РОЗДІЛ 2
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ГРАНИЧНИХ ЕЛЕМЕНТІВ ДО РОЗРАХУНКУ ПАЛЬ ТА ПАЛЬОВИХ
ФУНДАМЕНТІВ
2.1. Лінійна задача
2.1.1. Рівняння рівноваги.
При обчисленні задач механіки твердого деформованого тіла за методом граничних
елементів використовуються основні положення теорії пружності. В зв’язку з цим
коротко викладені умови рівноваги, параметри напруженого та деформованого стану
пружного середовища. В теорії пружності приходиться працювати з виразами, що
складаються з багатьох складових, які компонуються згідно з точними законами.
Величини, котрі визначаються набором компонент , зазвичай позначаються за
допомогою нижніх (або верхніх) індексів. До прикладу, компоненти вектору ui
відповідають набору u1, u2, u3.
Складніші величини вводяться за допомогою декількох індексів, наприклад запис
ssij компактно визначає значення в точці всіх дев’яти компонент тензора напруги
шляхом перебору всіх комбінацій індексів i,j = 1,2,3. В двовимірному випадку
ssij (i,j = 1,2). Ці ідеї відомі більшості вчених прикладників завдяки
матричній алгебрі. Можливості цього методу можна необмежено розширювати і далі,
щоб отримати зручний спосіб роботи з величинами типу Тijk , особливо якщо ці
позначення використовувати спільно з домовленістю про підсумовування Ейнштейна.
Це дозволяє оперувати з набором величин способом, ідеально пристосованим до
обчислень на ЕОМ.
Оскільки концепція МГЕ засновується на геометричному описанні границь та
внутрішніх осередків, а також розподіленням по них деяких функцій, то для
подальшого проходження по цьому шляху потрібен аналіз в криволінійних
координатах , для якого тензорний апарат є зручним. В роботі використане
декартове тензорне позначення, котре економить час при написанні довгих
виразів. У відповідності з цим для подання (x, y, z) використовуються індекси
(1, 2, 3).
Ці ж індекси роблять зайвим застосування звичайних символів додавання,
змінюючи їх простим правилом повторення індексів. Так в тривимірному випадку:
; (2.1)
. (2.2)
Також використовуються символ Кронекера дij і символ перестановки eijk (тензор
Леві - Чевіта) :
, (2.3)
(2.4)
Символ перестановки з’являється при обчисленні визначників
, або компонентів векторного добутку
Зовнішні сили, що діють в будь-який момент на тіло , діляться на два види:
масові (об’ємні) та поверхневі. Масові сили діють на елементи всередині тіла,
до прикладу – сили тяжіння, які розглядаються по відношенню до одиничного
об’єму. Поверхневі сили діють на граничні поверхні тіла і розглядаються
відносно одиничної площі тієї поверхні, на яку вони діють.
Умова рівноваги для нескінченно малого паралелепіпеда (рис. 2.1), всередині
якого знаходиться точка середовища, запишеться :
, (2.5)
де ssij – компоненти тензора напруги;
bj – компоненти об’ємних сил (масових сил) .
Масові сили тяжіння в ґрунті грають другорядну роль.
Похідні по просторових координатах позначаються комою.
. (2.6)
Якщо в деякій точці простору відомі шість складових тензора ssij то поверхневі
зусилля
, (2.7)
де ni – напрямляючі косінуси нормалі до площини, що розглядається.
В даній точці завжди можна вибрати таку систему, коли дотичні напруження
дорівнюють нулю. Напрямки таких спеціальних осей координат називають головними,
а нормальні напруження, що діють в площинах, перпендикулярних таким осям –
головними напруженнями.
Рис. 2.1 а) - напруження, б) - поверхневі сили, в) - об’ємні сили
Напрямки головних напружень (тобто, коли дотичні напруження дорівнюють нулю)
можна визначити із співвідношення
, (2.8)
де pi - вектор рівнодіючої , паралельний нормальному вектору.
Підставивши (2.8) в (2.7), отримаємо систему лінійних однорідних рівнянь
третього порядку :
. (2.9)
Для отримання нетривіального розв’язку системи визначник прирівнюється до нуля
. (2.10)
В розгорнутому вигляді
, (2.11)
де І1, І2, І3 - інваріанти тензора напруг, величини їх залишаються постійними
при довільних повертаннях осей декартової системи координат.
, (2.12)
.
В деяких випадках тензор напруг розділяють на дві частини, сферичний тензор
напруг () і девіатор напруг (девіаторний тензор напруг) .
Сферичний тензор напруг зв’язаний з головними напругами співвідношенням
, (2.13)
де ddij – одинична матриця (символ Кронекера в двовимірній задачі).
Девіатор напруг визначається виразом
. (2.14)
Для девіатора напруг існують інваріантні величини, аналогічно інваріантам
тензора напруг:
(2.15)
При силовій дії тіло змінює свою початкову форму. Нехай хі – початкова
координата т. Р, xі+ui – положення точки Р після деформації тіла , де ui -
компонента переміщень . Коли перша похідна переміщення настільки
мала, що її квадратами і добутками частинних похідних від переміщень ui
можна знехтувати , то співвідношення між переміщеннями та
деформаціями можна записати в формі тензора малих деформацій Коші :
. (2.16)
Для ізотропного пружного матеріалу закон Гука , що зв’язує напруги та
деформації , можна записати
, (2.17)
або в більш компактному вигляді
, (2.17, а