Многомерные классы функций ограниченной вариации и их применение в теории рядов и интегралов Фурье

Оглавление
Введение 4
Краткий обзор.............................................. 4
Основные определения....................................... 7
Обзор предшествующих результатов.......................... 16
Основные результаты........................................22
Апробация..................................................48
1 Некоторые примеры функций
из многомерных классов Ватермана 50
1.1 Простейшие свойства функций ограниченной Л-вариации 50
1.2 «Диагональные» функции................................63
1.3 Другие конструкции функций ...........................73
2 Непрерывность по Л-вариации
функций многих переменных и вложения классов 81
2.1 Вложения классов АВУ и САУ ...........................81
2.2 Сравнение разных определений непрерывности но вариации 88
2.3 Локальное поведение вариации..........................98
2.4 Теоремы вложения для классов ограниченной неполной
вариации ............................................114
3 Сходимость рядов и интегралов Фурье функций ограниченной Л-вариации 119
3.1 Достаточные условия сходимости.......................119
3.2 Примеры расходимости.................................138
3.3 Оценки коэффициентов Фурье...........................149
2
4 Неполные вариации и локализация рядов Фурье 154
4.1 Локализация рядов Фурье непрерывных функций .... 154
4.2 Ослабление условия непрерывности...................163
4.3 Существенность условия регулярности................172
4.4 Локализация квазирегулярных прямоугольных сумм . . 178
5 Суммируемость рядов Фурье функций ограниченной А-вариации методами Чезаро , 184
5.1 Достаточные условия суммируемости..................184
5.2 Примеры несуммируемости............................193
Список литературы
205
Введение
Краткий обзор
Работа посвящена исследованию многомерных классов функций ограниченной Л-вариации (классов Ватермана) и задачам сходимости тригонометрических рядов и интегралов Фурье функций многих вещественных переменных из таких классов.
В одномерном случае классической является теорема Жордана о сходимости тригонометрического ряда Фурье для функции ограниченной вариации. Впоследствии рядом авторов (в частности, Н. Винером, Л. Юнгом, Р. Салемом) были построены классы функций ограниченной обобщенной вариации, для которых доказаны аналоги этой теоремы.
В работе [48] Д. Ватерман определил в одномерном случае классы функций ограниченной Л-вариации, в частности, гармонической вариации, и доказал для последних аналог признака Жордана. Ватерманом было установлено, что его признак не слабее предшествующих результатов такого типа. Другие классы функций ограниченной обобщенной вариации в одномерном случае рассматривали, в частности, Е. А. Севастьянов [26], 3. А. Чантурия [28] и в более общем виде — Е. И. Бережной [7, 8).
В двумерном случае Г. Харди [37] определил класс ВУ{Т2) функций ограниченной вариации и доказал сходимость по Прингсхейму ряда Фурье функции из этого класса в каждой точке. А. А. Саакян [22] ввел понятие гармонической вариации функции двух переменных. Он доказал, что для любой измеримой функции ограниченной гармонической вариации ее ряд Фурье сходится по Прингсхейму в каждой регулярной точке (гс,у), и сходимость равномерна внутри любого открытого множества, на котором функция непрерывна. В двумерном случае рассматривались также другие классы ограниченной обобщен-
4
ВВЕДЕНИЕ
5
ной вариации (Б. И. Голубов [10]—[12], Г. Ш. Бекаури [6]), другие виды сходимости рядов Фурье для классов Ватермана (М. И. Дьяченко [30, 15, 16, 17], А.Н.Бахвалов |3, 4]) и другое определение Л-вариации (М. И. Дьяченко и Д. Ватерман [31]).
Наша работа посвящена как изучению свойств многомерных классов Ватермана самих по себе, так и применению этих классов к вопросам сходимости кратных рядов и интегралов Фурье.
Среди результатов о «внутренних» свойствах (главы 1 и 2) выделим, во-первых, построение примеров (семейств примеров) функций, попадающих в заданный класс ограниченной Л-вариации и не попадающих в более узкие. Получен также критерий вложения многомерных классов Ватермана друг в друга. Во-вторых, введено и подробно изучено понятие непрерывности по Л-вариации функций многих переменных.
