Эффективные методы определения энергетического спектра матриц большой размерности в задачах экспериментальной физики

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ................................................................5
ГЛАВА 1. ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ МАТРИЦ В ЗАДАЧАХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ..........................16
1.1. Матричные методы редукции в задачах оптической диагностики.........16
1.1.1. Основные задачи и схемы измерений в оптической диагностике дисперснофазных струй ..................................................16
1.1.2. Обобщенная математическая модель измерения параметров дисперсных веществ и функциональная схема прибора компьютерной диагностики.............................................................23
1.1.3. Постановка задачи редукции распределенных параметров и методы
решения обратных задач в оптической диагностике.........................26
1.2. Методы обработки изображений и сигналов............................34
1.2.1. Важные особенности постановки задач спектрального анализа сигналов................................................................35
1.2.2. Обычные методы спектрального анализа.............................36
1.2.3. Методы, основанные на моделях исследуемых процессов..............38
1.2.4. Моделирование сигналов на основе сингулярного разложения.........44
1.3. Анализ устойчивости определения параметров линейной модели эмпирической зависимости по методу «наименьших квадратов»...............47
1.4. Анализ методов определения собственных значений действительных
матриц.................................................................54
1.4.1. Методы приведения матриц общего вида к форме Хессенберга.
Анализ их устойчивости и быстродействия.................................54
1.4.2. Алгоритмы ОЯ-метода. Анализ их быстродействия и точности.........59
1.4.3. Методы определения собственных значений матриц компактной формы с помощью корней характеристического уравнения....................64
1.4.4. Апостериорные оценки погрешности нахождения собственных значений действительных матриц общего вида..............................67
3
ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВЫЕ БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПРИВЕДЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ К КОМПАКТНОЙ
ФОРМЕ И ДИАГОНАЛИЗАЦИИ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ............................72
2.1. Модифицированный метод Гивенса...................................72
2.1.1 Математическое обоснование модификации метода Гивенса...........72
2.1.2. Анализ вычислительных погрешностей модифицированного алгоритма Гивенса.....................................................77
2.1.3. Анализ результатов численных экспериментов.....................79
2.2. Алгоритмы диагонализации трехдиагональных симметричных
матриц................................................................85
2.2.1.Математическое обоснование алгоритмов диагонализации трехдиагональных симметричных матриц..................................85
2.2.1.1. Алгоритм М83ШЧ390 ..........................................89
2.2.1.2. Алгоритм МБЗОТС^с ............................................92
2.2.2. Анализ вычислительных погрешностей алгоритмов М83ОТО90, МБЗОТвЗас.............................................................95
2.2.3. Сравнение алгоритмов диагонализации трехдиагональных симметрических матриц по результатам численных экспериментов..........99
2.2.3.1. Анализ точности алгоритмов М83ОТС90, МБЗОТвЗас и
()Я-метода..........................................................100
2.2.3.2. Анализ быстродействия алгоритмов М83ОТО90, М8ЭОТС1ас
и ()Я-метода.........................................................105
2.3. Алгоритмы диагонализации заполненных симметричных матриц........108
2.3.1. Алгоритм М8ТО90...............................................110
2.3.2. Алгоритм МБТСЛас..............................................113
2.3.3. Анализ результатов численных экспериментов....................119
ГЛАВА 3. МЕТОДЫ “КОРРЕКЦИИ ЛИНЕЙНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ”
И “КОРРЕКЦИИ КРАТНОГО КОРНЯ” ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА........................121
3.1. Математическое обоснование методов..............................121
3.2. Анализ быстродействия и точности метода “коррекции линейной интерполяции” (МКЛИ) и метода “коррекции кратного корня” (МККК)......129
3.2.1. Анализ скорости сходимости методов............................129
3.2.2. Анализ точности методов.......................................134
4
3.2.3. Численные примеры............................................135
ГЛАВА 4. МЕТОД ДИАКОПТИКИ СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ КОМІ ІАКТНОІ О ВИДА...........................139
4.1. Алгоритм “затухающего маятника’' метода “диакоптики” спектра собственных чисел трехдиагональиых симметрических матриц............139
4.1.1. Математическое обоснование алгоритма.........................139
