Тем самым, перспективным и желательным представляется следующий подход: сформировать широкий класс микроаналитических приборов, для которого имеется возможность использования универсального базового ПМО.
Однако, к настоящему времени подобный подход не реализован. Существенными представляются следующие проблемы: 1) возможность и эффективность применения указанного выше линеаризующего преобразования, 2) возможные временные пределы, в которых зависимость адекватно трансформируется к линейному тренду, 3) форма связи информативного параметра а и аналитической информации.
Помимо ранее названного, миниатюризация сопровождается появлением исходных информативных сигналов новой структуры. Например, перевод ряда сепарационных методов химического и биологического анализа (электрофореза, хроматографии и т.п.) на микрочипы привел к изменению формы аналитических пиков от гауссовой к кусочно-линейной (трапециидальной или треугольной, т.е., совокупности ЛТО и ЛТ1).
Таким образом, имеется ряд оснований для выбора в качестве унифицированного преобразованного сигнала совокупности ЛТО и ЛТ1 : 1) это естественная форма исходного информативного сигнала ряда микроаналитических приборов; 2) малое число оцениваемых параметров: либо величина ЛТО, либо, как правило, только параметр положения а ЛТ1 (Ь обычно связан с фоновыми измерениями); 3) простота обработки - интерполяция, дифференцирование и т.п.
Не менее значимыми последствиями миниатюризации приборов (их узлов) будет сокращении времени всех стадий анализа и, как следствие, ужесточение требований к быстродействию преобразования и обработки сигналов и оценивания их параметров. Еще одним следствием миниатюризации может стать многократное уменьшение анализируемых объемов, что при определенных видах детектирования (напр., амперометрическом или флуори-
8
метрическом) приведет к многократному уменьшению информативного сигнала (отношения сигнал/шум). Последнее потребует применения помехоустойчивых (робастных) методов оценивания параметров преобразованных информативных сигналов микроаналитических приборов. Таким образом, помимо разработки процедуры унификации информативных сигналов, не менее актуальна проблема создания методов их обработки, включая экспрессное робастное оценивание их параметров в условиях малости отношения сигнал/шум при априорно неопределенной случайной помехе.
Предпосылкой для унификации информативного сигнала к совокупности ЛТ1 может служить методика идентификации 7-ми типов функциональных зависимостей. Этими зависимостями адекватно аппроксимируются информативные аналитические сигналы различных приборов. Тип зависимости идентифицируется на основе сравнения средних (арифметическое, геометрическое, гармоническое) входной и выходной величин, а зависимость приводится к линейному тренду с помощью преобразований, представленных в таблице 1.
Таблица 1
Функциональные зависимости и метод их преобразования к линейному тренду
Тип Зависимость У=Р(Х) Метод перехода к виду 2=А+В( Алгоритм идентификации типа
1 У-АХ+В 2=Уг 1=Х н / \ V—✓
2 У = ЛХ" г=1п(У), Ып(Х) Г—=14*—)
3 У = Лехр(ВХ) г=1п(У), 1=х
4 У - Ал- ВІХ г=у, /==//х ■ /*■*4 1 * II
5 у=—!— АХл-В 2=1/У, 1=Х г^, = У(Хср)
6 У = ——— АХл-В 2=1/У, 1=1/Х
7 У = А1п(Х) + В 2=у; Ып(Х) У„Р=ПХ^)
Тем самым, представляется перспективным формирование класса микроаналитических приборов, исходные информативные сигналы которых аппроксимируются кинетическими зависимостями типа 1-7 (см. таблицу 1) и на основе простых процедур унифицируются к форме кусочно-линейного сигнала, по отношению к которому возможно применить общий метод (алгоритм) оценивания или/и обработки. При условии, что применение кинетического метода анализа для широкого класса микроаналитических приборов позволяет трансформировать информативный сигнал к ЛТ1 или ЛТО, содержащим лишь 1 подлежащий оценке параметр, сама проблема оценивания этого параметра в условиях значимости влияния помех с априорно неопределенным законом распределения (из-за разнообразия приборов), остается весьма актуальной.