Задачу о совпадении одномерных классов САУ([а, Ь]) и АВУ([а, 6]), поставленную Ватерманом [50], рассматривали Дж. Форан и Р. Флейс-снер [32], Саблин [23, 24]. Критерий их совпадения был установлен Ф. Прус-Вишнёвски [42] и состоит в том, что классы не совпадают, лишь если последовательность Л растет достаточно медленно (неформально говоря, логарифмически). Результаты Драгошанского [13, 14] показывают, что уже в двумерном изотропном случае картина существенно отличается от одномерной, в частности, классы могут не совпадать для последовательностей, растущих степенным образом.
Наши результаты относятся к случаю произвольной размерности га ^ 2, как изотропному, так и анизотропному. В частности, полностью решена задача о совпадении в важном для вопросов суммируемости рядов Фурье случае, когда Л-7 = {гг6-»}. Оказалось, что для га ^ 3 упомянутое совпадение классов не имеет места ни при каких 6^. Изучены также вложения класса Ватермана в класс функций, непрерывных по вариации другого класса.
В-третьих, решена проблема локального поведения Л-вариации. Как известно, если в точке яо функция ограниченной вариации непрерывна справа, то ее вариация но отрезку [хо; хо 4- А] стремится к нулю при к —» 4-0. В работах (48, 49, 22, 23] при получении результатов о сходимости рядов Фурье доказывались аналоги этого свойства для некоторых классов Ватермана.
Автором [55] было впервые показано, что при т ^ 3 локальное стремление Л-вариации к нулю в окрестности точки непрерывности
ВВЕДЕНИЕ
6
может не иметь места, и обнаружено, что для таких случаев его можно гарантировать, если функция попадает в некоторый более узкий класс Ватермана. В работе получено общее решение этой проблемы в виде критерия для пары классов.
Перейдем теперь к результатам о сходимости и расходимости рядов и интегралов Фурье (главы 3 и 4).
Первые такие результаты для т ^ 3 были получены в работах А. И.Саблина [23. 24]. Они относились только к непрерывным функциям, а также содержали дополнительные условия на локальное поведение гармонической вариации, причем вопрос о существенности этих условий не был решен.
В диссертации найдены достаточные условия сходимости прямоугольных частичных сумм ряда Фурье и прямоугольных «частичных интегралов» для интеграла Фурье в точке непрерывности, а для непрерывных функций — и равномерной сходимости, в терминах гармонической вариации и ее локального поведения. Затем мы получаем неуси-ляемые условия сходимости в терминах принадлежности функции более узкому классу Ватермана, чем класс ограниченной гармонической вариации, как для равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной функции, так и для сходимости в отдельной регулярной точке, если нет непрерывности функции всюду.
С другой стороны, мы строим примеры непрерывных функций из классов ограниченной А-вариации с расходящимся в точке рядом или интегралом Фурье. Эти теоремы показывают существенность условий на локальное поведение вариации и на класс в предыдущих результатах. В частности, для размерности т > 3 нельзя утверждать даже поточечную сходимость ряда Фурье произвольной непрерывной функции из класса НВУ(Тгл).
Построенные при изучении рядов и интегралов Фурье методы позволили также получить другие новые результаты, а именно, о локализации рядов Фурье для классов ограниченной неполной А-вариации и о коэффициентах Фурье функций из классов Ватермана.
Другая группа результатов (глава 5) посвящена задаче о суммируемости рядов Фурье функций ограниченной А-вариации методами Чезаро отрицательного порядка. В одномерном случае эта задача была впервые рассмотрена Ватерманом. Нами получена теорема о суммируемости для общего случая, включающая в себя результат Ватермана при тм = 1. При этом доказано, что, з отличие от одномерного случая,
ВВЕДЕНИЕ
7
для размерности га ^ 2, условие непрерывности по соответствующей Л-вариации оказывается существенным для суммируемости и (в отличие от теоремы о сходимости) даже для локализации средних.