4.1.2. Анализ вычислительных погрешностей и быстродействия алгоритма “затухающего маятника’’ метода диакоптики спектра собственных чисел трехдиагональных симметрических матриц..............................149
4.2. Алгоритм “затухающего маятника” метода диакоптики спектра собственных чисел матриц в форме Хессенберга........................149
ГЛАВА 5. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ДИАГОНАЛИЗАЦИИ И ДИАКОПТИКИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ..............................................................158
5.1. Измерение геометрических параметров изделий с помощью оптического анализа поверхностных неоднородностей...............................158
5.2. Интегральный метод измерения скорости частиц двухфазного потока 159
5.3. Интегральный метод определения температурного распределения
частиц дисперснофазных струй........................................164
5.3.1. Метод редуцирования температурного распределения частиц по их интегральному тепловому спектру.....................................165
5.3.1.1. Постановка задачи и аналитическая модель измерения.........165
5.3.1.2. Физическая модель измерения и методика калибровки..........167
5.3.2. Автоматизированный спектрофотометр “Диагностик-Т’ на базе интегральной МДП-фотодиодной линейки................................173
5.4. Диагностика дисперсности в процессе впрыска топлива............176
5.5. Метод “диакоптики” спектра энергий и электронной структуры
в кластерных расчетах неупорядоченных систем........................181
ВЫВОДЫ.............................................................187
ЛИТЕРАТУРА.........................................................189
ПРИЛОЖЕНИЕ...................................................................197
5
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследований. В настоящее время существо проблем в технике физического эксперимента в большей степени связано с совершенствованием техники регистрации и обработки сигналов, автоматизацией физического эксперимента с повышением его технологичности, обеспечивающей увеличение информативности с понижением трудоемкости затрат на него. Сложные дорогостоящие физические эксперименты (например, в физике атомного ядра и элементарных частиц) диктуют необходимость быстродействующей обработки больших массивов экспериментальных данных для достижения цели проведения эксперимента в реальном масштабе времени. Поэтому актуальным современным направлением является компьютерный физический эксперимент с использованием «интеллектуальных инструментов», другими словами, метакомпьютера - виртуального свсрхкомпыотера в виде глобальной компьютерной сети распределенных вычислений для проведения анализа, обработки и визуализации данных, поступающих с датчиков, и требующих специальных средств взаимодействия программных компонентов и вычислительных систем, физически размещенных в научных центрах разных стран.
Обеспечение возможности работы измерительного оборудования и высокопроизводительных систем обработки информации в реальном масштабе времени достигается за счет применения параллельных вычислительных многопроцессорных систем на базе параллельных матричных процессоров в виде СБИС, встроенных в датчики измерительных устройств и архитектура которых использует структуру методов матричной алгебры. Например, методы решения множества линейных алгебраических задач, матричные методы цифровой фильтрации сигналов определили архитектуру «систолических» матричных процессоров конвейерных вычислений (встречно-поточных процессоров), процессоров «волновой обработки», высокопараллельных процессоров с перестраиваемой конфигурацией.
При решении многих физических задач интегро-дифференциальные уравнения, описывающие математическую модель измерений физического эксперимента (либо физической системы), сводятся к матричным уравнениям, которые необходимо редуцировать с определенной точностью. Данная проблема связана с применением и разработкой методов регуляризации, использующих
6
ортогональные методы приведения больших матриц к компактному виду (почти треугольной, треугольной, трехдиагональной, блочно-диагональной, диагональной), диагонализацией с определением их «энергетического» спектра, либо с их обращением. Например, в оптических обратных задачах, в статистической обработке экспериментальных данных, а также, и при разработке специализированных матричных процессоров на базе СБИС, устойчивость обращения матриц достигается ортогональными преобразованиями, реализующими разложение по сингулярным (собственным) значениям (разложение по энергетическому спектру). Хорошо известна, например, роль трехдиагональных матриц в теории ортогональных многочленов, к которым сводятся современные алгоритмы сплайновых аппроксимаций эмпирических зависимостей, в разностных методах решения задач математической физики, в расчетах энергетического спектра и электронной структуры «цепочных» молекул. Для них необходимы численно устойчивые алгоритмы определения собственных чисел с гарантированной точностью.