9
Практически важным является достижение наибольшей эффективности оценивания. В нашем случае в качестве целевой функции естественно взять дисперсию ошибки оценивания параметров информативного сигнала. Тогда наибольшей эффективностью обладает оценка, имеющая наименьшую дисперсию. В случае априорно определенного закона распределения помехи алгоритм оценивания может быть получен решением задачи оптимизации (типа максимального правдоподобия), в противном случае необходимо решение иной задачи типа «достижения заданной эффективности оценивания при априорной неопределенности (произвольности) закона распределения аддитивной помехи». Отличие формальных математических постановок в случае унифицированного алгоритма и алгоритма, ориентированного на конкретный вид помехи, принципиально. Первая задача - минимаксная, вторая - максимизации/ минимизации функции. В случае поиска эффективной оценки при конкретном заданном законе распределения случайной помехи одним из методов решения будет поиск экстремума функции правдоподобия.
Задача минимизации/максимизации функции конечного числа переменных есть формальная математическая задача поиска экстремума функции /(х) = /(а-„х2 .vJeXcÄ". Существует три варианта решения задачи:
1) нахождение / = sup f(x) или аналогичной задачи на inif(x), 2) отыскание min и
хсХ
max f(x), 3) отыскание максимизирующей (минимизирующей) последовательности, если решения задачи 1 недостижимы на X (максимизирующая последовательность {х,}: üm f(x,) = /).
Трактовка постановки другой задачи (поиск минимакса или максимина) также достаточно однозначна. Однако, неоднозначна интерпретация собственно термина «минимакс». Ранняя трактовка термина, представленная, например в [7], существенно отличается от современной. Минимакс трактовался как стационарная точка функции нескольких переменных, в которой отсутствует экстремум. Например, точка (0,0) для функции Z — ху является именно такой седловой точкой, поскольку матрица вторых
/л * л
производных (матрица Гессе) примет вид Н —
0 1 1 0
т.е. знако-
ii еоиределенной (знакопеременной). В современной трактовке максимин -
смешанный экстремум, определяемый как sup inf F(x,y) или max min F(x, у).
xc.v >cY xcX y*Y
Поиск осуществляется в соответствии с двумя принципами - принцип минимакса или принцип наибольшего гарантированного результата [8], и может быть осуществлен как последовательное нахождение экстремумов. Однако, существуют, вычислительные трудности даже для хорошо устроенного множества У и равностепенной непрерывности F но X. Численные методы разработаны в таких разделах математики, как исследование операций и теория игр [9-11]. В частности, принцип минимакса сформулирован для антагонистической игры (с противоположными целями и стратегиями
10
партнеров), если выполнено условие шах inf Н(а, b) = min sup #(я, b). Принцип
асЛ ЬсВ ЬсВ ае^
наибольшего гарантированного результата состоит в том [12], что минимальный выигрыш должен быть максимальным при выбранной стратегии игры. Довольно большой обзор методов решения таких задач есть в [13]. Аналогично формулируется задача определения минимаксности статистической процедуры. Это вариант оптимальности в математической статистике: статистическая процедура оптимальна в минимаксном смысле, если она минимизирует максимальный риск.
Следовательно, в работе решается актуальная проблема - поиск методов унификации формы исходных информативных сигналов для широкого класса микроаналитических приборов, а также методов их обработки и последующего оценивания параметров при условии априорной неопределенности закона распределения помехи. Сформулированная выше теоретическая база позволяет уточнить формулировку цели работы и неообходимую для се реализации последовательность задач.
Цель работы:
Разработка методов преобразования информативных сигналов для широкого класса микроаналитических приборов к унифицированной форме совокупности линейных трендов нулевого (J1T0) и первого (J1T1) порядков и методов последующего оценивания их параметров, обладающих робастностью и гарантированной эффективностью в условиях априорной неопределенности о законе распределения случайной помехи.
Достижение указанной цели обеспечивается решением следующих задач:
1. Исследовать структуру исходных информативных сигналов микроаналитических приборов, в т.ч. химического, биологического, иммунного анализа.
2. Обосновать форму унифицированного сигнала, как совокупности ЛТО и J1T1, и рассмотреть методы унификации к указанному виду с помощью нелинейных преобразований временной оси и предварительного информативного сигнала. Как следствие, определить класс микроаналитических приборов, допускающих подобную процедуру унификации.
3. Разработать метод оценивания параметров информативных сигналов типа ЛТО и ЛТ1, обладающий гарантированной эффективностью, робастностью, несмещенностью и состоятельностью оценок при экономичности и простоте реализации.
4. Исследовать применимость алгоритма стохастической аппроксимации Роббинса-Монро и его модификаций в качестве основы метода оценивания параметров унифицированного информативного сигнала.
5. Реализовать в форме программного продукта алгоритм оценивания параметров унифицированных информативных сигналов (параметра положении ЛТ1 или/и величины ЛТО), также включающий выбор начальных установок (величины зоны нечувствительности, масштабного поправочного множителя, начального приближения оценки), и предусматривающий остановку оценивания при наличии разладки в последовательности измерений.
