РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ПРИ ШЛИФОВАНИИ
2.1. Расчет температуры при шлифовании с учетом движения теплового источника
вглубь поверхностного слоя обрабатываемой детали
Основываясь на известных подходах к расчету температуры при шлифовании,
предложенных профессором Якимовым А.В. в своих многочисленных работах [120,
122, 123, 145, 146, 147, 148, 149] и рассмотренных в первом разделе работы, в
настоящем разделе получим новое решение задачи определения температуры при
шлифовании с учетом движения теплового источника вглубь поверхностного слоя
обрабатываемой детали. Иными словами, получим решение с учетом перерезания
адиабатических стержней, которыми условно представлен обрабатываемый материал,
рис. 2.1,а. Будем считать, что в процессе шлифования часть стержня, равная
величине снимаемого припуска (или в первом приближении ? равная глубине
шлифования ) перерезается шлифовальным кругом, рис. 2.1,б.
Предположим, что за время действия теплового источника произошло перерезание
стержня длиной , т.е. тепловой источник переместился вдоль стержня на величину
, и за это время в результате резания выделено количество тепла (где ? скорость
перерезания стержня, м/с). Это тепло, во-первых, ушло на нагревание стержня
длиной (затрачено количество тепла ), во-вторых, на нагревание стержня длиной
за счет теплопроводности обрабатываемого материала (затрачено количество тепла
), рис. 2.1,б:
. (2.1)
Количество тепла можно математически выразить следующим образом. Разобьем
стержень длиной на бесконечное множество элементарных участков длиной (рис.
2.2,а). Предположим, что каждый из них нагрелся до разной температуры: первый ?
до температуры , второй ? до
Рис. 2.1. Расчетная схема процесса шлифования: 1 ? шлифовальный круг; 2 ?
обрабатываемая деталь; 3 - адиабатические стержни.
а
б
Рис. 2.2. Характер изменения температуры по длине первого (а) и второго (б)
участков стержня.
Рис. 2.3. Зависимость температуры от времени .
температуры и т.д. Тогда количество тепла, затраченное на нагрев первого
участка стержня длиной , будет равно:
, (2.2)
где ? удельная теплоемкость обрабатываемого материала, Дж/(кг•К); ? масса
первого участка стержня длиной , кг; ? плотность обрабатываемого материала,
кг/м3; ? объем первого участка стержня длиной , м3; ? площадь поперечного
сечения стержня, м2.
После преобразования зависимость (2.2) примет вид:
. (2.3)
Аналогичным образом определяются значения количества тепла и , затрачиваемые на
нагрев второго и -ного участков стержня:
, (2.4)
. (2.5)
Суммарное количество тепла, затрачиваемое на нагрев всего стержня длиной ,
определится:
. (2.6)
С учетом зависимостей (2.3), (2.4) и (2.5), зависимость (2.6) выразится:
, (2.7)
где ? температура нагрева -того (текущего) участка стержня длиной .
В зависимости (2.7) сумму слагаемых представим в виде интеграла:
, (2.8)
где ? функция температуры нагрева стержня длиной от времени; ; ? скорость
перерезания стержня, м/с; ? время, за которое происходит перерезание стержня
длиной .
После преобразований зависимость (2.8) примет вид:
. (2.9)
Определим теперь количество тепла , затрачиваемое на нагрев стержня длиной
(рис. 2.2,б). Для этого воспользуемся известной из курса физики зависимостью
для определения количества тепла, протекшего через стержень длиной в результате
его теплопроводности:
, (2.10)
где ? коэффициент теплопроводности обрабатываемого материала, Вт/м•К; ?
температура на торце оставшейся после перерезания части стержня длиной ; ?
температура на конце стержня длиной (условно равна нулю); ? время нагрева
стержня длиной .
Характер изменения температуры по длине стержня в результате его
теплопроводности показан на рис. 2.2,б.
Будем считать, что количество тепла, затрачиваемое на нагрев стержня длиной
(2.11)
равно количеству тепла, определяемому зависимостью (2.10), протекшего через
стержень длиной в результате его теплопроводности.
В зависимости (2.11) приняты следующие обозначения: ? масса стержня длиной ,
кг; ? плотность обрабатываемого материала, кг/м3; ? объем стержня длиной , м3;
? площадь поперечного сечения стержня, м2; ? температура на торце оставшейся
после перерезания части стержня длиной . Введенный в зависимость (2.11)
коэффициент 0,5 определяет среднюю температуру нагрева стержня длиной .
После преобразований зависимость (2.11) примет вид:
. (2.12)
Выразим длину стержня с помощью зависимости (2.10). Для этого примем в
зависимости (2.10): ; , где ? мощность теплового источника, Вт.
Разрешая зависимость (2.10) относительно длины , имеем:
. (2.13)
Подставим зависимость (2.13) в зависимость (2.12):
. (2.14)
Таким образом, определено количество тепла , затрачиваемое на нагревание
стержня длиной .
Подставляя полученные зависимости (2.9) и (2.14) в зависимость (2.1), определим
общее количество тепла, которое ушло на нагревание двух частей стержня длиной
:
. (2.15)
В свою очередь общее количество тепла можно представить:
,