Состояние вопроса. Недостаточно развитое состояние в области создания ортогональных методов, которые характеризовались бы широкой универсальностью применения, нечувствительностью к свойству «плохой обусловленности» матриц, побуждает предпринимать попытки эффективно решить эту проблему. По данной проблеме широко известны работы зарубежных и отечественных научных школ под руководством Дж.Х. Уилкинсона, Б. Парлетта, В.В. Воеводина, С.К. Годунова, В.Н. Фадеевой, Д.К. Фадеева, А.Н. Тихонова и многих других авторов. Практически отсутствуют какие-либо эффективные методы декомпозиции задачи на собственные числа.
В качестве примеров актуальных задач, в которых и до настоящего времени существует потребность в совершенствовании методов диагонализации, декомпозиции и приведения к компактному виду больших матриц, можно привести следующие:
1) методы статистического анализа экспериментальных данных и планирования эксперимента, линейного прогнозирования и моделирования процессов измерений в технике физического эксперимента;
2) современные методы обработки сигналов: калмановская и винеровская фильтрация, адаптивная трансверсальная фильтрация, спектральный анализ с использованием сингулярного разложения, цифровая обработка изображений и распознавание образов с помощью двумерных унитарных преобразований,
7
кодирование сигналов в системах передачи информации, проблемы устойчивости систем управления и связи, обработка сигналов в фазированных антенных решетках и другие;
3) квантовомеханические расчеты атомных и молекулярных систем, кластерные методы в задачах физики твердого тела;
4) теория колебаний и теория распространения волн в различных средах и многие другие.
Например, в квантовомеханических расчетах молекулярных систем и кластеров твердого тела практически до 70 - 80% «машинного» времени затрачивается на диагонализацию матриц и для «больших» систем с большим порядком матриц (до десятка тысяч и выше) практически не реально за один непрерывный счет на ЭВМ получить результаты (проблема «метакомпьютинга»). Поэтому в настоящее время актуальным является решение проблемы декомпозиции задачи диагонализации матриц «по частям». 'Го есть задача сводится к разработке такого метода, осуществляющего инвариантное преобразование большой матрицы к блочно-диагональному виду, в результате которого появилась бы возможность каждый матричный блок более низкого порядка диагонализировать «по частям» в рамках «однопроцессорной системы» по очереди, либо параллельно в рамках «многопроцессорной системы».
Цель исследований заключается в расширении возможностей и совершенствовании методов экспериментальной физики за счет создания устойчивых, с гарантированной точностью и высоким быстродействием методов приведения к компактному виду, диагонализации и декомпозиции матриц большой размерности, представляющих массивы многомерных экспериментальных данных в матричных измерительных уравнениях.
Задачи исследования:
1. Определение широкого класса задач экспериментальной физики, использующих модель измерительного уравнения в матричном виде, с анализом погрешностей вычисления собственных значений матриц большой размерности;
2. Разработка быстродействующих методов диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц, обладающих абсолютной сходимостью и гарантированной точностью независимо от свойств «обусловленности» матриц;
3. Создание быстродействующего метода декомпозиции «компактной» формы матриц большой размерности.
8
4. Разработка методов для решения обратных спектральных задач экспериментального исследования температурного распределения частиц в гетерогенных потоках.
Научная новизна результатов исследований:
Получены «апостериорные» оценки «ошибки смещения», «стандартного отклонения» и максимальной погрешности вычисленных различными методами собственных чисел действительных матриц, использующих инварианты матриц: след (Я) и евклидову норму (Е).
Разработан «модифицированный» метод Г ивенса, который за счет использования свойств рекуррентности пересчета определенной части элементов матрицы сокращает количество операций умножений в 4/3 раза, а, значит, имеет более высокое быстродействие, чем традиционный алгоритм Гивенса.