11
6. Решить ряд задач по предварительной обработке информативных сигналов, включающий: а) правило Новицкого-Зограф для разработки унифицированного критерия отбраковки выбросов, б) оптимизация ширины медианного окна для повышения эффективности получения робастных оценок математического ожидания, в) анализ эффективности применения смещенных экстремальных порядковых статистик для оценивания математического ожидания в условиях аддитивной ограниченной помехи, г) цифровая фильтрация J1T1, для повышения эффективности оценивания параметров аналитических пиков (временное положение, амплитуда и площадь пика) в условиях малости отношения сигнал/шум.
7. Исследовать структуру информативного сигнала принципиально нового сенсора для биотестирования окружающей среды естественного происхождения, с чувствительным элементом - самоорганизующейся колонией несовершенных грибов, продемонстрировав возможность и эффективность преобразования информативных сигналов к форме кусочно-линейного сигнала.
Практическая ценность работы.
1. Исследованы области применимости универсальных алгоритмов первичной обработки измерений: а) правило Новицкого-Зограф отбраковки выбросов, б) применение L-оценок на основе медианных порядковых статистик (выбор оптимального медианного окна); в) предложены новые алгоритмы оценивания площади электрофоретического пика при малости отношения сигнал/шум.
2.Модификация информативного сигнала к совокупности J1T1 позволяет унифицировать его обработку и базовое ПМО для широкого класса микроаналитических приборов
3. В качестве универсального алгоритма обработки сигналов типа ЛТ1 с оцениванием его параметра положения при аддитивной случайной помехе с априорно неизвестным законом распределения предложена комбинация перехода к первой разности с симметризацией помехи, и применение рекурсивного алгоритма стохастической аппроксимации. Алгоритм реализован в виде программного продукта.
4. УказаннЕлй алгоритм сигналов использован в базовом ПМО разработанных в Институте аналитического приборостроения РАН приборах: а) хемосенсорных анализаторах pH, ионов тяжелых металлов и редкоземельных элементов в водных средах (фотометры серий SEN и mSEN), б) прибора для фотоплетизмо-графического определения степени кислородного насыщения артериальной крови (CADIX OXI), в) приборах для определения числа и последовательности нуклеиновых кислот серий АНК 16 и АНК 32, г) микрофлюидных электрофоретических устройствах для анализа биологических проб.
5. Сформулированы требования построения линейных калибровочных функций, базирующиеся на необходимости исключения точек риска по Хьюберу.
Положения, выносимые на защиту.
1. Критерий оптимизации выбора ширины медианного окна, что позволяет повысить эффективность первичной обработки информативных сигналов при сохранении робастности.
12
2. Применимость кусочно-линейного сигнала с аддитивной случайной помехой в качестве унифицированного информативного сигнала прибора (принцип объединения приборов по принадлежности исходного сигнала к 7-ми типам и методы их трансформации к унифицированному виду).
3. Метод оценивания параметров кусочно-линейных сигналов (совокупности ЛТ1) при аддитивной помехе с априорно неизвестным законом распределения, и реализация соответствующего метода в форме программного продукта.
4. Доказательства несмещенности оценок методами: а) анализ устойчивости соответствующей нелинейной САУ (по критерию типа Попова), б) модифицированный статистический апостериорный анализ Аоки.
5. Доказательство существования единственного класса невырожденных аддитивных помех (треугольная Симпсоновская помеха), при наличии которых дисперсия ошибки оценивания ЛТО при применении алгоритма Цыпкина не зависит от величины зоны нечувствительности.
6. Модель отклика принципиально нового чувствительного элемента 4 биосенсора — самоорганизующейся колонии несовершенных грибов и ее свойства: а) механизм самоорганизации и его управляющие параметры, б) стратегии развития колонии, в) способы формализации особенностей развития, г) интерпретация смен стратегий развития с позиций фазовых переходов 1-го и 2-го рода, д) представление информативных сигналов в форме совокупности ЛТО и ЛТ1.
7. Принцип построения линейных калибровочных функций, базирующийся на концепции Хьюбера об исключении точек риска.
По теме диссертации опубликованы 66 работ, включая 28 статей, 1 учебное пособие, 4 научных отчета. Из них, статей в журналах, внесенных в перечень ВАК («Научное приборостроение», «Журнал общей биологии», «Микология и фитопатология», «Автоматика и телемеханика», «Радиотехника и электроника», «Аллергология и иммунология», «Журнал аналитической химии») - 18.