Основные определения
В работе мы будем придерживаться следующих соглашений. Рассматриваемые функции будут предполагаться измеримыми комплексно-значными, интеграл понимается в смысле Лебега. Там, где речь идет1 о ряде Фурье, функции будут считаться 27г-периодическими по каждому переменному, если не оговорено противное. Такие функции будут рассматриваться на кубе Тш, где Т = [—7Г, 7г]. Промежутком в Кт будем называть декартово произведение га невырожденных промежутков на прямой, т.е. параллелепипед ненулевого объема с ребрами, параллельными осям координат, который по каждой грани может быть как открытым, так и замкнутым. При этом будут использоваться
т
обозначения / = Iі х • • • х 1т или I = 0 1к.
*=1
Для двух последовательностей {ап} и {&„} будем писать ап ~ Ьп: если существует конечный положительный предел отношения Iа при ті —^ оо. Через [ж] будем обозначать наибольшее целое п ^ х. Через хл будем обозначать характеристическую функцию множества А. Через С и С(-) обозначаются соответственно положительные постоянные и положительные величины, зависящие лишь от перечисленных в скобках аргументов, не обязательно одинаковые в различных случаях. Там, где необходимо указать, что такие постоянные или величины з нескольких формулах совпадают, они снабжаются индексом, например: , Л) (нумерация, как правило, ведется в пределах доказатель-
ства). Знаком комплексного числа будем называть
/О, * = 0;
\\z\Zz, г^О.
В случае, когда размерность га пространства независимых переменных больше единицы, будут использоваться следующие обозначения. Элементы Ет будут обозначаться жирным шрифтом, например, х = (ж1,..., хт). Угловыми скобками будем обозначать скалярное про-
ВВЕДЕНИЕ
8
изведение:
т
<х,у ) = £>у.
Вектор с целочисленными координатами для краткости будем называть номером.
Замечание 1. Во избежание путаницы между обозначениями для компоненты вектора и для степени числа мы будем придерживаться следующих соглашений.
1. Грсческие буквы а и /3 будут использоваться только при рассмотрении методов суммирования Чезаро, и не будут использоваться для обозначения множеств. Поэтому в верхнем индексе они (а также содержащие их выражения) всегда будут обозначать воз-зеденис в степень.
2. Компоненты номера, т.е. элемента Ъп (а также вектора а или /3, задающего порядок метода Чезаро), будут обозначаться нижними индексами: к = (к\,..., А^О, к* = (Ад,..., к^). Поэтому верхний индекс (число, латинская буква, а, р или выражение) при буквах 3, к, I, п обозначает возведение в степень.
Напомним определение кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямоугольных частичных сумм.
Определение 1. Пусть /(х) — 27г-периодическая по каждому аргументу и интегрируемая но Лебегу на Т"1. Ее рядом Фурье по тригонометрической системе называется ряд
коэффициенты Фурье функции /.
Определение 2. Прямоугольной частотой суммой ряда Фурье называется
П],...,717,*— ОО
где
«1——N1 пт—
ВВЕДЕНИЕ 9
Если N\ = ••• — Nm = JV, то такая частичная сумма называется кубической и обозначается Sn(f%x).
Определение 3. Ряд Фурье функции / называется сходящимся по прямоугольникам (по Прингсхейму) е точке х, если существует
. lim ÄN(/,x)
min jVj->+oo
при независимом стремлении Nj к бесконечности.
Замечание 2. Далее при рассмотрении прямоугольных частичных сумм, мы будем для краткости говорить «при достаточно больших п», имея в виду «если minjUj > L, где L достаточно велико».
Определение 4. Ряд Фурье функции / называется сходящимся по кубам в точке х, если существует
lim 5дг(/,х).