Разработаны алгоритмы диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц, сходимость которых в отличие от наиболее эффективных, например, алгоритмов ОЯ-метода является абсолютной и точность не зависит от свойств «обусловленности» исходных матриц.
Разработаны быстродействующие метод «коррекции линейной интерполяции» и метод «коррекции кратного корня» для определения корней «характеристического» уравнения трехдиагональной симметричной матрицы, позволяющие вычислять собственные числа матриц с высокой точностью и в случае «патологически близких» корней (с учетом ограниченности «машинной» точности, практически кратных корней).
Разработаны алгоритмы «затухающего маятника» метода «диакоптики» спектра собственных чисел симметричных трехдиагональных матриц и матриц в форме Хессенберга, осуществляющие декомпозицию матриц «по частям», характеризующиеся замедлением сходимости процесса диакоптики лишь для «плохо обусловленных» матриц.
Новизна технических решений. Разработан принципиально новый способ определения температуры частиц конденсированной фазы движущихся гетерогенных объектов. Новизна технического решения подтверждена патентом № 2107899 на изобретение, зарегистрированным в Госреестре изобретений (РОСПАТЕНТ), Москва, 27.03.1998.
Методы исследования.
В диссертации использованы методы экспериментальной и теоретической физики, методы оптической диагностики, теория взаимодействия светового
9
излучения с веществом, вычислительные методы линейной алгебры, численное моделирование и методы решения обратных задач, теория вероятности и случайных процессов, методы статистической обработки данных.
На всех этапах исследований проводилось сопоставление теоретических выводов и оценок с результатами компьютерного и физического эксперимента.
Практическая ценность работы:
Полученные апостериорные оценки погрешностей вычисленных собственных значений действительных матриц, которые являются оценками «снизу», наряду с «традиционными» априорными оценками «сверху», которые часто могут оказаться «завышенными», позволяют более достоверно оценивать погрешности вычисленных собственных значений.
Разработанный «модифицированный» метод Гивенса, практически не уступающий в отношении быстродействия методу Хаусхолдера как наиболее эффективному методу приведения действительной матрицы общего вида к компактной форме, характеризуется гарантированной численной устойчивостью в отличие от метода Хаусхолдера и поэтому может быть рекомендован к широкому применению.
Разработанные алгоритмы диагонализации симметричных
трехдиагональных и заполненных матриц могут быть рекомендованы в различных прикладных задачах на собственные значения для матриц большой размерности (п > 1 ООО ).
Разработанные быстродействующие метод «коррекции линейной интерполяции» и метод «коррекции кратного корня» для определения корней «характеристического» уравнения трехдиагональной симметричной матрицы позволяют вычислять собственные числа матриц с высокой точностью и в случае «патологически близких» и кратных корней;
Разработанные алгоритмы «затухающего маятника» метода «диакоптики» спектра собственных чисел трехдиагональных матриц и матриц в форме Хессенберга, осуществляющие декомпозицию матриц «по частям», позволяют для «сверхбольших» матриц решать задачу на собственные числа.
Реализация результатов.
Для всех предлагаемых к широкому использованию методов и алгоритмов, изложенных в диссертационной работе, разработано соответствующее программное обеспечение на алгоритмических языках ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ.
10
Проведено их детальное тестирование в ходе численных экспериментов, в результате которого получено подтверждение всех теоретических оценок и выводов.
На новый способ определения температуры частиц конденсированной фазы движущихся гетерогенных объектов получен патент РФ К» 2107899, использующий предлагаемые в работе матричные методы.
Разработанные методы, алгоритмы и соответствующие им программы использовались при решении конкретных прикладных задач, результаты которых отражены в публикациях.
На защиту выносятся следующие основные научные результаты:
1. Методика «апостериорных» оценок погрешности вычисляемых различными методами собственных значений действительных матриц;
2. Модифицированный метод Гивенса для приведения матрицы общею вида к компактной форме и быстродействующие методы диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц, основанные на устойчивых элементарных вращениях, обладающие абсолютной сходимостью и гарантированной точностью независимо от свойств «обусловленности» матриц;
3. Быстродействующие алгоритмы «затухающего маятника» метода диакоптики спектра собственных чисел трехдиагональных симметричных матриц и матриц в форме Хессснберга, реализующего процедуру декомпозиции матрицы путем последовательного приведения блочно-диагональной формы к диагональной и форме Шура соответственно.