Краткое содержание работы описано далее.
В Главе 1 обосновывается главная предпосылка: широкий класс аналитических приборов, включая приборы химического и биологического экспресс-анализа, приборы, реализующие электрофорез на микрофлюидном чипе и т.д., т.е., построенные на различных принципах и механизмах функционирования, имеет, в конечном счете, информативный сигнал в форме совокупности линейных трендов первого порядка (ЛТ1). При этом основополагающей является возможность получения аналитической информации (концентрация анализируемого вещества, величины постоянных составляющих сигнала при оценивании степени кислородного насыщения крови, показатель эффективности ПЦР, параметр положения фронтов пиков компонент при микрочиповой реализации электрофореза, что позволяет оценить временное положение, амплитуду и площадь пика и т.п.) на основе оценивания только одного параметра (параметр положения для ЛТ1 или величина ЛТО).
13
В Главе 2 моделируется отклик принципиально нового чувствительного элемента сенсора для биотестирования окружающей среды - самоорганизующейся колонии несовершенных мицелиальных грибов. Построена математическая модель в форме системы конечно-разностных и дифференциальных уравнений по схеме Тьюринга «реакция-диффузия», учтены свойства и особенности модели - способность мицелия к адаптации, наличие фазовых переходов первого и второго рода при смене стратегии развития. Основываясь на системе уравнений Лотки-Вольтерра и ее авторской модификации, удалось описать клеточные переходы с адекватной динамикой установления баланса клеточных форм (мицелий, дрожжи и т.д.). Также анонсирована концепция хемосенсора на основе указанного чувствительного элемента. Проанализированы информативные сигналы и показано, что они могут быть представлены совокупностью линейных трендов первого порядка. При этом следует отметить, что форма связи информативного сигнала (в рассмотренном модельном примере ЛТО) и аналитической информации достаточно сложна (существенно нелинейна). Тем самым, рассматриваемый модельный сенсор освещенности на основе самоорганизующейся колонии несовершенных мицелиальных грибов не в полной мере может быть отнесен к рассматриваемому в Главе 1 классу микроаналитических приборов, допускающих унификацию обработки , информативного сигнала.
Важные сопутствующие вопросы первичной обработки информации -анализ случайных и грубых погрешностей; ранжирование, упорядочивание элементов и формирование Ь-оценок; анализ эффективности применения экстремальных порядковых .статистик (типа ПИО - простого интервального оценивания) в сравнении с использованием медианных (центральных) статистик, элементы цифровой фильтрации и т.п. исследуются в Главе 3.
Унифицированный алгоритм, реализующий процедуру оценивания линейного тренда первого порядка, фундаментальные асимптотические свойства оценки (несмещенность, состоятельность и эффективность), доказательства других важных базовых свойств алгоритма, в т.ч. на основе оригинального авторского подхода, содержатся в Главах 4 и 5. Практическая реализация алгоритма (программно-аппаратное представление), включающая подбор параметров и начального приближения оценки измеряемого сигнала, выработку критериев остановки оценивания, включая выявление разладки в последовательности измерений, т.е. качественное (скачкообразное или непрерывное измерение характера или параметров сигнала) представлена в Главе 6.
Базовые принципы построения линейных калибровочных функций, связанные с исключением точек риска (по Хыоберу), критерии их линейности и т.п. разобраны в Главе 7.
В Заключении приведена сводка основных результатов работы.
В Приложениях приведены выводы формул и сформулированы и доказаны ряд теоретических положений.
14
ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ С ИНФОРМАТИВНЫМИ СИГНАЛАМИ ТИПА ЛИНЕЙНЫЙ ТРЕНД
Изначально следует рассмотреть общие положения, связанные с детерминированной и случайной составляющими сигнала, приводимыми в специальной системе координат к линейному тренду первого порядка. Положение 1. Основные классы функциональных зависимостей, приводимые к форме линейного тренда первого порядка с помощью трансформации исходного выходного сигнала У или/и элементарного преобразования входного сигнала X представлены во Введении (см. таблицу 1).
Идентификация класса 1-7 для данных зависимостей на основе последовательности измерений {х,,у,},/ = 1,2,...,и путем сопоставления различных оценок средних (арифметическое, геометрическое, гармоническое) величин X и У была, в частности, предложена в работе [14]. Полагаем величину X непрерывно изменяющейся от значения XI до х2. Тогда интегральное среднее есть среднее арифметическое, среднее геометрическое вычисляется на основе интегрального среднего 1п(х), среднее гармоническое - на основе интегрального среднего значения обратной величины 1/Х.