Л'-ИОС
Если А С Zm, то частичную сумму т-кратного ряда Фурье
5{Л)(/.*) = Ec“(/)ei<n,X>
п€А
можно представить в виде
5(л)(/,х) = ~ J /(х + и)Л(л)(и) du,
Tm
где величина
Я(А)Ы) = ±£е«**>
2п Л пбА
называется ядром Дирихле, соответствующим данной частичной сумме. В частности, прямоугольным частичным суммам соответствуют прямоугольные ядра Дирихле, которые имеют вид
т
Ы ч) = П*Ч(А
к=1
то есть распадаются в произведение одномерных ядер Дирихле, которые выражаются формулой
ВВЕДЕНИЕ 10
Для интегрируемой на Жт функции т переменных рассмотрим ее преобразование Фурье
Л«>-дет//(•)'■*■’*■
Rm
Возникает следующая проблема: когда можно утверждать, что справедлива формула обращения
/(х) = (2^Т? (1)
Rm
>4
Уже в одномерном случае требование интегрируемости /(£) на R накладывает столь излишне ограничительные условия на функцию /, что интеграл в формуле обращения обычно понимают в смысле главного значения.
В случае функции многих переменных мы имеем еще больше свободы в интерпретации формулы (1). А именно, мы можем, например, понимать интеграл в ее правой части как предел интегралов но некоторой расширяющейся последовательности множеств в Rm (подробнее см. [1], введение, п.7).
Нас будет интересовать сходимость «прингсхеймовского типа» в (1). А именно, пусть А = (А1,..., Аш), где А-7 6 (0, -f-oo). Мы определяем частичные интегралы по прямоугольникам:
А1 Ат
®А (/.х) = (А^ /•••/ me^dt (2)
-л1 -Ат
и изучаем их поведение при независимом стремлении Aj к +оо. Как хорошо известно, справедливо интегральное представление
®А(/,х) = ^ / Ях + *0 Пsm(^1) dt. (3)
Rm i=1
В работе изучается также задача о суммируемости рядов Фурье функций ограниченной Л-вариации методами Чезаро отрицательного порядка. Напомним соответствующие определения (см., например, [53, т.1, гл.З, §1]). В одномерном случае, пусть задано а > —1, а числа А£
ВВЕДЕНИЕ 11
определяются из формулы
£ Аапхп = (1 - х)-а~\ т.е. Л“ = (« + !)■■■(« + ")_
_ тъ.
П—О
Тогда чезаровскими средними порядка а, или (С, а)-средними, для ряда называются величины
а _ ^ ^п-к
Аос Пк'
/с-0 ^
Как известно (см., например, [53, т.1, гл.З, (1.17)]), А% ~ па.
Если в качестве ряда выступает ряд Фурье интегрируемой на Т функции / в точке х, то эти величины будем обозначать через <т£(/, х). Как показано в [53, т.1, гл.З, §5], средние Чезаро ряда Фурье интегрируемой функции можно выразить формулой
7Г
<(/. *) = “ У }(х + г)Кп(г)
-7Г
где
Ап к=0
ядро метода [С, а), или ядро Чезаро.
Многомерные определения выглядят следующим образом (см., например, [18, ч.2, гл.2]). Пусть задан вектор а = (оц,. ♦., ат), где > —1. Тогда прямоугольными средними Чезаро ряда Фурье порядка а называются величины
<(/.*) = ГИп Е П*(/.*)>
\;=1 / к=0 \^=1 /
где 5к(/,х) — прямоугольные суммы ряда Фурье. Средние Чезаро можно также выразить через ядра Чезаро по формуле
1 С т
<7“(/,х) = /(х+1)П^')Л- (4)
ТГТП -/=^
Мы рассматриваем сходимость таких средних в смысле 1 [рингсхейма, т.е. при независимом стремлении щ к бесконечности. Ряд называется
ВВЕДЕНИЕ 12
(С, а)-ограниченным, или, в многомерном случае, (С, а)-ограниченным в точке, если его чезаровские средние указанного порядка ограничены в этой точке. Если средние Чезаро равномерно ограничены на множестве, то ряд называется равномерно (С, а)-ограниченным на этом множестве.
Следующее определение формализует многомерный аналог точки на отрезке, в которой у функции есть пределы слева и справа.