4. Метод редукции спектральной задачи экспериментального исследования температурного распределения частиц в гетерогенных потоках.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 24 печатных работах, получен один патент на изобретение.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих всероссийских и международных конференциях и совещаниях: Всесоюзная научная конференция «Современное состояние теории атомов и молекул», г. Вильнюс, 1979г., Всесоюзная научная конференция «X Сибирское совещание по спектроскопии», г. Томск, 1981 г., Всесоюзная научная конференция «Планарные дефекты в упорядоченных сплавах и интерметаллидах», г. Барнаул, 1987г., Всесоюзная научная конференция «Координатно-чувствительные фотоприемники и оптикоэлектронные устройства на их основе», г. Барнаул, 1989г., Всесоюзная научная
11
конференция «Оптические сканирующие устройства и измерительные приборы на их основе», г. Барнаул, 1990 г., 10-ое Всесоюзное координационное совещание по квантовой химии, г. Казань, 1991г., Международная конференция по алгебре памяти А.И. Ширшова, г. Новосибирск, 1991г., Первая международная конференция «Нанотехнология, наноэлектроника и криоэлектроника», г. Барнаул, 1992 г., Третья международная конференция памяти М.И. Каргаполова, г. Красноярск, 1993г., Международная конференция «Всесибирские чтения по математике и механике», г. Томск, 1997г., Международная научно-техническая конференция «Совершенствование быстроходных ДВС», Барнаул, 1999 г., 8-ая международная конференция «Математические методы в электромагнитной теории», г. Харьков, Украина, 2000г.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 197 страницах машинописного текста, содержит 34 рисунка, 11 таблиц и список литературы из 102 наименований.
Краткое содержание работы
Во введении обоснованы актуальность, научная и практическая значимость проблемы, сформулированы цель и задачи исследований, их научная и практическая новизна, изложены основные выносимые на защиту положения, приведена краткая характеристика работы.
В первой главе диссертации проведен обзор широкого класса задач экспериментальной физики, в которых возникает проблема обработки многомерных данных, представляющих собой матрицы большой размерности. К ним сводятся задачи статистической обработки экспериментальных данных с использованием, например, метода «главных компонент» или метода «наименьших квадратов» (МНК), задачи планирования физического эксперимента, обработка сигналов, квантовомеханические расчеты кластерных неупорядоченных систем, оптические и электрические измерения и другие. Их общим признаком является наличие матричного уравнения, или сводящегося к нему интегрального или интегро-дифференциального уравнения, связывающего экспериментальные данные с физическими параметрами объекта исследования.
Показано, что решение таких измерительных уравнений в экспериментальной физике сводится к некорректным обратным задачам, в которых актуальной проблемой является разработка устойчивых
12
быстродействующих методов обращения, приведения к компактному виду и диакоптики матриц большой размерности.
В научной литературе, главным образом, приведены оценки погрешностей вычисления собственных значений в виде «априорных» оценок «сверху», которые не редко оказываются «завышенными». Для более объективной оценки реальной погрешности в конце первой главы предложены «апостериорные» оценки «снизу»: оценка ошибки «смещения» £смещ, минимальная оценка
«стандартног о отклонения» ат{п и максимальная ширешность <ттах вычисленных собственных чисел действительных матриц, использующих инварианты матриц: след и евклидову норму исходной и преобразованной матриц.
Выяснено, что в настоящее время применяемые для этой цели методы Гаусса-Жордана, Хаусхолдера, дя- метод и другие не гарантируют необходимой точности и абсолютной сходимости. Анализ причин, приводящих к этим недостаткам, позволил сделать вывод, который обосновывает выбор направления разработки методов решения таких задач, основанных на определении энергетического спектра матриц большой размерности.
Во второй главе представлен к рассмотрению модифицированный метод Гивенса, который в результате «рационализации» стандартного алгоритма Гивенса и с учетом свойств рекуррентности пересчета элементов сокращает число умножений в 4/3 раза.