Этап 1. Средние значения аргумента X.
Этап 2. Средние значения функции У.
і-В = ЛХар+В = У(Хор)
Класс 2. Расчет среднего логарифма У:
■ »
Тогда Г^=А(Х^У = У
Тогда Гм = А ехр(ВХар) = У{Хар )
хх + х2
Класс 4. У =—-— Г(А + В/х)ск = А + В1п(*г —1} => У
V — V •» V — V
Х2 ~Х
Уф = Л + В!~У{Х;ори)
Класс 5. Расчет среднего значения обратной величины 1/У:
= ПХор)
15
Класс 6. Расчет среднего значения обратной величины 1/У:
(1 / Г)„ = —\(А + В1х)с1х = А + В Нх-±*0 =А + В/* =»
V — V * V — г.
*2 -X
Класс 7. Расчет У
зс21п(*г)-х, 1п(Х|) | в л
ВЫВОД: Естественно, что наличие аддитивных помех и дискретность отсчетов х сделает соответствующие точные равенства приближенными. Вместе с тем, очевидно, сопоставление определенных видов средних значений функции У и аргумента X позволяет но критерию минимума невязки идентифицировать любой из указанных семи классов.
Например, для зависимости класса 7 из всех невязок:
вторая окажется наименьшей и т.п.
Положение 2. Общие характеристики случайной аддитивной составляющей информативного сигнала
Для использования вероятностного подхода к оценке погрешностей, прежде всего, необходимо установить закон распределения. Распределения же достаточно разнообразны: одни ограничены, другие не ограничены, одни имеют плоскую вершину, другие круглую, третьи острую, а иные и две круглых или острых вершины. Дж.Кендалл и А.Стьюарт [15] предлагали классифицировать формы распределений на 5 типов: симметричные; симметричные двухмодальные ; косые; крайне косые; все остальные. Эти распределения могут быть количественно оценены с помощью таких параметров, как энтропийный коэффициент и коэффициент антимодальности. •
Применительно к погрешностям достаточно рассмотреть лишь два первых типа распределений, но целесообразно подразделить их на более мелкие классы, а именно: трапециидальные (т.е. плосковершинные), уплощенные (т.е. приближенно плосковершинные), семейство распределений Стьюдента (включая распределение Коши), экспоненциальные, двухмодальные кругло- и островершинные распределения, выделив отдельно класс арксинусоидальных распределений.
Подробнее различные характеристики случайных величин, в том числе, и с трапециидальным законом распределения, будут рассмотрены в Главе 3.
16
Равномерное распределение имеют: погрешность квантования в цифровых приборах, погрешность округления при расчётах, погрешность от трения в стрелочных приборах с креплением подвижной части на кернах и подпятниках, а также в самоуравновешивающихся мостах, погрешность определения момента времени для каждого из концов временного интервала в электронных цифровых хронометрах и частотомерах и т.д. Суммируясь между собой, эти погрешности образуют трапецеидальные распределения с разными соотношениями оснований трапеции. Так, например, общая погрешность временного интервала в электронных цифровых частотомерах оказывается распределенной по треугольному закону, так как образуется из двух равномерно распределенных погрешностей определения его концов.
Равномерное распределение имеют дополнительные погрешности от колебания влияющих величин. Так как функции влияния принимаются, как правило, линейными, а коэффициенты влияния - постоянными, то распределение вероятностей дополнительной погрешности Д© как систематической линейной функции случайного аргумента 0 повторяет с масштабом (по оси Д0=х©) в виде коэффициента влияния х закон распределения вероятностей влияющей величины 0. Композиция двух равномерно распределенных случайных величин может иметь существенно различный закон распределения.
По причине исследования информативных сигналов различных микроаналитических приборов, решающих задачи выявления самой разной химической и биологической информации подразумевает необходимость использования существенно отличных друг от друга принципов построения как аналитического, так и вычислительного модуля. Кроме того, параметры информативного сигнала, подлежащие оценке и содержащие необходимую аналитическую информацию также различны. Как следствие, можно предполагать наличие источников случайной помехи с существенно различными законами распределения и интегральными характеристиками.
Таким образом, в дальнейших рассуждениях целесообразно использовать унифицированное положение (базовую гипотезу) об априорной неопределенности о законе распределения случайной помехи.