Определение 5. Точка хо называется регулярной точкой функции /(х), если существуют и конечны 2т пределов
/(*и ± 0,..., Xq* ± 0) = lim f(xo±t',...,x™ ±tm)
t1 -ч о
для всевозможных комбинаций знаков. Для регулярной точки х0 обозначим
/Тхо) = 2^ Л*о ± ■ і ®о* ± 0).
Пусть 6 <Е (0, оо)т, а С Є {—1,1}т. Будем обозначать через (х,х +
т
£<5) промежуток 0 Р, где Iі = (Xі, Xі Т* 5і) при С = 1 и Iі = (xj —
j=1
т
5і, Xі) при С-7’ = — 1. Через [х, х + с$) обозначим промежуток 0 Д,
і=і
где Iі = [Xі, Xі + 6і) при = 1 И Iі = (Xі — 6і, Xі] при С7' = “1. Аналогичные обозначения будут использоваться и для других типов промежутков. В качестве нормы в Rm возьмем ||5|| = max|JJ|.
о
Для промежутка Л С Rm через Д обозначим его внутренность. Для промежутка Д С Rm и вектора х 6 Rm через х + Д будем обозначать сдвиг промежутка Д на вектор х.
Перейдем теперь к определению основного исследуемого понятия — классов функций ограниченной Л-вариации.
Для промежутка Д на прямой через П(Д) обозначим множество всех конечных систем попарно неиересекающихся интервалов таких, что 1п С Д. Чтобы не загромождать формулы, мы будем записывать такие системы просто как {/п}, а запись {/£} или {/£.} будет означать систему вида выбранную на к-м ребре га-мерного
промежутка.
Пусть IK = (ak,bk). Рассмотрим функцию /(х) на Rm. При т — 1 положим Д/1) = f(bl) — /(а1); если для любой функции т — 1 переменных уже определено выражение Д/1 х • • • х Z™“1), то для функции
ВВЕДЕНИЕ
13
тп переменных положим
Д/1 х..-хГ) = Д/1 х • • • х 1т-\ Ьт) - Д/1 х ... х 1т~\ ат). (5)
Величина Д/1 х • • • х 1т) называется смешанным приращением (симметрической разностью) функции / на I.
Другой способ определить эту величину — ввести операторы
Дх,ад(/) = Дх + ее,) - /(х)
и положить
Д-0 = Да^1 — в1,! ° ‘ ° ^а,6т—стт,,ш(/)'
Хорошо известно, что операторы ДХ|вД/) при разных ^ коммутируют друг с другом, поэтому смешанное приращение симметрично относительно перестановок переменных, то есть, если х — перестановка множества {1,..., т} и Дх) = ..., х^т^)у то для любых ин-
тервалов Р выполняется равенство
д{11 х •.. х Г) = /(/^ х ... х
Через озс(/, £) будем обозначать колебание функции / на множестве Е, то есть разность ее точной верхней и точной нижней граней на Е.
Пусть множество {1,..., 77?.} разбито на два непересекающихся множества £ и т, состоящих из р и т — р элементов соответственно (количество элементов конечного множества будем обозначать знаком модуля, например: |£| = р). Если х = (ж1,... ,хт), то х* — элемент Мр,
ТП
состоящий из компонент х\ j Е Для параллелепипеда I = ® Р
обозначим Р — 0 Р.
Через ф(Рухг) или /(хтуР) обозначим смешанное приращение / как функции аргументов х\ j Е £, на Р при фиксированных значениях хку к Е т, то есть, если £ = {Д,... ,jp} и Рк = (а?ку Ык), то
/{Ру О. ) = Да,У1-аЛ Щ ° * * ‘ ° Да,^-о^^р(/).