Показано, что ошибки накопления в стандартном и модифицированном алгоритмах одного порядка. Численные эксперименты подтверждают такой вывод, а также вывод о том, что метод Хаусхолдера не обладает гарантированной устойчивостью и точностью преобразований. Численные эксперименты показали практически одинаковое быстродействие модификации метода Гивенса и метода Хаусхолдера.
Далее рассмотрены предлагаемые в диссертации быстродействующие алгоритмы диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц, абсолютная сходимость и точность которых гарантирована независимо от «обусловленности» матриц.
Для трехдиагональных матриц в предлагаемых двух алгоритмах на каждом этапе, который представляет собой итерационный процесс, в верхней части матрицы происходит отделение двух собственных чисел для первого алгоритма (его обозначение МЭЗОТОЭД), а для второго алгоритма (обозначение
13
МБЗЕЯХЛас) - трех собственных чисел. То есть, в верхней части матрицы на каждом этапе происходит преобразование трехдиагональной формы в диагональную. Итерационные процессы характеризуются абсолютной сходимостью.
Для алгоритмов М83ОТС90 и М831ЛТДас получены оценки погрешности на собственные числа, пропорциональные величине л3'2. Численные эксперименты показали, что реальные погрешности несколько ниже. Сравнение по быстродействию с алгоритмами - метода в численных экспериментах показало, что для широкого класса матриц с условием на се порядок и >1000 наступает преимущество предлагаемых алгоритмов М83ОТО90 и М83І)ТСіас над - методом.
Для заполненных матриц каждый из двух предлагаемых алгоритмов является обобщением, соответственно, алгоритмов М83ЭТО90 и М830ТС1ас, используемых для диагонализации трех диагональных матриц. Первый алгоритм (его обозначение М8ТС90) также в результате одного этапа в верхней части матрицы отделяет два собственных числа, а второй алгоритм (обозначение М8Тв^с) - три собственных числа. Алгоритмы М8ТО90 и МБТСіас характеризуются абсолютной сходимостью, не зависящей о і свойсів «обусловленности» заполненных матриц, устойчивостью и гарантированной точностью вычислений собственных чисел, а также высоким быстродействием. Поэтому эти алгоритмы могут быть рекомендованы к широкому использованию в задачах на собственные числа.
В третьей главе предлагаются два метода, которые для матрицы компактной формы, например, трехдиагональной симметричной формы, позволяют вычислять с высокой точностью корни (собственные числа) характеристического полинома этой матрицы даже и в случае «патологически близких (кратных)» корней (то есть, для плохо обусловленных матриц). Метод «коррекции кратного корня» (МККК) позволяет разделять «спектр собственных чисел» на простые корни и в случае «патологически близких» корней. Если «патологическая близость» корней находится в пределах «машинного нуля», тогда МККК позволяет локализовать «почти кратные» (и кратные) корни с заданной точностью. Второй метод - метод «коррекции линейной интерполяции», ускоряя сходимость, уточняет локализованные простые корни.
14
Алгоритм, использующий комбинацию методов МККК и МКЛИ, позволяет определять собственные числа трехдиагональной матрицы с высокой точностью (до 16 значащих цифр) и со скоростью, достаточно близкой к скорости СЖ-мстода. Проведенные численные эксперименты подтвердили эффективность такого алгоритма.