17
1.1. Экстракционные методы и приборы
Рассматривается формирование информативного сигнала приборов химического экспресс-анализа на основе экстракционных методов. Методика постановки реакции и, собственно, организация проведения химических реакций остается за рамками исследования. Т.е., рассматриваются временные зависимости количества экстрагированного продукта при проведении разных типов химической реакции, при различных физико-химических характеристиках реагентов и продукта (константы скорости прямой и обратной реакций, характер реакций - объемная или поверхностная, коэффициенты диффузии реагента и продукта, различные граничные условия). В общих чертах эти схемы описывались в работах Ягодина, Пичугина, Тарасова и др. [16-21]. Некоторые из рассмотренных авторами [16,17] схем в данной работе разобраны более детально; в ряде схем описаны более общие случаи выбора параметров.
1.1.1. Базовые схемы экстракции
В упомянутых ранее работах исследованы, промоделированы и описаны более 20 схем экстракции. В нашем случае ограничиваемся только 12 схемами, которые существенно различаются по характеру базовых физико-химических процессов. При этом при построении математической модели кинетической кривой (зависимости количества экстрагированного продукта от времени) на возможные значения параметров модели будет наложено минимальное количество нетривиальных ограничений.
Схема 1.
1 2 ДА В
» * ку ►
2 Э2Со1 _ сС„; дх2 д(
Ь2^г = Цг + КС»г Здесь о2 = йл,Ьг = £>„.
дх д1
кС 8/ '°г
О
Начальные условия: Са|(0,;с) = С°,;Са2(0,д:) = 0;СЛ2(0,лг) = 0. Граничные условия:
18
сл(/,-«) = с”;Са2(/,+«>) = 0;С.,(/,0) = аС„2(г,0);Д., ЁС“£>0). = £>„2 . « -
Эх Эх
постоянная равновесия фаз. Ось X направлена от фазы 1 к фазе 2. На границе
раздела Х=0. Количество экстрагированного продукта связано с
+•»
соответствующей концентрацией как qЬ1{t)= ]си(лг,/)а&с.
о
Решение системы осуществляется операторным методом на основе преобразования Лапласа. Определяется изображение количества экстрагированного продукта - ()ь2(р) и переход к оригиналу Цы(0-Возможными методами решения могут быть восстановление оригинала на основе таблиц, либо численное восстановление оригинала на основе разложения по тригонометрическим функциям (метод Папулиса). Суть этого метода будет изложена в конце данного параграфа.
В отличие от [16,17], где рассмотрены случаи а»1 или а«1, будет
сш
исследован оригинал при произвольном значении параметра у - —.
Ъ
Изображение количества продукта примет известный вид:
С*аЬк
—==1— ..................... с. Явный вид для оригиналов будет
р^р\аа^р{р + к„)+Ь(р + ку))
представлен ниже. Введя обозначения ег/(х) — интеграл вероятностей
2 х
(функция Лапласа), а Ф(х) = Г'ег/Цх) = -т= [схр(г2)</г, получим
л/тт о
ехр
ег/
кл
ґ-і)
-егг
и
4к
у =!: Чп (о = С.°, )
у<\:ъЛ>) = С°,а
2'^Ч'-їг-ехр
кл
I
Ф
ч ч
и
1-у’)
-Ф
кл
I Ь-г2))
Рассмотренные ранее предельные • случаи получаются из данных зависимостей либо предельным переходом (у—>0)
9ы(Г)
, либо (при у—>со) через применение правила
Чь2 (0 = —-1 ^ ехр(“М) + л/*Г*г/(у[к~і)
/ -
. Асимптотические зависимости
С я Си А
171 » а!=(1 -р/ку). Изображением первого слагаемого будет
(]Ь2(0 при можно получить, приняв р—>0. В частности, при у—>0
С0 а Г°
о ~ а] -
~Й2 + р4р
С°о1а ■ 2^. В противоположном
случае
(у—>оо)
19
0Ь2 *------------------« Рв1°^ (1 - р/(2кг)). Первое слагаемое линейно
аар ^к,, у11 + р/ку ур
относительно /, второе соответствует постоянному смещению.
При больших t практически все зависимости представляют собой
линейные тренды в специальной системе координат, связанной с -Л. В
особом случае имеется линейный тренд первого порядка в
естественных временных координатах.
Схема 2.