Определение 6. Неубывающая последовательность положительных чисел Л = {Лп}^! задает класс функций ограниченной К-вари-
00
ации (класс Ватермана), если д~ = 00•
ВВЕДЕНИЕ 14
Далее будем рассматривать только такие А. Множество последовательностей, удовлетворяющих перечисленным условиям, будем обозначать через Ь, а подмножество последовательностей из Ь, которые к тому же неограниченно растут, — через Ьо- Для последовательности Л €1 введем обозначение
АМ-Ег- (6)
к=1 к
Положим также Н = {™}г£=1- Из определения класса Ь видно, что II
Определение 7. Пусть Л1,...,Лт — последовательности из Ь. (Л1,..., Ат)~ вариацией функции /(я1,..., хт) относительно переменных (по переменным) х1}...,хт по промежутку (возможно, бесконечному) Д = А1 х • • • х Ат называется величина
.1 _т
«Л/;А) = ^,....л4/;д) =
V- |/(Д X-X/DI sup Е ^
h km Afcn
Ц}єГ!<Д^),і=1 v,
Пусть непустое множество £ С состоит из элементов
j\ < • • • < ъ и т = (1>• • • >т} \С- ЧеРез
V$(f; , хт) = V$(/; *r, Af) = V& Л„(/; Д?, хТ)
обозначим (Л-71, ... , Л-^)-вариацию / как функции переменных х* = (я-71,... ,xjp) по всем этим переменным, взятую по р-мерному промежутку Д^ = Д^1 х ■ • • х Ajр при фиксированных значениях хт остальных переменных (если т не пусто). Возникающие при этом промежут-
Р . с
ки (g) If! будем для краткости записывать как 1^.
1=1 11
Далее, (Л-71,..., Ajp)~вариацией функции /(я1,..., хт) относительно переменных х* по промежутку А = Д1 х • • • х Дт называется величина
ВВЕДЕНИЕ
15
Определение 8. Величина
V*. л~(/;Л)= £ ул/(/;Д)
называется (полной) (Л1,..., А7")-вариацией функции /(ж1,..., жт) по промежутку А = А1 х • • • х Ат. Множество функций, для которых она конечна, называется классом ограниченной (Л1,..., Ат)-ва-риации на А и обозначается через (Л1,..., Ат)ВУ(А). Если все последовательности Л-7 совпадают и равны Л, то класс будем называть изотропным, и для краткости будем писать Уа и АВУ{А) соответственно. Если же хотя бы две из последовательностей АР различны, то класс будем называть анизотропным. Величину Ун называют гармонической вариацией. Через Уд<(/; А^, хт) или Уд* (/; хг, А^) будем обозначать полную (А-71,..., Л^)-вариацию / как функции переменных х-71,..., х7? по р-мерному промежутку А^ = А-71 х • • • х А-7* при фиксированных значениях хт остальных переменных.
Замечание 3. Для упрощения записи мы будем всегда при рассмотрении вариационных сумм считать, что /(/£е,хт) = 0, если какое-то из чисел 6 4, превосходит число интервалов в соответствующем наборе.
Эти определения (иногда — не буквально в таком, а в эквивалентном виде) были введены в одномерном случае Д. Ватерманом |48], в двумерном - А. А. Саакяном [22], в многомерном — А. И. Саблиным [23, 24] и независимо В. Райтгрубером [43].
В работе [50] для функций одной переменной Ватерманом было введено также понятие непрерывности по А-вариации.
Определение 9. Пусть А Е I. Скажем, что функция /(х) из класса АВУ([а,Ь]) непрерывна по А-вариации (/ е САУ{[а, 5])), если для последовательностей Ап — {Ап+/г}^=1 выполнено
Пт Улп(/; М) = 0.
п—>оо
В случае функций многих переменных, понятие непрерывности по Л-вариации было впервые предложено автором [55|. В двумерном случае такое определение одновременно рассматривалось О. С. Драгошан-ским [13, 14].
Определение 10. Пусть Л1,...,Лт — последовательности из Ь. Функция / из класса (Л1,... ,Ат)ВУ(А) называется непрерывной по
ВВЕДЕНИЕ
16
(Л1,Лт)-вариации на Д, если для любого непустого множества $ = Оь • • ■ С {!>•••)т} и Для любого ік € $ выполнено
^'і л*->Х‘,л«+і л'Д; А) = °'
Множество таких функций обозначим через С(А1г..., Лт)1ДД).