В четвертой главе рассмотрены два алгоритма диакот ики спектра собственных чисел матриц компактной формы (трехдиагональной и формы Хессенберга - почти треугольной). Блочные структуры матрицы Л'к~:) перед к- ым шагом, который будем называть к -ой «большой итерацией» (БИ), и ее матричных «клеток» А\\~и и А[^'л> для случая трехдиагональной симметричной формы имеют вид
'0 0'
Ьи~" 0
Через Ьа 11 обозначен элемент «связи» а1^т трехдиагональных симметричных клеток А^~]] и А(22~Х)у где /я-порядок клетки А^~п. На диагонали клетки А\\ и слева от Ь'к 1 находится нулевая строка, ниже - нулевой столбец. Оставшаяся нулевая клетка имеет размерности на единицу меньше, чем А\\ м. По отношению К структуре клетки А£{-,) В структуре клетки А\2Ч> нулевые строка и столбец поменялись местами, а также элемент Ь{к~]) с нулевой клеткой. В случае формы Хессенберга клетки А^ и а£~1} имеют также форму Хессенберга, клетка А(2* 11 имеет структуру, аналогичную структуре А\] и трехдиагональной симметричной формы А**~П. Поэтому элемент Ь'1 1) В клетке ^21 8 этом случае
1) _ лп 1 12 Лк-\) _ "о
Аи~1) . 21 Лк-\) 22 _ » Л2\ ~ 0 0
, А£-"=(А'2Г)т =
выполняет ту же роль элемента «связи». Для клетки А12
(*-і)
свойство
А\к2 1) =(А12* ')/ не выполняется и она, как правило, является заполненной. В обоих алгоритмах соблюдается правило чередования «прямой» и «обратной» БИ, которые состоят из последовательности вращений, и обеспечивают инвариантность каждой из компактных форм.
Рекуррентные схемы в обоих алгоритмах обеспечивают сходимость элемента связи диагональных клеток к нулю при А:-> зо по принципу «затухающих колебаний» маятника за счет «сжимающего» оператора, определяющегося синусами вращения.
15
В обоих алгоритмах для плохо обусловленных матриц каждой из компактных форм значения «сжимающего» оператора по модулю могут быть близкими к единице, что ведет к замедлению сходимости. Объем вычислений, соответственно, и время вычислений для трехдиагональных матриц оказывается порядка кх-п - log2 /7, для почти треугольных - порядка к7 • п1, что примерно в п раз меньше, чем для наиболее эффективных методов. Поэтому применение алгоритмов диакоптики спектра собственных чисел для больших и сверхбольших матриц актуально.
В пятой главе рассмотрены конкретные приложения вынесенных на защиту методов, использованных в некоторых задачах экспериментальной и прикладной физики, и показана перспективность применения этих методов в квантовомеханических расчетах кластерных неупорядоченных систем.
В заключении диссертации сформулированы основные выводы и результаты, а также проблемы, требующие дальнейшего решения.
Личный вклад автора заключается в формулировке и постановке задач, выборе методов их решений, разработке конкретных методов определения энергетического спектра матриц большой размерности и анализе их устойчивости, точности и быстродействия и непосредственном участии в экспериментальных исследованиях.
Автор выражает глубокую благодарность всем соавторам. Особую благодарность хочется выразить научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, заслуженному деятелю науки РФ Евстигнееву В.В., а также доктору технических наук, профессору Гуляеву П.Ю за постоянное внимание и помощь при подготовке диссертационной работы. Отдельно следует отметить важную роль кандидата физико-математических наук, доцента Аникеева B.C.Ib становлении и формировании научного мировоззрения автора.
16
ГЛАВА 1
ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ МАТРИЦ В ЗАДАЧАХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ
1.1. Матричные методы редукции в задачах оптической диагностики
Существует достаточно широкий класс задач экспериментальной физики, в которых основные характеристики и параметры сложных гетерофазных быстропротскающих процессов эффективнее всего исследовать методами оптической диагностики [2,6,7,10,11,30], сводящихся к интегральным
измерительным уравнениям. В основе формализованного описания измерительной процедуры лежит уравнение измерений, устанавливающее связь результата измерения с входным воздействием и выполняемыми
преобразованиями. Настоящее определение близко к приведенному в ГОСТ 16253-70 и ни в чем ему не противоречит [33,51] Продемонстрируем их эффективность на примере дисперснофазных струй (ДФС), определяющих основу различных технологий получения веществ и материалов с новыми свойствами [8,9,16,32].
