РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ
ПОВЕРХНЕВО ПЛАСТИЧНОГО ДЕФОРМУВАННЯ
2.1. Наведений радіус кривизни контактуючих поверхонь
У цьому розділі розглянемо закономірності пружно-пластичного силового контакту тіл двоякої кривизни, обмежених у загальному випадку несферичними гладкими поверхнями, з їхнім початковим контактом у точці. Вважаємо, що залишковий відбиток (як і пружний) обмежений при цьому еліптичним контуром.
Передбачається, що одне з контактуючих тіл (індентор) перебуває в пружному, а друге (контртіло) у пружно-пластичному стані; площини головних кривизн обох тіл збігаються, а їхні головні радіуси кривизни в зоні контакту постійні; рівнодіюча контактного навантаження спрямована до загальної нормалі до поверхонь дотичних тіл у місці початкового контакту; сили тертя в розрахунок не приймаються.
На рис. 2.1 показані схеми контакту тіл двоякої кривизни, які використовуються надалі.
Рис. 2.1. Cхеми контакту тіл двоякої кривизни.
Важливим етапом цих досліджень є факт установлення закону зміни контактного навантаження Р у залежності від залишкових зсувів h центрів вм'ятин.
Аналіз літературних джерел дозволив установити, що ця залежність лінійна (рис. 2.2), при цьому в якості контртіл використовувалися зразки зі сталей різних марок, що пройшли попередню термічну обробку, а також кольорових сплавів.
Залежно від твердості матеріалів контр тіл і схем контакту окремі прямі, що виражають функцію Р(h) нахилені до осі абсцис під різними кутами ?i; для кожної схеми контакту нахил цих прямих тіл тим крутіше, чим вище твердість матеріалу зразків. У той же час кути ?i залежать від схеми навантаження, тобто величини й сполучення кривизни поверхонь індентора й контртіла в точці початкового контакту.
Для розрахунку глибини поширення й інтенсивності пластичної деформації при силовому контакті тіл двоякої кривизни у табл. 2.1 показано геометричні характеристики робочих поверхонь тіл.
Якщо при втиснені пружного індентора в поверхні контртіла в зоні контакту виникає залишкова вм'ятина, то навколо її завжди є пластично деформована область, що поширюється на деяку глибину hs. Ця область обмежена замкнутою поверхнею на якій задовольняється умова пластичності Генки-Мизеса ().
Параметр контакту hs має істотне практичне значення, оскільки прямо або побічно характеризує механічний стан (зміцнення, запас пластичності, залишкову напруженість) локальної пластичної області при одиничному контакті або поверхневому шарі деталі, підданої зміцненню або вигладжуванню шляхом обкатування роликами або кульками.
Таблиця 2.1
Геометричні характеристики робочих поверхонь тіл
Позиція за
рис. 2.2ІнденторКонтртілоАВА/ВR11R21R12R22мммм-112345678
Продовження табл. 2.1
12345678А5,05,0?10,00,1000,1500,667А?2,52,5?10,00,2000,2500,800Б?2,510,0?0,0500,2000,250В37,52,5?10,00,0130,2500,053Г10,05,0??0,0500,1000,500Г?25,00,85??0,200,5880,034Д5,010,08,5?0,0410,0500,823Е2,52,55,07,50,1000,2670,375Ж12,52,020,05,00,0150,1500,100З2,52,55,020,00,1000,1750,571И12,52,07,55,00,1070,1500,711І?25,00,857,55,00,0870,4880,178К37,52,510,0?0,0630,2000,317ДО?10,02,010,0?0,1000,2500,400Л5,05,012,612,60,1400,1401,000М12,52,012,612,60,0800,2900,275
1-6 ? сталі марок 20 (НД 1440), 45Х (НД 2530), ЗОХГСА (НД 4710) і ШХ15 (НД 2880); алюмінієвий сплав АМг-6 (НД 900) і латунь Л63 (НД 1390); а-м ? схеми контакту тіл згідно рис.
Рис. 2.2. Залежність залишкових зсувів h центрів вм'ятин від контактного навантаження Р.
Перша спроба розрахункового визначення hs була реалізована С.Г.Хейфецем
, (2.1)
де Р ? контактне навантаження;
?Т ? границя текучості матеріалу контртіла.
Ця залежність погоджується з експериментом лише при досить малих радіусах кривизни зміцнюючого інструменту й розмірів площадки контакту. Однак у тих випадках, коли ці умови не дотримуються (що на практиці досить часто відбувається), розрахунки за формулою (2.1) призводять до завищення значень hs у порівнянні з фактичними.
Відома й більше загальна (базована на рішенні Герца) залежність для випадку втиснення сферичного індентора в плоску плиту
(2.2)
де d ? діаметр кругової площадки контакту;
? - коефіцієнт Пуассона.
Вирішити рівняння (2.2) відносно hs важко, тому більше зручним є вираз:
(2.3)
отриманий в результаті апроксимації залежності (2.2) при ? = 0,3 й враховуючий вплив розмірів контактної площадки на глибину hs.
Далі формула (2.3) перетерпіла зміни шляхом введення виправлення, що враховує вплив на hs кривизни поверхонь контактуючих тіл. Із зазначеним виправленням формула ( 2.3) має вигляд:
, (2.4)
тут , , .
? головні радіуси кривизни поверхонь індентора й контртіла (індекси j) у точці початкового контакту; знаки "плюс" і "мінус" ставляться відповідно до випадку контакту індентора з контртілом, перетин якого в даній площині кривизни (індекси i) відбито опуклим або ввігнутим контурами.
У теорії пружності існує розподіл напруг, що виникають у півпросторі, навантаженому тиском, довільним чином розподіленим по поверхні еліптичної площадки. Відповідно до цього рішення напруги , , (початок координат ? у центрі контакту, осі х и в збігаються відповідно з більшою й меншою осями симетрії еліптичної площадки (а, b ? відповідно більша й менша півосі площадки), а вісь z ? з напрямком рівнодіючого контактного навантаження) визначаються наступними виразами:
(2.5)
,
де , ?
значення полярного кута r на контурі площадки контакту;
Р ? тиск у довільній точці з полярн