1 2
А В
Гг
м
j2 д2С(11 _ 6Са1 Jr яг Здесь °2 = °л’*2 = °п ■
д2 ” ^Ы _ Ь2
дх2 ' 8t
Начальные условия: Св1(0,д:) = С®1;С/)2(0,х) = 0. Граничные условия:
С (4 агЛ—С°'Г (t 1пгЛ — О* П - fr г OV Л — п °Cb2(t$)
а\ V» ) - ^а\ >(-'Ь2 Ц’+0°) “ 0, DaJ — — ksCaX (/,0), Dal — Db2
дх дх cx
Естественным определяющим параметром будет h = ks/a2. Изображение количества экстрагированного продукта примет вид:
С0 а2И С0 а1 И2
Qbl = al -------------------------. Соответствующее изображение
р(р-а h ) р^р(р-а И )
qh2(/) = + —el(схр(а2h2t)(l - erf {ah-it]-1) и асимптотическое представление
V/г h
также имеет вид линейного тренда первого порядка в специальной системе
/ч 2С® а г С°а1 координат qh2(0 «—f^yjt —f-.
•V К п
Схема 3.
Схема 1 с учетом дополнительной диффузии продукта реакции В в фазе 2. Дополнительные граничные условия, связанные с продуктом Ь2: 6С (t 0)
Db2 — = °^*2(/>+со) = 0 и новый параметр Db2 = с2.
дх
20
Решение осуществлялось в условиях у =-= 4п +1, тем самым,
ь
ограничиваясь вариантом у>1. Изображение количества экстрагированного
С*ак
продаг,:е"-Ж^Ш^ет^)'
Т ' ГГ‘'Л' 1:777 —1
схеме егДл/Ц)
Асимптотическая зависимость также имеет вид линейного тренда первого
(>+ч/ -ег/ И \
И " J 1*и J /
порядка: дп (/) * С° оГг^ - ^±1 коэффициент диффузии продукта В. Схема 4.
. Заметим, что в явном виде отсутствует
Схема 3 с учетом обратимости объемной реакции
а
л д2С0{ _ дСа1
дх‘
ь1
о2
ОС
а2
дх2
2.
ді
.2 д С&2 _ дСЬ2
+ (*Л2 -*2,Сы) Здесь а1 = = /)а2,с2 = йЬ2.
дх1 д!
Начальные условия: Са1(0,д:) = С“,;С2(0,х) = 0;СА2(0,х) = 0 .
с*1 (/~х) = с*; с*2 ('»+00) = 0; СА2 (/,-ко) = о
Граничные условия: Д., ЭС°^/’°') = Д,2 аС^('’0);Са,((,0) = аСо2(/,0).
ох
^ дСА2(/,0) л
А» — — = 0
62 Ох
Естественным параметром является отношение скоростей прямой и обратной объемных реакций: Кр = — Случай схемы 3 - КР»1У т.е.
*2г
необратимость объемной реакции. Асимптотическое представление количества экстрагированного продукта В также имеет вид линейного
21
тренда в специальной системе координат: ?52(/)«2+ //2. Параметры
1
тренда
Рх —
(1 + *,Х?0
/i, =----— f— + — -O. + ./I + Л •(/„ /(ÖCJ) вычисляются с исполь-
о+*,)7*Г
зованием вспомогательных коэффициентов о.—JL-+iÆ+-V и
а\Ь2 с2
о
/ ATi, 1 \KD 1
V*r+?'G,+v [1 + *, <v№cjjf+p.)
1
_аа Ф + Кр_____________________
* ос г
При Кр»1 получается: G0 & Jk~/a;Gx *aa/b + b/(ac) и, следовательно,
/Л
cUKr
гол.„ .. О, ПГ-Ц .°0ч_ Г0 аа
что совпадает с
предыдущим случаем. Схема 5.
1
А
в
а
2 д2Са{ _ дСаУ
ôxi dt
ь2^~=^к~+кс-2 Здесь =°“'у=°'"г=°а ■
2 а!с„ ас
Ь2 _ ^»2 jl Г
а.2 " а/
Начальные условия: Со1 (0, х) = С°, ; С,2 (0, х) = 0;СЬ2 (0,х) = 0.
са,(/ ,-оо) = С®,;Ср2(/,+оо) = 0;СА2(/,+со) = 0
т- ~ аСЛ|(/,0) л
Граничные условия: Z)62 —= 0;
дх
0)
22
С0 к к
Іліл»
Изображение продукта В в фазе 2 имеет вид: ()Ь2 = —г— г- ч ~
Рт1РЧР + к,/а){р + ку)
асимптотическим представлением оригинала в форме ?*2(0» 2р1^--р2У где
С° а1
Р\ -С°,я;д2 —• В общем виде, оригинал представлен существенно более
К
сложным выражением:
Г° к
2 а ~к
ехр Гк2 ^ / 1-е// / г. \ -1
1" ; \ 7
-1 + ехр (-£„/) -
к, ехр(-^р
а 7*7
ф(Д7)
Схема 6.