1.1.1. Основные задачи и схемы измерений в оптической диагностике дисперснофазных струй
Один из распространенных подходов к рассмотрению движения
двухфазных сред заключается в построении системы уравнений двухфазной
среды, содержащей уравнение сохранения массы, импульса, энергии, уравнения состояния и теплопроводности для обеих фаз, находящихся в элементарном объеме. Система уравнений в общем случае должна учитывать разрывность среды, массообмен, теплообмен, обмен энергиями и импульсом. Применяя то или иное преобразование, можно разрывную среду представить как фиктивную неразрывную среду и в полной мере использовать аппарат интегрального исчисления [1,17,22]. Теоретический подход к уравнениям устойчивости и распада струи вязкой жидкости рассматривался многими авторами [8-10,16,22]. Большинство из предлагаемых решений получены методом малых возмущений, то есть наложением поля малых возмущений на движение струи жидкости. В своих исследованиях авторы идеализировали условия распиливания струи:
17
пренебрегали вязкостью струи, окружающей среды, плотностью, силами инерции, трения, турбулентностью и т. п. и, как следствие, получали приближенные к реальным процессам решения. Задача о размерах капель в газожидкостном потоке решается с использованием опытных данных и теории подобия [8,9,22]. Решение ищется в виде критериальной зависимости, связывающей геометрические параметры струи (длину потока, угол раскрытия) с физическими параметрами распыливаемой жидкости и окружающей среды:
Y = f
где У - некий параметр струи распыливаемой жидкости; М = ——— - число,
характеризующее отношение сил вязкости к силам поверхностного натяжения; 17^ о с1
\Уе - —- — -число Вебера; рчч, - коэффициент динамической вязкости жидкости; а
э= ——т, <3С - диаметр сопла; Оо - начальная скорость струи; I - время [22].
РЛ
Действие сложного механизма разрушения струи имеет вероятностный характер. Закон распределения капель по размерам описывается уравнением
[17,19]:
см 4,
02
где I - количество капель диаметра 2, тогда суммарная функция распределения:
сИ <12
- шт
На практике пользуются
C'(z) = J — dz.
dl2p )— z pdz
R - ■ A- ■ , 5.=
P ^ max Ai 14 max Ai
J ~ZPdz \ -2Pd2
d2 d2
min " nun
где Rp - относительная дифференциальная функция и Sр- относительная
суммарная или интегральная функция распределения частиц по размерам. При /? = 0 получаем относительную количественную функцию распределения, то есть
18
количества капель / приходящихся на величину диаметра ёг\ р = 1 -относительную поверхностную функцию распределения; р- 2 - относительную объемную функцию распределения.
На сегодняшний день предложено много аналитических уравнений распределения [17-19]. Удачными уравнениями для всех видов функций распределения являются уравнения Нукиямы-Танасавы и Вейнига:
-=А-гте~Ьг",
(12
где коэффициенты А,т,Ь определяются путем трудоемких вычислений, в чем существенный недостаток этого распределения. Для расчетов, не требующих особой точности, применимо уравнение логарифмически нормального
сИ . 1пИ — 21пЛ(1пг - 1па)^ 1 ^І\т\Z
распределения: = 1 -=-е ’ где *па =-------- - среднее
ЛОпг) у! к /тах
арифметическое, 1п /? = -?= I — — - стандартное отклонение. Для
л/2 \£|(1пг-1пв)2
приближенного согласования с данными количественного распределения используют уравнения Гриффитса и Треша:
1 иъе~и е~и (и +1)
Л° “ Ьи ’ 5°"
и тш
піп р “тш . 1 \
/ ие~ис1и е + и
»
где и = Ы 2, а параметр Ь определяют из обычной функции распределения, так при гтах =115, Ь- 69. Удачными считаются уравнения Розина-Раммлера:
* г-и(р-1
Я -ги*р~*е
р-3
2
Р (п-1 4
+ 1
к
где и = (г//т)К; к определяется как угловой коэффициент линейного уравнения
^ [О0°°5- ~ ^Пбг ~ !£/„,) ~ 0,3625. Из выражения \%/т = °’3^25
определяют коэффициент /т, где \%с -отрезок, отсекаемый прямой на ОСИ \%2.
Уравнения Розина-Раммлера применяются главным образом для расчета объемных и поверхностных кривых функций распределения по размерам.