Замечание 4. Из введенных определений б и 7 легко видеть, что величина ^к і лік+] (/; Д) монотонно не возрастает с увеличением п.
Отмстим, что есть и другие возможности перенести понятие непрерывности по Л-вариацик на многомерный случай. Их взаимосвязь изучается в §2.2.
Для одномерного случая нам понадобится также вспомогательное понятие Л-вариации по произвольному множеству. Если Е С Д — некоторое множество, то через П(Д \ Е) обозначим множество тех систем из П(Д), для которых концы интервалов не попадают в Е.
Определение 11. Пусть Д С М — промежуток, Е С Д, А € I.
Положим ..
КА(/;Д\Я)- зир £ІШ.
* Л*
Другие определения и обозначения будут вводиться по мере необходимости.
Обзор предшествующих результатов
Отметим некоторые результаты о классах функций ограниченной вариации, ограниченной обобщенной вариации и рядах Фурье функций из таких классов. Результаты, непосредственно связанные с содержанием нашей работы, будут лишь упомянуты здесь, подробнее о них будет сказано при обзоре результатов по главам.
Одномерный случай
Хорошо известно (см., .например, [2], гл.1, §39 или [53], т.1, гл.2, §8) следующее утверждение, называемое обычно признаком Жордана или признаком Дирихле — Жордана:
ВВЕДЕНИЕ
17
Теорема А. Пусть / € ВУ(Т). Тогда и каждой точке х Е Т ряд Фурье / сходится к величине \{/(х 4- 0) + /(х — 0)), и сходимость равномерна внутри каждого интервала непрерывности, то есть па любом компакте, содержащемся в этом интервале.
Поскольку, как нетрудно видеть, при любом гомеоморфизме % : ТГ —» Т вариация функции сохраняется, то класс функций ограниченной вариации обладает следующим свойством: если / е ВУ{Т), то для любого гомеоморфизма Т ряд Фурье функции / о % сходится всюду, а если к тому же потребовать непрерывности 27Г-периодической функции / на 1К, то ряд Фурье функции /оТ будет сходиться равномерно.
Впоследствии рядом авторов были найдены более широкие классы функций, обладающие этим свойством. В частности, Н. Винер [51] рассматривал классы функций ограниченной р-вариации, а Л. Юнг [52] и Р. Салем [44] - классы функций ограниченной Ф-вариации.
К. Гоффман и Д. Ватерман [35] поставили общую задачу описания класса функций, ряды Фурье которых сходятся равномерно
после любого гомеоморфизма отрезка Т, пробегаемого аргументом. В работе [48] Ватерман, как уже отмечалось, определил в одномерном случае классы функций ограниченной А-вариации.
Приведем для наглядности его определение (в одной из эквивалентных форм, см. 149]), являющееся частным случаем определения 8.
Определение 12. Пусть А Е Ь и задан ограниченный промежуток А С М. Функция /(х) называется функцией ограниченной А-вариации на промежутке А (/ 6 АВУ(А)), если конечна величина
которая в этом случае называется А -вариацией функции / по промежутку А. (Здесь Аг — число интервалов в данной системе, своё для каждой системы.)
Теорема В (Ватерман). Пусть / 6 ИВУ(Т). Тогда в каждой точке х £ Т ряд Фурье / сходится к величине $(/(х 4- 0) 4- /(х — 0)), я сходимость равномерна внутри каждого интервала непрерывности. Если НВУ(Т) С АВУ(Т) есть собственное подмножество, то найдется непрерывная функция / 6 АВУ(Т), ряд Фурье которой расходится в точке.
ВВЕДЕНИЕ
18
Поскольку гармоническая вариация, так же как и любая Л-вариа-ция, инвариантна относительно гомеоморфизма отрезка, то отсюда, в частности, следует, что НВУ(Т) П С(Т) С С/СИДТ).