1
а2с„, ас
ОІ _ а!
а/
ах2
«2 _ ^?Г«2
а2с, ас
в
в
дх‘
12,
а/
+ *уСв2 Здесь а2 = Д,,,62 = £>л2,с2 = /V
2 а Сд2 _ аСд,2 , ^ ах2 а/ у а2
Начальные условия: Са,(0,дг) = С°;Са2(0,х) = 0;СЛ2(0,х) = 0.
Са1(/,-со) = СЛ°,;Сд2(/,+со) = (^С^+со) = 0;Со1(/,0) = аСй2(/,0);
Гр”е ,“0,ия: о., . о., * ».С.,<■..№„ - *Л(.,0)'
дх дх дх
Естественным параметром является отношение скоростей объемной и
(хк
поверхностной реакций (р = —Изображение продукта реакции В в фазе 2:
вь2 =
Ь4К
СаА^К +(Ру1р + к],)
>/р{ р/^К +УІК-~Г7^УІР(Р + К) +<Ру1р + ку
\ •
Асимптотическое
23
представление оригинала дЬ2(0*
л»0
Єо\а
РІР
1 + <р
аа
1+<р—пг4р
чк )
=2С>Е+_^_
Уяг 6л/*7(1 + 9>)
также является линейным трендом первого порядка в специальной системе координат. В случае ф»1 имеет место случай схемы 2 (второе слагаемое
примет вид С>—
к,\ + <р к,
Схема 7.
2 1
А А
О X
Прохождение сквозь «барьер» шириной X. По-существу, система трехфазиая с двумя условиями межфазного равновесия и своими коэффициентами
диффузии.
2,
а
2 V сл дСл дх1 " 3/
а2с„ ас.
0Х
12
Здесь а2 = /Л,,*2 =£>оЯ,с2 = £>„,.
а с«г _ зс„2
дх2
Начальные условия: Са, (0, х) = С (0, х) = С*х; Си2 (0, х) = 0. Граничные
Св1(/,-оо) = С“ ;Сй(/,+«о) = 0;СЫ|(/,Я) = я,СвД(/,Л);СвА(/,0) = а2Са2(/,0);
условия:
ОІ
ас„,((,я)_ ас„м>
ак
дх
. р 5С«2(^>0) _ дС.«л(*>0)
~ ЛЛ-’ Г” ’ а2 " “ иаХ ~~Г
дх ох дх
Введя функцию гиперболического тангенса - ік(х)9 представляем
С с
о А
изображение продукта А в фазе 2: Qa2 -
/ Ъ , а, + —7/г (Щ
1 а V { ь ))
Рл[р
- + а,«2 +| —а2+ — а{
Ь
а
(И
№ЇҐ
ь
При вычислении оригинала при асимптотическом поведении (г—>оо) рассматривается предел Qa2 при р—>0. В этих условиях линеаризуется и гиперболический тангенс М(х)ях. Вид линейного тренда качественно
24
напоминает полученный ранее, но с другими значениями коэффициентов:
да2(0м2/£1^ + м2-
А / . ч Л(Ь с Л
-(с/а + а]а2)-а]-\ -а2 +-а1 а Ьуа о
Сс
С°хса,
Л =~Г^—— > Л =? , у
с/сг + а,а2 (с/д + аг,а2)
Для малых времен (больших р) обращение изображения следует осуществлять приближенными (численными) методами.
Схема 8.
1
к5
По-существу, это схема 2 с другими условиями равновесия для поверхностной реакции
д2 д2Са{ _ 8СЛ
Зг яг Здесь “2 = °л’Ь* = °-г ■
^2 V Сд2 _ с?Св2
ах2 а/
Начальные условия: Со1(0,х) = С°,;Св2(0,*) = С°2.
Граничные условия:
Св1(/>-оо) = С0°1;Св2(г,+оо) = С0°2;
- />., = *.(С„ (/.0) - «С,г (/,0)); йл = /Л; '
их дх дх
Введя параметр О = кх()/а + а/Ь), получим изображение количества продукта
к (с0 -аС° )
А в фазе 2 в форме: <2а, = ^^. Асимптотическое поведение
Рл]РЧР+П)
к СС^ с(С^ )
оригинала ^(О*----------------— (2л///лг - О). В случае а=0 получаются условия
схемы 2. Соответственно & = кх/а и форма тренда совпадает с представленной ранее в схеме 2.
25