РОЗДІЛ 2.ГРУПОВЕ ПОЗИЦІЙНЕ ПЕРЕСЛІДУВАННЯ
В даному розділі розв’язується задача переслідування одного гравця групою. Мета
групи – забезпечити - близькість координат втікача та одного з переслідувачів,
мета втікача – уникнути - зустрічі. Така задача у випадку повної
інформованості для точної зустрічі була розв’язана в роботі [60]. Подальший
розвиток з застосуванням теорії розв’язуючих функцій було проведено в [75].
Випадок позиційної інформованості для задачі групового переслідування вперше
розглядався в [65].
2.1. Задача зближення з термінальною множиною складної структури
Розглянемо конфліктно-керований процес групи переслідувачів та одного втікача
E
,
(2.1)
де , а керування і – вимірні за Лебегом функції.
Кожен з учасників безінерційний та його маневреність необмежена. Позначимо
через множину індексів . Переслідування вважається завершеним в момент часу ,
якщо існує індекс для якого виконується нерівність , де - задане додатне
число.
Втікач використовує програмні керування, тобто вибирає свою функцію по
початковій позиції . Переслідувачі використовують позиційну інформацію, тобто
будують своє керування в момент часу на основі знання . Необхідно розв’язати
задачу зближення, тобто вказати умови на параметри процесу, достатні для того,
щоб траєкторія цього процесу могла бути приведена з початкового стану на
термінальну множину за скінченний час та при будь-яких керуваннях втікача.
Приведемо систему (2.1) до загального вигляду (1.4). Для цього введемо нові
змінні Введемо позначення , і перепишемо систему (2.1) у вигляді
, (2.2)
де - фазовий вектор.
Термінальну множину можна представити у вигляді об'єднання циліндричних множин
, (2.3)
де лінійний підпростір з , - куля з ортогонального доповнення до , така що .
2.2. Допоміжні множини та їх властивості
Для фіксованого моменту часу t геометричний стан гравців визначається набором
векторів і y.
Під опуклою оболонкою, натягнутою на точки , будемо розуміти множину точок та
позначати її . Стани гравців, для яких виконується , де означає множину
внутрішніх точок , будемо називати не виродженими, при цьому опукла оболонка,
натягнута на точки утворять двовимірний симплекс [52].
Під позначенням будемо розуміти лінійну оболонку векторів або всі такі вектори
y, що для деяких чисел .
Введемо множину за правилом:
, (2.4)
де позначає операцію замикання (тобто приєднання граничних точок) множини .
Визначене вище відображення залежить від часу, оскільки мається на увазі, що ,
та кута .
Множина (рис 2.1) обмежена для всіх , , та, крім цього, якщо , то ця множина
замкнена.
Рис. 2.1.
Лема 2.1. Для кожного не виродженого геометричного стану переслідувачів існує
кут , такий, що , для всіх . Крім того, відображення неперервне по .
Доведення. Покажемо, що многозначне відображення неперервне по . Якщо , то , і,
відповідно, . Нехай тепер . Розглянемо сторони многогранників та (рис. 2.2).
Максимальна відстань між ними неперервно залежить від кута . Таким чином для
будь якого можна знайти , таке , що для всіх , виконується
Розглянемо множину . Оскільки для всіх точок p з і всіх наборів індексів , то .
З означення (2.4) випливає, що якщо точка , то . Отже, . Оскільки компакт, то
.
Рис. 2.2.
Оскільки відображення неперервне по і для = 0 виконується , то й для деякого
відрізка ця рівність виконується теж.
Наслідок. Для будь-якої точки існує , таке, що .
Розширимо множину наступним чином:
, (2.5)
де .
Рис. 2.3.
Відображення (рис. 2.3) є розширенням . Нехай . Проведемо допоміжну побудову
векторного поля . Для цього розіб’ємо область за допомогою бісектрис трикутника
на три частини.
Нехай , для деякого , де - точка перетину бісектрис, тоді покладемо .
Нехай , , , для всіх , тоді вектор , такому, що
, , .
Нехай , , , для деякого . Тоді існує точка , , , , така, що . Покладемо .
Продовжимо визначення на внутрішні точки. Нехай , . Існує точка , , така, що ,
. Покладемо значення для точки наступним чином
Нехай і . В цьому разі покладемо вектор , такому, що
, , .
Отже, для всіх точок визначене векторне поле .
Рис. 2.4.
Лема 2.2. Векторне поле неперервне на області визначення.
Доведення. Розглянемо спочатку точки , для яких виконується . Позначимо через
точку, що належить та для якої виконується .
Розглянемо точки та (рис. 2.4.), такі, що , . Спроектуємо точки та на відрізок
, та отримаємо точки , . Позначимо кут між векторами та через . Тоді
Для чисел виконується
Оскільки , то має місце співвідношення:
Оскільки , та , то неперервність для доведена. Неперервність на інших частинах
та по аргументах доводиться аналогічно.
2.3. Опис стратегії переслідування
Стратегія переслідування буде будуватися на основі методу розв'язуючих функцій
[75] та з використанням векторного поля . Нехай геометричне розташування
гравців таке, що виконуються співвідношення:
, .
За наслідком до Леми 2.1 можна вибрати кут таким, щоб виконувалось .
Не обмежуючи загальності будемо вважати, що . Використовуючи рівняння (2.2)
застосуємо метод розв’язуючих функцій для визначення керування переслідувачів.
Розглянемо систему рівняннь.
, , (2.6)
де .
Розв’язком (2.6) є розв'язуючі функції:
=
. (2.7)
Тоді відповідні керування переслідувачів дорівнюють
, . (2.8)
Оцінимо час зустрічі при такому керуванні, якщо гра починається з точки .
Швидкість зменшення величини можна записати (якщо вважати, що параметри руху не
змінюються) як:
Тоді в разі якщо час зустрічі д
- Киев+380960830922