При этом Ватерман доказал, что функция из произвольного класса ЛБУ(Д), как и функция ограниченной вариации, не может иметь точек разрыва второго рода, т.е. все точки являются регулярными точками такой функции. С. Перлман [40] доказал, что любая функция на отрезке Д, имеющая пределы слева и справа в каждой точке, напротив, принадлежит классу АВУ(А) для некоторой последовательности Л 6 1.
Ватерманом было установлено, что теорема В не слабее, чем результаты Юнга и Салема, а также другие предшествующие результаты такого типа. Вопрос об равенстве НВУ(Т) П С(Т) = \JGWiT) оставался открытым до середины 1980-х годов, когда он был решен отрицательно Саакяном [21].
Отметим также такие классы функций, инвариантные относительно гомеоморфизма отрезка, как классы функций с заданной скоростью убывания кусочно-монотонных приближений (Е. А. Севастьянов [26]) и классы функций с заданным модулем изменения (3. А. Чантурия [28]). В терминах этих классов также устанавливались критерии сходимости рядов Фурье. Взаимосвязь различных классов рассматривалась в работах А. С. Белова [5] и М. Авдиспахича [29]. Обзор результатов, относящихся к поведению рядов Фурье при гомеоморфных заменах переменной, можно найти в монографии К. Гоффмана, Т. Нишиуры и Д. Ватермана [33].
Несколько позднее Е. И. Бережной [7, 8] предложил более общий подход, опирающийся на понятие симметричного пространства последовательностей. В [8] им было показано, что теорема Ватермана является в смысле этого подхода самым сильным из возможных признаков равномерной сходимости.
Свойства классов САГ([а, Ь]) в одномерном случае изучались в работах ряда авторов: Дж. Форана и Р. Флейсснера [32], А. И. Саблина [23, 24], Ф. Прус-Вишнёвски [42]. Подробнее об этих результатах будет сказано при обсуждении результатов §2.2.
Рядом авторов изучалось также (в одномерном случае) поведение коэффицентов Фурье функций из классов Ватермана. Отметим здесь работы М. Шрамма и Ватермана [45] и Саблина [24]. Многомерным результатам о коэффициентах Фурье посвящен §3.3 диссертации.
ВВЕДЕНИЕ
19
Задача о суммируемости рядов Фурье методами Чезаро отрицательного порядка для классов ЛBV в одномерном случае рассматривалась в работах Ватермана [50] и Саблина [24], о чем будет подробнее сказано при обсуждении результатов пятой главы диссертации.
Случай двух и более переменных
В двумерном случае Г. Харди [37] определил класс функций ограниченной вариации следующим образом.
Определение 13. Скажем, что функция /(я, у) имеет ограниченную вариацию в смысле Харди на А = А1 х А2 (что / € BV(A))} если
V(/;A)= sup
Ц)€П(Д«) k {^}€0(Д2)
4- sup Vx(f’,yo, A1) + sup vy(f\x0,A2) < oo.
!д,еД2 хобД1
Здесь V*(/; ?/0i A1) — обычная вариация / как функции от х на промежутке А1 при фиксированном значении у = уо, и аналогично понимается Vv(f; жо, А2).
В указанной работе Харди доказал сходимость по Прингсхейму ряда Фурье функции из BV(Т2) в каждой точке. Многомерный аналог этого утверждения получен в [39].
В работе [34] К. Гоффман и Д. Ватерман определили классы ограниченной A-вариации для функции двух и более переменных и доказали для этих классов в двумерном случае теоремы локализации прямоугольных частичных сумм (подробнее об этом см. ниже, теорема М). Их определение обобщает определение обычной двумерной вариации, принадлежащее Тонелли [46].
А. А. Саакян [22] дал другое определение A-вариации функции двух переменных, в котором на функцию накладывается условие, обобщающее условие Харди, более жесткое по сравнению с определением Гоффмана и Ватермана и эквивалентное приведенному нами выше определению для классов в пространстве произвольной размерности. Он доказал следующий результат о рядах Фурье функции ограниченной гармонической вариации.
Теорема С. Пусть f - 2тт-периодическая по каждому переменному измеримая функция и f € HBV(Т2). Тогда в каждой регулярной